Spis treści
6 Pola magnetyczne w materii 3
6.1 Magnetyzacja . . . 3
6.2 Pole namagnesowanego ciała . . . 14
6.3 Natężenie pola magnetycznego H . . . 22
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe . . . 26
Elektrodynamika
Część 5
Pola magnetyczne w materii
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas
6.1.2 Siły i momenty sił działających na dipole magnetyczne
I
Każdą pętlę z prądem można złożyć z infinitezymalnych prostokątów. Prądy od „wewnętrznych” boków znoszą się wzajemnie.
6 Pola magnetyczne w materii 6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
F = I I ( dl × B) = I I dl × B = 0
W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z prądem znika x y z B m θ θ b a I y z B m θ θ a F F
N = aF sin θ ˆx, moment sił
F = IbB, wartość siły
N = Iab sin θ ˆx = mB sin θ ˆx
F = ∇(m · B)
Siła dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym m umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B.
B I I pole niejednorodne x y z R I I θ B B F F
pole ma składową radialną siła ma składową pionową
6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe x y z m −e v R T = 2πR v ⇒ I = e T = ev 2πR
ruch elektronu można
potraktować jako prąd stały
m = −IπR2 zˆ = −1
2evR ˆz orbitalny moment dipolowy
N = m × B moment siły, mały efekt paramagnetyczny Modele momentu dipolowego
N
S
+
−
m
p
m
I
dipol magnetyczny(model Gilberta) dipol elektryczny
dipol magnetyczny (model Ampère’a)
e¯vB = me R (¯v 2 −v2) = me R (¯v + v)(¯v − v) δv = eRB 2me elektron przyspiesza δm = −1 2e(δv)R ˆz = − e2R2 4me
B zmiana momentu dipolowego
Zmiana momentu magnetycznego m ma przeciwny zwrot niż sama indukcja B — diamagnetyzm
1 4πǫ0 e2 R2 = me v2 R
w nieobecności pola magnetycznego siła
dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych
−e(v × B) dodatkowa siła w polu magnetycznym;
elektron przyspiesza i zwalnia
x y z +e −e v R B B B B
zakładamy, że pole B jest
prostopadłe do płaszczyzny orbity
1 4πǫ0 e2 R2 + e¯vB = me ¯ v2
6.2 Pole namagnesowanego ciała 6.2.1 Prądy związane P R dτ′ m A(r) = µ0 4π m× ˆR
R2 potencjał wektorowy dipola m
A(r) = µ0 4π Z M(r′) × ˆR R2 dτ ′ 6.1.4 Magnetyzacja
M ≡magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości
M — magnetyzacja, namagnetyzowanie, polaryzacja magnetyczna
A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ ′ × M(r′)] dτ′ + µ0 4π I 1 R[M (r ′) × da′] Jzw = ∇ × M Kzw = M × ˆn A(r) = µ0 4π Z V Jzw(r′) R dτ ′ + µ0 4π I S Kzw(r′) R da ′ ∇′ 1 R = ˆ R R2 A(r) = µ0 4π Z " M(r′) × ∇′ 1 R # dτ′ ∇ ×(f A) = f (∇ × A) − A × (∇f ) pochodne iloczynów A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ ′ × M(r′)] dτ′ − Z ∇′ × " M(r′) R # dτ′ Z V (∇ × A) dτ = − I S A× da twierdzenie
K = σv = σωR sin θ ˆφ dla obracającej się sfery,
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
σRω → M .
B = 2
3µ0M wewnątrz sfery, pole jednorodne m = 4
3πR
3M na zewnątrz sfery, pole dipola m
Podobieństwo do pola elektrycznego spolaryzowanej kuli, ale tu mamy
2
3 zamiast − 1 3.
Przykład:
Znaleźć pole magnetyczne jednorodnie namagnesowanej kuli.
x y z M θ φ r Jzw = ∇ × M = 0, Kzw = M × ˆn = M sin θ ˆφ
z y x I dy Mz(y) Mz(y + dy) dz z y x dz My(z) My(z + dz) dy magnetyzacja niejednorodna Ix = [Mz(y + dy) − Mz(y)] dz = ∂Mz ∂y dy dz (Jzw)x = ∂Mz ∂y podobnie (Jzw)x = − ∂My ∂z
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych
I I I M t I I M ˆ n I a M t m = M at = Ia ⇒ I = M t ⇒ Kzw = I/t = M Kzw = M × ˆn
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych J = Jzw + Jsw 1 µ0 (∇ × B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (∇ × M ) ∇ × 1 µ0 B − M ! = Jsw H ≡ 1 µ0 B − M ∇ × H = Jsw prawo Ampère’a (Jzw)x = ∂Mz ∂y − ∂My ∂z Jzw = ∇ × M ogólnie ∇ · Jzw = ∇ · (∇ × M ) = 0 równanie ciągłości
6.2.3 Pole magnetyczne w materii
Mówiąc o polu magnetycznym w materii mamy na myśli pole makroskopowe (uśrednione po obszarze wytarczająco dużym by zawierał bardzo wiele atomów)
6.3.2 Myląca analogia
∇ × H = Jsw
∇ · H = −∇ · M 6= 0 dywergencja różna od zera Natężenie pola H nie musi być zerem, kiedy Jsw = 0
I
H · dl = Iswc prawo Ampère’a w postaci całkowej
Iswc — całkowite natężenie prądu swobodnego płynącego przez
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna M = 1
µ0
χmB (niepoprawnie!) M = χmH ośrodki liniowe
χm — podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10−5
B = µ0(H + M ) = µ0(1 + χm)H
B = µH, µ ≡ µ0(1 + χm) przenikalność magnetyczna 6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych:
Hnad⊥ −Hpod⊥ = −(Mnad⊥ − Mpod⊥ ) Hnadk − Hpodk = Ksw ×nˆ
Bnad⊥ −Bpod⊥ = 0
M M = 0 próżnia paramagnetyk powierzchnia Gaussa I
M · da 6= 0 dla powierzchni Gaussa
∇ · M nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa
Jzw = ∇ × M = ∇ × (χmH) = χmJsw
Jeśli prąd swobodny nie płynie w objętości próbki, prąd związany płynie jedynie na powierzchni.
Przykład:
Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o podatności χm. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.
ˆ z
φ
Nie możemy wprost obliczyć B, bo nie znamy prądów związanych, ale ze względu na symetrię możemy
obliczyć H ze znajomości prądów swobodnych
H = nI ˆz
B = µ0(1 + χm)nI ˆz
6.4.2 Ferromagnetyzm M I a b c d e f g (trwały magnes)
(nasycenie) (trwały magnes)
(nasycenie)