Anna SzymaĔska*
WPŁYW PARAMETRÓW ROZKŁADU WIELKOĝCI SZKÓD NA WYSOKOSû SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH
KOMUNKACYJNYCH OC
1. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI SKŁADKI
Podstawowym warunkiem funkcjonowania towarzystwa ubezpieczeniowe-go w warunkach rynkowych jest odpowiednie dopasowanie wysokoĞci składek do poziomu ryzyka, jakie reprezentują ubezpieczeni. Dotyczy to zarówno poje-dynczego ubezpieczonego, jak i całego portfela.
Zbyt niska składka wynikająca z niedoszacowania ryzyka moĪe byü przy-czyną nieodwracalnych strat, a nawet bankructwa firmy ubezpieczeniowej. Na-tomiast zbyt wysoka składka powoduje utratĊ klientów.
Kalkulacja składki jest dlatego zagadnieniem trudnym i uzaleĪnionym od działu i grupy ubezpieczeĔ. Inaczej kalkuluje siĊ składkĊ w ubezpieczeniach majątkowych, inaczej w ubezpieczeniach na Īycie.
Podstawą obliczenia składki jest oszacowanie na podstawie przewidywanej liczby i wielkoĞci roszczeĔ składki netto, czyli składki przeznaczonej tylko na pokrycie roszczeĔ.
W dalszej czĊĞci pracy przedstawiono podstawowe metody szacowania składki netto w ubezpieczeniach majątkowych.
Niech Π(X) oznacza wysokoĞü składki netto za ochronĊ przed stratą o wiel-koĞci X. Niech X bĊdzie zmienną losową o dystrybuancie FX. Składka netto
po-winna posiadaü nastĊpujące własnoĞci1: 1) ∏(X)≥EX (nieujemna nadwyĪki),
2) ∏(X)≤min
{
x:Fx(x)=1}
(składka nie wyĪsza niĪ maksymalna strata),3) ∏(X +a)=∏(X)+a, dla kaĪdego a∈R i a≥0 (translatywnoĞü składki),
*
Dr, Katedra Metod Statystycznych UŁ. 1
Por. R. K a a s, M. G o o v a e r t s, J. D h a e n e, M. D e n u i t, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer, Boston 2001.
4) ∏(X+Y)=∏(X)+∏(Y), dla niezaleĪnych zmiennych X i Y (addy-tywnoĞü składki),
5) ∏(X)=∏(∏(XY)), dla wszystkich X, Y (interaktywnoĞü składki), 6) ∏(aX)=a∏(X)dla kaĪdego a∈R i a≥0 (proporcjonalnoĞü składki), 7) ∏(X +Y)≤∏(X)+∏(Y), dla dowolnych zmiennych X i Y (subaddy-tywnoĞü składki).
W pracach dotyczących teorii ryzyka ubezpieczeniowego moĪna znaleĨü jeszcze inne własnoĞci funkcjonału składki. Jednak w praktyce wiĊkszoĞü funk-cjonałów składki nie posiada wszystkich wymienionych własnoĞci2.
Wybrane zasady wyznaczania funkcjonału składki: 1) Zasada czystej składki (równowaĪnoĞci składki netto)
Π(X)=EX (1) 2) Zasada wartoĞci oczekiwanej
Π(X)=(1+
α
)EX (2) gdzie Į 0 nazywa siĊ współczynnikiem bezpieczeĔstwa.3) Zasada wariancji
Π
(
X
)
=
EX
+
α
VarX
,
α
≥
0
(3) 4) Zasada odchylenia standardowegoΠ(X)=EX+
α
VarX,α
≥0 (4) 5) Zasada odchylenia absolutnegoΠ(X)=EX +
α
E X −MeS ,α
≥0 (5)6) Zasada percentylu (kwantyla rzĊdu İ)
Π( )=min
{
:( )
≥1−ε
}
= −1(1−ε
) X F x F x X (6)7) Zasada maksymalnej straty
Π(X)= pEX +(1−p)max(X),p≥0 i max(X)<∞ (7) 8) Zasada zerowej uĪytecznoĞci obejmuje grupĊ metod wyznaczania składki uwzglĊdniającą preferencje ubezpieczyciela, posiadającego majątek w, wyraĪo-ne przy pomocy funkcji uĪytecznoĞci:
2
u(w)=Eu
(
w+Π(X)−X)
, w∈(–∞,+∞) Dla w = 0 mamy:(
X X)
Euu(0)= Π( )−
NajczĊĞciej stosowaną w ubezpieczeniach funkcją uĪytecznoĞci jest funkcja wykładnicza postaci:
(
1)
, 0 1 ) ( = − −α
>α
αw e w uZasada zerowej uĪytecznoĞci z wykładniczą funkcją uĪytecznoĞci jest na-zywana zasadą wykładniczą3.
Zasada wykładnicza: Π =
(
X)
> X <∞ Ee Ee X α α α αlog , 0, 1 ) ( (8)9) Zasada wiarygodnoĞci – na początku XX w. składkĊ netto zaczĊto liczyü jako Ğrednią waĪoną składki kolektywnej µ i indywidualnej składki
x
ioszaco-wanej na podstawie historii roszczeĔ w przeszłoĞci, czyli jako
Π(Xi)=Zixi +(1−Zi)
µ
(9) gdzie Zi∈(0,1).Tak zdefiniowaną składkĊ nazywa siĊ składką zaufania dla i-tego kontrak-tu, natomiast Zi współczynnikiem zaufania.
W pracy przedstawiono zasady szacowania składki netto najczĊĞciej oma-wiane w literaturze przedmiotu.
W warunkach idealnych, to znaczy przy nieskoĔczenie duĪej liczbie poten-cjalnych ubezpieczanych oraz doskonałej informacji o ryzyku, powinna byü stosowana zasada równowaĪnoĞci składki. Zasady 2–5 nazywa siĊ zasadami nadwyĪki.
Analityczne wyznaczenie współczynnika bezpieczeĔstwa Į, wystĊpującego w formułach 2, 3, 4, 5 i 7, jest trudne. NajczĊĞciej wyznaczając składkĊ netto dla całego portfela stosuje siĊ dwa podejĞcia. W pierwszym składkĊ dla portfela ryzyk ustala siĊ tak, by prawdopodobieĔstwo poniesienia straty na tym portfelu w kolejnym okresie nie przekroczyło ustalonej z góry wartoĞci – kwantyla rzĊdu İ zmiennej losowej łącznej sumy szkód w portfelu. Druga metoda opiera siĊ na teorii ruiny. Według tej metody dobrze oszacowana składka powinna gwaranto-waü, Īe prawdopodobieĔstwo ruiny nie przekroczy zadanej wartoĞci İ. W
3
Por. C. D. D a y k i n, T. P e n t i k ä i n e n, M. P e s o n e n, Practical Risk Theory for Actuar-ies, Chapman & Hall, London 1994.
tyce współczynnik bezpieczeĔstwa jest informacją poufną i towarzystwa ubez-pieczeniowe nie chcą ujawniaü jego wielkoĞci. Jednak współczynnik 100% uznaje siĊ za jego górną granicĊ.
ZasadĊ wykładniczą wprowadził Gerber4, natomiast zasada maksymalnej straty jest czysto teoretyczna i na ogół słuĪy do wyznaczania górnego ogranicze-nia składki.
Przedstawione funkcjonały składek ubezpieczeniowych mogą byü stosowa-ne dla portfeli jednorodnych lub dla jednakowych klas jedstosowa-nego portfela. W prak-tyce ubezpieczeniowej w celu równomiernego rozłoĪenia ryzyka w portfelu stosuje siĊ zasadĊ wiarygodnoĞci.
2. PRZYKŁADY EMPIRYCZNE
W przeprowadzonym eksperymencie rozwaĪano szacowanie składek netto dla portfela o łącznej wielkoĞci szkód typu Pareto. Oceniono jak zmienia siĊ wysokoĞü składki netto w zaleĪnoĞci od parametrów rozkładu oraz metody sza-cowania składki. WartoĞü oczekiwana i wariancja w badanych populacjach są zbliĪone do Ğredniej i wariancji wielkoĞci szkód w ubezpieczeniach komunika-cyjnych OC publikowanych przez KNF.
Niech zmienna losowa X, oznaczająca wielkoĞü szkód w portfelu ubezpie-czeĔ komunikacyjnych OC, ma rozkład Pareto z parametrami α i β o funkcji gĊstoĞci postaci
(
)
, 0 ) ( 1 > + = + x x x f α αβ
αβ
, (10)W przeprowadzonym badaniu wygenerowano cztery warianty pseudopopu-lacji (dalej nazywanej populacją) o rozkładzie Pareto, o róĪnych parametrach i liczebnoĞci 10 000: Wariant A: 10000 ; 7681 , 3 ; 2745 , 5 ; 93535 , 4 ; 8 , 2 ; 3 , 2 = = = 0,5= = =
β
EX DX x Nα
Wariant B: 10000 ; 7490 , 3 ; 8188 , 5 ; 0038 , 5 ; 76 , 2 ; 23 , 2 = = = 0,5= = =β
EX DX x Nα
Wariant C: 10000 ; 7071 , 3 ; 2284 , 6 ; 0067 , 5 ; 71 , 2 ; 18 , 2 = = = 0,5= = =β
EX DX x Nα
4Wariant D: 10000 ; 6600 , 3 ; 5760 , 6 ; 9936 , 4 ; 66 , 2 ; 14 , 2 = = = 0,5= = =
β
EX DX x Nα
gdzie:Į, ȕ – parametry rozkładu Pareto, EX – wartoĞü oczekiwana w populacji, DX – odchylenie standardowe w populacji, x0,5 – kwantyl rzĊdu 0,5 w populacji.
T a b e l a 1 WartoĞci składki netto szacowanej róĪnymi metodami dla rozkładów
wielkoĞci szkód o róĪnych parametrach
Wariant populacji
Metoda wyznaczania składki netto zasada czystej składki zasada wartoĞci oczekiwanej zasada wariancji zasada odchylenia standardowego zasada percentylu A 4,935335 9,87067 32,75568525 10,209835 3,7681 B 5,0038 10,0076 38,86223344 10,8226 3,749 C 5,0067 10,0134 43,79966656 11,2351 3,7071 D 4,9936 9,9872 48,237376 11,5696 3,66 ħ r ó d ł o: opracowanie własne. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 A B C D wariant populacji w ar to Ğü s k ła d k i n et to z. czystej składki z. wart. oczek. z. wariancji z.odch.stand. z.percentylu
Rys. 1. WartoĞci składki netto szacowanej róĪnymi metodami dla rozkładów wielkoĞci szkód o róĪnych parametrach
ħ r ó d ł o: opracowanie własne.
zasada czystej składki
zasada wartoĞci oczekiwanej zasada wariancji zasada odchylenia standardowego zasada percentylu
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
z. czystej składki z. wart. oczek. z. wariancji z.odch.stand. z.percentylu
zasada wyznaczania składki
w ar to Ğü s k ła d k i n et to A B C D
Rys. 2. WartoĞci składki netto szacowanej róĪnymi metodami dla rozkładów wielkoĞci szkód o róĪnych parametrach
ħ r ó d ł o: jak do rys. 1.
Przeprowadzone badanie wskazuje na bardzo duĪą zaleĪnoĞü wysokoĞci składki netto od metody jej szacowania. NajwyĪsze składki netto uzyskano przy zastosowaniu zasady wariancji, najniĪsze przy zastosowaniu zasady opartej na kwantylu rzĊdu 0,5. MoĪna równieĪ stwierdziü, Īe zasada wariancji jest najbar-dziej wraĪliwa na zmianĊ parametrów rozkładu wielkoĞci szkód w portfelu. Za-sada odchylenia standardowego jest równieĪ wraĪliwa na zmiany wielkoĞci pa-rametrów rozkładu, jednak w znacznie mniejszym stopniu. Pozostałe z badanych metod szacowania składki netto dają bardzo zbliĪone wartoĞci składki netto w przypadku zmian parametrów rozkładu wielkoĞci szkód. NaleĪy jednak pod-kreĞliü, Īe parametry badanych rozkładów nie róĪniły siĊ bardzo znacząco ze wzglĊdu na koniecznoĞü odniesienia siĊ do rzeczywistych parametrów w portfe-lach ubezpieczeĔ komunikacyjnych OC.
W praktyce towarzystwa ubezpieczeniowe najczĊĞciej stosują zasadĊ wa-riancji. MoĪna stwierdziü, Īe zabezpieczają siĊ w ten sposób przed ryzykiem straty. Ubezpieczyciele powinni jednak pamiĊtaü o bardzo duĪym wpływie pa-rametrów rozkładu wielkoĞci szkód na wysokoĞü składki netto szacowanej me-todą wariancji. zasada czystej składki zasada wartoĞci oczekiwanej zasada wariancji zasada odchylenia standardowego zasada percentylu
Anna SzymaĔska
THE INFLUENCE OF THE DAMAGE SIZE DISTRIBUTION ON THE NET PREMIUM SIZE IN CAR LIABILITY INSURANCE CR
The rules most often used to estimate net premiums in car liability insurance are the rules based on classical statistical measures. In the case of asymmetric distributions, estimating net premiums by means of location measures seems reasonable. In the paper the influence of the parameter of the distribution of the size of damages and net premium estimating method on the size of net premium have been examined. The research was done for the Paretro type distribution with different parameters.
