Ciągi i szeregi funkcji

(1)

Analiza Matematyczna. Ci ˛

agi i szeregi funkcji

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Ci ˛

agi i szeregi funkcji

•Ci ˛agi i szeregi funkcji

•Ci ˛agi funkcji •Szeregi funkcji •Szeregi pot ˛egowe

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

(3)

Ci ˛

agi funkcji

•Ci ˛agi funkcji

•Szeregi funkcji •Szeregi pot ˛egowe

Definicja 1. Niech dany b ˛edzie zbiór

X ⊂ R

.

1. Je˙zeli ka˙zdej liczb ˛e naturalnej

1, 2, 3, . . . , n, . . .

jest

podporz ˛adkowana funkcja rzeczywista

f

_n

: X → R

, to zbiór

numerowanych funkcji rzeczywistych

f

₁

, f

₂

, f

₃

, . . . , f

_n

, . . .

nazywa si ˛e ci ˛agiem funkcji.

2. Funkcje

f

_n nazywaj ˛a si ˛e wyrazami ci ˛agu

{ x

_n

}

.

3. Zbiór

X

nazywa si ˛e dziedzin ˛a ci ˛agu.

Przykład 2. 1.

f

_n

(x) = x

n,

X = [0, 1]

. 2.

f

_n

(x) = sin

πx_n ,

x ∈ [−

π₂

,

π₂

]

.

(4)

Zbie˙zno ´s ´c ci ˛

agu funkjci

•Ci ˛agi funkcji

Definicja 3. Niech dany b ˛edzie ci ˛ag funkcji

f

_n

(x)

, okre´slony na

zbiorze

X

.

1. Ci ˛ag nazywa si ˛e zbie˙znym w punkcie

x

₀

∈ X

do granicy

g

,

je˙zeli ci ˛ag liczb

f

_n

(x

₀

)

jest zbie˙znym do

g

.

2. Ci ˛ag nazywa si ˛e zbie˙znym na zbiorze

X

do funkcji

g(x)

, je˙zeli

∀x ∈ X

ci ˛ag

f

_n

(x)

jest zbie˙znym do

g(x)

.

3. Ci ˛ag nazywa si ˛e zbie˙znym jednostajnie do funkcji

g(x)

, je˙zeli

∀ε > 0

,

∃N ∈ N

, takie ˙ze

∀n > N

,

∀x ∈ X

|g(x) − f

n

(x)| < ε

. Oznaczenie:

f

n

(x)

x∈X

⇒

n→∞

g(x).

(5)

Przyłady zbie˙zno ´sci

•Ci ˛agi funkcji

Przykład 4. 1.

lim

n→∞

x

n

₌

(

0, 0 6 x < 1,

1, x = 1.

2.

f

_n

(x) = sin

πx_n x∈[−π₂,π₂]

⇒

n→∞

0

.

(6)

Kryterium Cauchy’ego jednostajnej zbie˙zno ´sci

•Ci ˛agi funkcji

Twierdzenie 5 (Kryterium Cauchy’ego). Niech dany b ˛edzie

okre´slony na zbiorze

X

ci ˛ag funkcji

f

_n

(x)

. Na to, ˙zeby ci ˛ag ten był

zbie˙zny jednostajnie potrzeba i wystarczy, ˙zeby

∀ε > 0

istniał taki

numer

N ∈ N

, ˙ze

∀n, m > N

,

∀x ∈ X

spełniała si ˛e nierówno´s´c

(7)

Jednostajna zbie˙zno ´s ´c ci ˛

agłych funkcji

•Ci ˛agi funkcji

Twierdzenie 6. Niech dany b ˛edzie ci ˛ag funkcji

f

_n

(x)

, ci ˛agłych na

zbiorze

X ⊂ R

. Wtedy, je˙zeli

f

n

x∈X

⇒

n→∞

g(x),

to

g(x)

te˙z jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na zbiorze

X

.

Dowód.

|g(x) − g(x

₀

)| 6

(8)

Szeregi funkcji

•Ci ˛agi i szeregi funkcji •Ci ˛agi funkcji

•Szeregi funkcji

•Szeregi pot ˛egowe

Definicja 7. Niech dany b ˛edzie zbiór

X ⊂ R

.

1. Szeregiem funkcji nazywa si ˛e formalna suma

u

1

(x) + u

2

(x) + · · · + u

k

(x) + · · · =

∞

X

k=1

u

k

(x),

(1) gdzie

u

_k

(x) : X → R

dla

k = 1, 2, . . .

2. Suma

S

_n

(x) = u

₁

(x) + u

₂

(x) + · · · + u

_n

(x) =

n

P

k=1

u

k

(x)

(9)

Zbie˙zno ´s ´c szeregów funkcji

•Szeregi funkcji

Definicja 8. 1. Szereg 1 nazywa si ˛e zbie˙znym w punkcie

x ∈ X

,

je˙zeli istnieje granica

S(x) = lim

n→∞

S

n

(x)

ci ˛agu sum

cz ˛e´sciowych w punkcie

x

przy

n → ∞

.

2. Granica ta nazywa si ˛e sum ˛a szeregu 1, oznaczenie

S(x) =

∞

P

k=1

u

k

(x)

.

3. Szereg 1 nazywa si ˛e zbie˙znym jednostajnie na zbiorze

X

, je˙zeli

ci ˛ag sum cz ˛e´sciowych

S

_n

(x)

jest zbie˙znym jednostajnie przy

n → ∞

. Przykład 9. ∞

X

n=1

x

n

=

1 1 − x

,

x ∈ (−1, 1).

(10)

Kryterium Cauchy’ego jednostajnej zbie˙zno ´sci

•Szeregi funkcji

Twierdzenie 10 (Kryterium Cauchy’ego). Niech dany b ˛edzie

okre´slony na zbiorze

X

szereg funkcji

∞

P

i=1

u

i

(x)

. Na to, ˙zeby szereg

ten był zbie˙zny jednostajnie potrzeba i wystarczy, ˙zeby

∀ε > 0

istniał taki numer

N ∈ N

, ˙ze

∀n > m > N

,

∀x ∈ X

spełniała si ˛e

nierówno´s´c

m

P

i=n+1

u

i

(x)

< ε

.

Twierdzenie 11. Niech dany b ˛edzie szereg funkcji

P

∞_i₌₁

u

_i

(x)

,

zbie˙zny jednostajnie do

f (x)

na zbiorze

X

. Wtedy je˙zeli funkcje

(11)

Twierdzenie Weierstrassa

•Szeregi funkcji

Twierdzenie 12. Niech na zbiorze

X

dany b ˛edzie szereg funkcji

∞

P

i=1

u

i

(x)

, przy czym

∀x ∈ X

spełnia si ˛e nierówno´s´c

|u

i

(x)| 6 a

i.

Wtedy je˙zeli szereg

P

∞_i₌₁

a

_i jest zbie˙znym, to szereg

P

∞_i₌₁

u

_i

(x)

jest zbie˙znym jednostajnie na zbiorze

X

.

Dowód. Z kryterium Cauchy’ego.

Przykład 13. ∞

X

k=1

sin πk

k

2

.

(12)

Szeregi pot ˛egowe

•Szeregi funkcji

Definicja 14. Szeregiem pot ˛egowym nazywa si ˛e suma

∞

X

k=0

a

k

x

k

= a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ . . .

(2)

Twierdzenie 15. Je˙zeli szereg 2 jest zbie˙zny w punkcie

x

₀, to on

jest zbie˙znym bezwzgl ˛ednie w dowolnym punkcie

x

₁, takim ˙ze

|x

₁

| < |x

₀

|

.

Dowód. Niech b ˛edzie

x

₁

> 0

. Wtedy

|x

₁

/x

₀

| 6 q < 1

.

P

∞

k=0

a

k

x

k0 jest zbie˙znym, wi ˛ec

∃S ∈ R

, takie ˙ze

∀k ∈ N

spełnia

(13)

Promie ´n zbie˙zno ´sci

•Szeregi funkcji

Wniosek 16. Je˙zeli szereg 2 nie jest zbie˙zny bezwzgl ˛ednie

w punkcie

x

₀, to on jest rozbie˙znym w dowolnym punkcie

x

₁, takim

˙ze

|x

₀

| 6 |x

₁

|

.

Definicja 17. Promieniem zbie˙zno´sci szeregu pot ˛egowego nazywa

si ˛e liczba

R = sup

(

x ∈ R

∞

X

k=0

a

k

x

k jest zbie˙zny

)

.

(14)

Obliczenie promienia zbie˙zno ´sci

•Szeregi funkcji

Twierdzenie 18. Niech dany b ˛edzie szereg pot ˛egowy

∞

P

k=0

a

k

x

k

.

Wtedy

1 R

= lim

k→∞

a

_k+1

a

k

= lim

k→∞ k

p|a

k

|.

(Przy zało˙zeniu, ˙ze granica istnieje.)

Dowód.

Uwaga 19. Z definicji wynika, i˙z dla

|x| < R

szereg b ˛edzie

(15)

Przykłady

•Szeregi funkcji

Przykład 20. 1. ∞

P

k=0

x

k, 2. ∞

P

k=0 xk k , 3. ∞

P

k=0 xk k! , 4. ∞

P

k=0

k!x

k, 5. ∞

P

k=0 xk k2 .

(16)

Ci ˛

agło ´s ´c sumy szeregu pot ˛egowego

•Szeregi funkcji

Twierdzenie 21. Niech szereg pot ˛egowy b ˛edzie miał promie ´n

zbie˙zno´sci

R > 0

. Wtedy

∀x, |x| < R

suma szeregu b ˛edzie ci ˛agła

w punkcie

x

.

Dowód.

Twierdzenie 22 (Abel). Niech szereg pot ˛egowy b ˛edzie miał promie ´n

zbie˙zno´sci

R > 0

. Wtedy je˙zeli szereg jest zbie˙znym w

x = R

(

x = −R

), to suma szeregu b ˛edzie ci ˛agł ˛a w punkcie

x = R

z lewej

(17)

Całkowanie i ró˙zniczkowanie szeregu pot ˛egowego

•Szeregi funkcji

Twierdzenie 23. Niech szereg pot ˛egowy 2 b ˛edzie miał promie ´n

zbie˙zno´sci

R > 0

. Wtedy szereg

∞

P

k=0

a

k

·

x k+1 k+1 te˙z ma promie ´n zbie˙zno´sci

R

oraz

∀x

,

|x| < R

∞

X

k=0

a

k

· x

k+1

k + 1

=

Z

x 0 ∞

X

k=0

a

k

· t

k

dt.

Twierdzenie 24. Niech szereg pot ˛egowy 2 b ˛edzie miał promie ´n

zbie˙zno´sci

R > 0

. Wtedy szereg

∞

P

k=0

ka

k

· x

k−1 te˙z ma promie ´n zbie˙zno´sci

R

oraz

∀x

,

|x| < R

∞

X

ka

· x

k

=

d

∞

X

a

· x

k

(18)

Przykłady

•Szeregi funkcji

Przykład 25. 1. ∞

P

k=0

kx

k

=

_(1−x)x 2, 2. ∞

P

k=0

k

2

x

k

=

_(1−x)x2+x3, 3. ∞

P

k=0 1 k

x

k

_{= − ln(1 − x)}

_,