Modelowanie ukadw dynamicznych I

MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Wiadomo

ści wstępne o modelowaniu

Jedną z metod badania właściwości dynamicznych układu jest przeprowadzenie eksperymentu bezpośrednio na układzie. W wielu przypadkach wykonanie eksperymentu na układzie jest niemożliwe, ze względów technologicznych lub ze względu na koszt eksperymentu. Istotnym czynnikiem jest także czas trwania badania, który może być bardzo długi i trwać nawet kilka lat (na przykład w badaniach zmęczeniowych) lub bardzo krótki, rzędu ułamków sekund (stany nieustalone w układach elektrycznych). Występują wtedy trudności z zarejestrowaniem przebiegów poszczególnych wielkości.

Innym podejściem do zagadnień badania właściwości układu jest zbudowanie modelu układu i przeprowadzenie badań na modelu. Modelem układu nazywamy przedstawienie układu za pomocą relacji matematycznych (postać abstrakcyjna układu) lub w postaci fizycznej (wykonany model układu) przedstawiającej, zazwyczaj z pewnym uproszczeniem, właściwości układu. Postać fizyczną układu można otrzymać za pomocą modelu fizycznego lub modelu analogowego. Model fizyczny układu jest zbudowany z elementów o takiej samej naturze fizycznej co badany układ, lecz w mniejszej skali. Na przykład, gdy w rzeczywistym układzie elektrycznym występują bardzo duże napięcia i prądy, możemy zbudować model układu rzeczywistego, w którym występują te same zjawiska, opisane tymi samymi zależnościami, różniące się jedynie rządem wartości. Uzyskujemy w ten sposób model układu o właściwościach podobieństwa do układu rzeczywistego. Model analogowy zbudowany jest z elementów o innej naturze fizycznej niż badany układ, łatwiejszych do realizacji. W modelach analogowych wykorzystuje się właściwości analogii fizycznej, występującej pomiędzy niektórymi zjawiskami fizycznymi. Analogia oznacza podobieństwo zachodzące pod pewnymi względami między różnymi przedmiotami, zjawiskami lub procesami. Analogia fizyczna polega na tym, że różnymi zjawiskami fizycznymi rządzą takie same lub podobne prawa i dzięki temu przebieg tych zjawisk może być opisany za pomocą takich samych zależności matematycznych. Klasyczny przykład analogii fizycznej dotyczy układów mechanicznych i elektrycznych. Mówimy, że układ elektryczny jest modelem analogowym układu mechanicznego.

2

można przewidzieć zachowanie się układu. Modelem matematycznym układu ciągłego są najczęściej równania różniczkowe, opisujące działanie układu. Modele matematyczne najczęściej realizowane są za pomocą maszyn cyfrowych i elektronicznych maszyn analogowych. Modele, których realizacja dokonywana jest za pomocą maszyn cyfrowych, nazywane są modelami cyfrowymi. Modelowaniem nazywamy proces tworzenia modelu fizycznego lub modelu matematycznego badanego układu. Podstawową zaletą modelowania cyfrowego jest możliwość zapisu modelu oraz jego parametrów w postaci programu. Pozwala to, w sposób „elastyczny”, przeprowadzać badania modelowe. W elektronicznych maszynach analogowych modelowanie, różnych wielkości fizycznych, przedstawiane jest w sposób ciągły w postaci przebiegów napięć. Badania dokonywane na modelu matematycznym, w celu uzyskania interesujących nas informacji o procesie zachodzącym w układzie, nazywamy symulacją procesu. Rozróżnia się zatem symulację cyfrową i analogową.

Modelowanie matematyczne układów ci

ągłych

Modelowanie matematyczne zapewnia możliwość szybkiego i dokładnego badania przebiegów w najbardziej złożonych układach, w przypadku różnych kombinacji parametrów i przy różnym charakterze wymuszeń. Jednym z podstawowych celów modelowania jest zastosowanie modelu w systemie adaptacyjnym, pozwalającym dobrać strukturę i parametry tego modelu najbardziej zbliżone do zachowań układu rzeczywistego. Podstawowym elementem programowania maszyny cyfrowej (modelowania matematycznego) jest tworzenie schematu operacyjnego badanego układu. Ponieważ działanie układu ciągłego opisywane jest najczęściej za pomocą równań różniczkowych, więc zamodelowanie układu polega na tworzeniu schematu operacyjnego dla równania różniczkowego lub układu równań. Tak przedstawiony układ bada się za pomocą metody symulacji procesu, korzystając z różnych metod rozwiązywania równań różniczkowych.

Jedną z podstawowych metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych lub ich układów dowolnego rzędu, liniowych, jak również nieliniowych jest metoda ogólna Kelvina. Przy tworzeniu schematu operacyjnego dla równania n-tego rzędu (1)

ku y a dt dy a dt y d a dt y d a _{n o} n n n n n + ₋ + + + = − − 1 1 1 1 ... , (1)

wyrazy (2) y a a dt dy a a dt y d a a u a k dt y d n o n n n n n n n n − − − − = ₋ − − 1 1 1 1 _{... . (2)}

- Wartość funkcji niewiadomej y wyznaczamy całkując n krotnie równanie (1). Realizujemy to łącząc szeregowo n integratorów (elementów całkujących), przy czym na wejście pierwszego integratora podajemy sygnał n-tej pochodnej y. Wtedy na wyjściu ostatniego integratora otrzymujemy sygnał y (rys. 1).

∫

∫

∫

. . .

Rys. 1. Szeregowe połączenie n integratorów

- Dysponując wyjściami integratorów oraz funkcją wymuszającą x tworzymy prawą stronę równania (2), otrzymując pochodną n-tego rzędu funkcji y.

∑

+

-.

.

.

Rys. 2. Graficzne przedstawienie równania 2

- Łączymy wyjście układu z rys. 2 z wejściem układu z rys. 1, otrzymując pełny schemat operacyjny równania różniczkowego n-tego rzędu (rys. 3).

4

∫

∫

∫

∑

Rys. 3. Pełny schemat operacyjny równania różniczkowego n-tego rzędu

- Ustalamy warunki początkowe funkcji y(0) i jej pochodnych, i przypisujemy je odpowiednim integratorom.

Przykład 1.

Dla układu mechanicznego, przedstawionego na rys. 4, zrealizować schemat operacyjny, korzystając z metody ogólnej Kelvina.

F M

k

B x

Rys. 4. Prosty układ mechaniczny MST

Równanie różniczkowe opisujące zależność pomiędzy wielkość wyjściową – położeniem x masy, a wielkością wejściową – siłą F jest następujące:

F kx dt dx B dt x d M ₂ + + = 2 , (3)

gdzie: M – masa wózka,

B – współczynnik tłumienności tłumika, k – współczynnik sprężystości sprężyny.

Postępując według punktów podanych powyżej otrzymujemy: x M k dt dx M B F M dt x d − − = 1 2 2 . (4)

∑

Rys. 5. Schemat operacyjny układu mechanicznego z przykładu 1

Przykład 2.

Na rys. 6 przedstawiono złożony układ mechaniczny poddany działaniu siły F. Wyznaczyć schemat operacyjny układu, gdzie wielkościami wyjściowymi są położenia x1 i x2.

F M1 k2 M₂ B1 k1 x2 x₁ B₂

Rys. 6. Układ mechaniczny z przykładu 2

Równania dynamiki układu:

, 0 ) ( ) ( , ) ( ) ( 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 = − + − + + + = − + − + x x k dt dx dt dx B x k dt dx B dt x d M F x x k dt dx dt dx B dt x d M (5) po przekształceniu:

6 . ) ( ) ( , 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 x M k dt dx M B x M k k dt dx M B B dt x d x M k dt dx M B x M k dt dx M B F M dt x d + + + − + − = + + − − = (6)

Schemat operacyjny układu przedstawiono na rys. 7.

∫ ∫

∑

∑

1. Zapoznanie się z podstawowymi blokami symulacyjnymi stosowanymi w programie SIMULINK.

2. Dla podanego modelu układu, należy przedstawić schemat operacyjny. Skorzystać z

metody podanej we wstępie.

3. Zamodelować za pomocą SIMULINK-a model układu dynamicznego.

4. Przeprowadzić badania symulacyjne dla różnych parametrów układu.

5. W sprawozdaniu zamieścić otrzymane wyniki i przedstawić wnioski.

Przykład ćwiczenia laboratoryjnego

Układ zawieszenia pojazdu

I. Opis problemu

Pojazd o masie m jest zawieszony nad profilem drogi za pomocą elementów wykazujących

właściwości dynamiczne o charakterze sprężyny i tłumika.

Zatem zmiany położenia zawieszenia (w czasie jazdy) można analizować za pomocą

uproszczonego modelu masa-sprężyna-tłumik. Zmieniając parametry modelu układu można

analizować odpowiedzi czasowe przemieszczania pionowego pojazdu dla różnych profili

drogi (nawierzchni drogi).

Uproszczony schemat takiego układu przedstawiony jest na rys. 1.1.

h

B

u

Rys. 1.1 Uproszczony schemat modelu układu dynamicznego MST.

II. Cel analizy

Zadaniem zawieszenia pojazdu jest kompensacja profilu drogi tak aby „odczuwalne”

przemieszczenie nadwozia pojazdu było dla pasażerów jak najmniejsze. Jednym z

najgorszych przypadków jest skokowa zmiana profilu drogi o wartość h. Zadaniem

8

III. Model matematyczny układu Przyjęte założenia:

- rozpatrujemy tylko pionowe przemieszczenie pojazdu,

- opona oddziałuje na układ tylko poprzez właściwości sprężyste i tłumieniowe (nie

uwzględniamy masy opony),

- właściwości sprężyste i tłumieniowe układu zawieszenia pojazdu są określone za pomocą

parametrów k i B:

gdzie: - k- współczynnik sprężystości zawieszenia,

B- prędkościowy współczynnik tłumienia.

Na podstawie rys.1.1 model matematyczny układu można opisać równaniem różniczkowym

opisującym zmiany położenia zawieszenia pojazdu y(t) pod wpływem zmiany położenia

podłoża drogi u(t).

Równanie ogólne ma postać:

mg u y k dt du dt dy B dt y d m ₂ + ( − )+ ( − )= 2 (1.1)

Dla przyjętych założeń otrzymujemy:

0 ) ( ) ( 2 2 = − + − + k y u dt du dt dy B dt y d m (1.2) Uwaga!

Siła grawitacji w równaniu (1.2) została uwzględniona poprzez wstępne przemieszczenie

sprężyny.

Parametry analizy:

Pojazd porusza się ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością v=90km/h (v=25m/s)).

Założono że początkowe przemieszczenie pionowe wynosi 0m, następnie w odległości

s=500m od punktu początkowego analizy (czyli po czasie t=s/v) przemieszczenie pionowe

wynosi - 0,15m (wysokość dziury h_d=0,15m). Szerokość dziury 1 m i następnie pojazd

wraca do położenia pionowego podłoża 0m.

Zatem przemieszczenie opony

     ≥ < ≤ − < = kon h kon h pocz h pocz h t t t t t m t t u _ _ _ _ 0 15 , 0 0

- funkcja wejścia u(t) (blok step)

W przeprowadzonej analizie zmiany położenia koła pojazdu na drodze będziemy symulować

Final value - h_d

2. Parametry funkcji step: Step time t_kon (th_kon), Initial value 0, Final value h_d

Równanie różniczkowe opisane wzorem (1.2) modelujemy za pomocą schematu

operacyjnego. (Dokładny opis w ćwiczeniu modelowanie układów dynamicznych).

Ze względu na występowanie pochodnej wejścia (

dt du

) musimy wprowadzić zmienną

pomocniczą z1. Przyjmujemy: ) ( 1 B y u dt dy m z = + − (1.3) oraz ky ku dt dz − = 1 (1.4)

Zatem na podstawie równań (1.3) i (1.4) można przedstawić schemat operacyjny układu jak

na rys. 1.2.

Rys. 1.2 Schemat operacyjny modelu układu z rys. 1.1

Symulację można uruchomić na przykład z przestrzeni MATLAB-a na podstawie pliku

wykonawczego. Instrukcja wiążąca MATLAB z Simulinkiem ma strukturę:

10

Plik wykonawczy MATLAB-a

% model zawieszenia nadwozia pojazdu m= 1000; % (masa samochodu (kg))

k=500; % wspolczynnik sprezystosci sprezyny (N/m) B=1000; % wspolczynnik tlumienia (Ns/m)

v=25; %predkosc samochodu (m/s)

droga_pocz=500; % droga po ktorej jest przeszkoda t_pocz=droga_pocz/v; h_d=0.15; % glebokosc dziury (m) d_sz=1; %(m) t_kon=(droga_pocz+d_sz)/v; sim('nazwa_pliku_sim',50); subplot(2,1,1); plot(t,u); grid; subplot(2,1,2); plot(t,y); grid;

IV. Uproszczony model matematyczny układu

Przy założeniu dodatkowego uproszczenia, że opona oddziałuje na układ tylko poprzez

właściwości sprężyste (nie uwzględniamy masy opony i współczynnika tłumienia),

otrzymujemy model uproszczony w postaci:

0 ) ( 2 2 = − + + k y u dt dy B dt y d m (1.5)

Ponieważ jest to układ rzędu drugiego zastosujemy dwa integratory (elementy całkujące) do

otrzymania zależności na y(t):

Uproszczony model układu przedstawiono na rys. 1.3