Algebra
Wyznaczniki
Aleksander Denisiukdenisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Wyznaczniki
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Wyznaczniki macierzy małych wymiarów
• det a11 a12 a21 a22 ! = a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12a21 • a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 • det a11 = a11Definicja wyznacznika
Definicja 1. det A = X π∈Sn ε(π)a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n) Przykład 2. • n = 1, 2, 3, 4 Algebra – p. 4Wyznacznik macierzy transponowanej
• det A = det A(1) .. . A(n) = det A(1) . . . A(n) Twierdzenie 3. det A = det AtFunkcje wieloliniowe
Definicja 4. Funckcja D : Rn × Rn
| {z }
m razy
→ R nazywa si ˛e
1. wieloliniow ˛a, (m-linow ˛a) je˙zeli jest ona liniowa według ka˙zdego z argumentów, i.e. ∀j = 1, . . . m, ∀α, β ∈ R, oraz
∀x1, . . . , xj−1, a, b, xj+1, . . . , xm ∈ Rn
D(x1, . . . , xj−1, αa + βb, xj+1, . . . , xm) =
= αD(x1, . . . , xj−1, a, xj+1, . . . , xm)+
+ βD(x1, . . . , xj−1, b, xj+1, . . . , xm)
Wła´sciwo´sci wyznacznika
Twierdzenie 5. Wyznacznik jest wieloliniow ˛a antysymentryczn ˛a funkcj ˛a wierszy (column)
Twierdzenie 6. det I = 1
Wniosek 7. • det(λA) = λn det(A),
• Je˙zeli macierz A ma zerowy wiersz (kolumn ˛e), to det A = 0, • Je˙zeli A ma dwa jednakowe wiersze (kolumny), to det A = 0,
• det A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach rodzaju II.
Twierdzenie 8. det a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n . . . . 0 0 . . . ann = a11a22 . . . ann
Minory i algebraiczne dopełnienia
Definicja 9. • Wyznacznik macierzy, powstałej z macierzy A przez skre´slenie wiersza i oraz kolumny j nazywa si ˛e minorem, Mij
• Aij = (−1)i+jMij nazywa si ˛e dopełnieniem algebraicznym
Twierdzenie 10. 1. det A = Pni=1(−1)i+jaijMij = Pni=1 aijAij 2. det A = Pnj=1(−1)i+jaijMij = Pnj=1 aijAij Przykład 11. 1 −2 0 3 0 1 −1 1 −3 Algebra – p. 8
Wyznacznik iloczynu macierzy
Twierdzenie 12.
Wyznacznik a macierz odwrotna
Twierdzenie 13. Macierz A jest nieosobliw ˛a ⇐⇒ det A 6= 0, przy czym
a11 . . . a1n . . . . an1 . . . ann −1 = 1 det A A11 . . . An1 . . . . A1n . . . Ann
Wniosek 14. det A 6= 0 ⇐⇒ wiersze (kolumny) s ˛a liniowo niezale˙zne
Wzory Cramera
Twierdzenie 15. Je˙zeli wyznacznik układu równa ´n
a11x1 + · · · + a1nxn = b1, . . . . an1x1 + · · · + annxn = bn,
ró˙zni si ˛e od zera, to jedyne rozwi ˛azanie układu dane jest wzorami
xk = a11 . . . b1 . . . a1n . . . . an1 . . . bn . . . ann det A k = 1, 2, . . . , n