• Nie Znaleziono Wyników

Wyznaczniki

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wyznaczniki"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra

Wyznaczniki

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Wyznaczniki

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

(3)

Wyznaczniki macierzy małych wymiarów

det a11 a12 a21 a22 ! = a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12a21 • a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11det a11 = a11

(4)

Definicja wyznacznika

Definicja 1. det A = X π∈Sn ε(π)a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n) Przykład 2. • n = 1, 2, 3, 4 Algebra – p. 4

(5)

Wyznacznik macierzy transponowanej

det A = det    A(1) .. . A(n)    = det  A(1) . . . A(n)  Twierdzenie 3. det A = det At

(6)

Funkcje wieloliniowe

Definicja 4. Funckcja D : Rn × Rn

| {z }

m razy

R nazywa si ˛e

1. wieloliniow ˛a, (m-linow ˛a) je˙zeli jest ona liniowa według ka˙zdego z argumentów, i.e. ∀j = 1, . . . m, ∀α, β ∈ R, oraz

∀x1, . . . , xj−1, a, b, xj+1, . . . , xmRn

D(x1, . . . , xj−1, αa + βb, xj+1, . . . , xm) =

= αD(x1, . . . , xj−1, a, xj+1, . . . , xm)+

+ βD(x1, . . . , xj−1, b, xj+1, . . . , xm)

(7)

Wła´sciwo´sci wyznacznika

Twierdzenie 5. Wyznacznik jest wieloliniow ˛a antysymentryczn ˛a funkcj ˛a wierszy (column)

Twierdzenie 6. det I = 1

Wniosek 7. • det(λA) = λn det(A),

Je˙zeli macierz A ma zerowy wiersz (kolumn ˛e), to det A = 0,Je˙zeli A ma dwa jednakowe wiersze (kolumny), to det A = 0,

det A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach rodzaju II.

Twierdzenie 8. det      a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n . . . . 0 0 . . . ann      = a11a22 . . . ann

(8)

Minory i algebraiczne dopełnienia

Definicja 9. • Wyznacznik macierzy, powstałej z macierzy A przez skre´slenie wiersza i oraz kolumny j nazywa si ˛e minorem, Mij

Aij = (−1)i+jMij nazywa si ˛e dopełnieniem algebraicznym

Twierdzenie 10. 1. det A = Pni=1(−1)i+jaijMij = Pni=1 aijAij 2. det A = Pnj=1(−1)i+jaijMij = Pnj=1 aijAij Przykład 11. 1 −2 0 3 0 1 −1 1 −3 Algebra – p. 8

(9)

Wyznacznik iloczynu macierzy

Twierdzenie 12.

(10)

Wyznacznik a macierz odwrotna

Twierdzenie 13. Macierz A jest nieosobliw ˛a ⇐⇒ det A 6= 0, przy czym

   a11 . . . a1n . . . . an1 . . . ann    −1 = 1 det A    A11 . . . An1 . . . . A1n . . . Ann   

Wniosek 14. det A 6= 0 ⇐⇒ wiersze (kolumny) s ˛a liniowo niezale˙zne

(11)

Wzory Cramera

Twierdzenie 15. Je˙zeli wyznacznik układu równa ´n

     a11x1 + · · · + a1nxn = b1, . . . . an1x1 + · · · + annxn = bn,

ró˙zni si ˛e od zera, to jedyne rozwi ˛azanie układu dane jest wzorami

xk = a11 . . . b1 . . . a1n . . . . an1 . . . bn . . . ann det A k = 1, 2, . . . , n

Cytaty

Powiązane dokumenty

attribute – globalne zmienne które mogą się zmieniać per vertex (np. kolor czy texcoord), wysyłane z aplikacji do vertex shaderów. Dostępny tylko w VS, tylko

JQuery Wprowadzenie Dostęp Modyfikacjia Łańcuch 2 / 23 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod

je˙zeli serwer nie rozpoznał metody ˙z ˛ adania, on zwraca kod odpowiedzi 501 (Not implemented). je˙zeli serwer rozpoznał metod ˛e, ale one nie mo˙ze zosta´c zastosowana do

[r]

Znajdź równanie parametryczne krzywej, którą tworzy punkt okręgu o promieniu r, toczącego się bez. poślizgu wzdłuż

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/.

Znajdź kąt między przekątnymi płaszczyzn Oxy oraz Oyz kartezjańskiego układu współrzędnych.. Udowodnij, że ABCD jest równole- głobokiem i znajdź

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/..