Animacja oparta na interpolacji

(1)

Animacja Komputerowa. Animacja oparta na

interpolacji

Aleksander Denisiuk

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdańsku

ul. Brzegi 55

80-045 Gdańsk

(2)

Animacja oparta na interpolacji

Klatki kluczowe Odkształcanie obiektów Interpolacja kształtów trójwymiarowych Morﬁng

2 / 69

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

(3)

Klatki kluczowe

Klatki kluczowe Klatki kluczowe Interpolacja krzywych Odkształcanie obiektów Interpolacja kształtów trójwymiarowych Morﬁng

(4)

Klatki kluczowe

4 / 69

Naśladowanie animacji tradycyjnej

ustala się wartości wszystkich zmiennych (zmiennych

artykulacji, avars)

są interpolowane za pomocą wcześniej ustalonych

procedur

przykład

(5)

Interpolacja krzywych

Krzywe w każdej klatce kluczowej są określane przez taką

samą iość punktów

powiązanie między punktami

najprostze rozwiązanie: interpolacja liniowa

(6)

Problem porządanego kształtu

6 / 69

Wynik interpolacji nie zawsze jest porządany

(7)

Interpolacja krzywych

Końce krzywej P (u) są odwzorowane na końce

krzywej Q(u)

Odwzorowanie pozostałych punktów nie jest określone

dla krzywych B´eziera można wymagać odwzorowania

punktów kontrolnych

dla innych krzywych można wymagac interpolacji

odpowiadających sobie punktów

(8)

Ruchome więzy punktowe

8 / 69

Krzywe są okreśłone w klatkach kluczowych

Określa się dodatkowa informacją dla jednego lub większej

liczby punktów dla dwóch lub większej liczby klatek

kluczowych

. P₁₁ P₂₁ P₃₁ P₁₂ P₁₃ P₂₂ P₃₂ _P 23 C₁ C2 C₃ P₁₁ P₂₁ P22 C₁ C₂ P₁₂ C(t)

(9)

Odkształcanie obiektów

Klatki kluczowe Odkształcanie obiektów Wierzchołki Przestrzeń 2D siatka Łamana Globalne Swobodne Animowanie Interpolacja kształtów trójwymiarowych Morﬁng

(10)

Chwytanie i przesuwanie wierzchołków

10 / 69

Przemieszczenie jednego lub grupy wierzchołków

przesunięcie ziarna

przesunięcie otoczenia

(11)

Zanikające przesunięcie otoczenia

S(i) =











1 −

_n

₊₁

i

k

+1

k 0,

1 −

_n

₊₁

i

−k+1

k < 0,

S(i)

k=0

k<0

k>0

i/(n+1)

(12)

Odkształcanie otaczającej przestrzeni

12 / 69

Swobodna deformacja obiektów

Wprowadza się układ wpsółrzędnych w otoczeniu obiektu

Odkształca się obiekt w lokalnych współrzędnych

(13)

Odkształcanie dwuwymiarowej siatki

Lokalny układ współrzędnych jest związany

z dwuwymiarową siatką

Początkowo siatka jest ustalana równolegle do

współrzędnych globalnych

x

y

3

0

8 A

20 _{global x}

28

12

15 global y

local y

local x

(14)

Następny krok

14 / 69

Użytkownik przesuwa wierzchoki siatki w przestrzeni

Współrzędne wierzchołków oblicza się za pomocą

interpolacji dwuliniowej

P00

P01

P10

P11

Puv

Pu0

Pu1

(15)

Wynik

x

y

(16)

Odkształcenie łamanej

16 / 69

Dla obiektów powyginanych

Łamana na obiekcie

Proste graniczne

dwusieczne kątów

(17)

Odkształcenie łamanej

Dla wierzchołków zapamiętujemy

najbliższy odcinek

odległość wierzchołka i odcinka

połóżenie wierzchołka względem prostych granicznych

d d1 d2 L1 L2 L3 r=d2/d1

(18)

Wynik

18 / 69

Nowe położenie wierzchołków określane są na podstawie

zapamiętanych danych i odkształconej łamanej

d

s

s*r

(19)

Odkształcenie globalne

W przestrzeni stosujemy przekształcenie, określone przez

macierz M (p), która zależy od punktu p

globalne zwężanie:

s(z) =

max z − z

max z − min z

,











x

′

= s(z)x,

y

′

= s(z)z,

z

′

= z.

(20)

Skręcenie wokół osi

20 / 69

k — współczynnik skręcenia











x

′

= x cos kz − y sin kz,

y

′

= x sin kz + y cos kz,

z

′

= z.

(21)

Wygęcie

(z

min

, z

max

) — obszar zginania

(x

0 , z

min

) — środek zginania

θ =











0 jeśli z < z

_min

,

z − z

min

jeśli z

min

¬

z ¬ z

max

,

z

max

−

z

min

z > z

max

,

R = x

0 −

x,

x

_

′

=









x

z < z

min

,

x

0 −

R cos θ

z

min

¬

z ¬ z

max

,

x

0 −

R cos(θ + z − z

max

) + (z − z

max

) sin θ

z > z

max

,

y

′

= y

z

_

′

=









z

z < z

min

,

z

min

−

R cos θ

z

min

¬

z ¬ z

max

,

(22)

Wynik

22 / 69

(23)

Przykłady

(24)

Swobodne deformacje

24 / 69

Wprowadzamy lokalny układ współrzędnych za pomocą

środka P

₎

praz trzech wektorów, nie koniecznie

prostopadłych: (S, T, U ).

Lokalne współrzędne punktu P obliczane są za pomoca

wzorów:

s = (T × U ) · (P − P

₀

)/(T × U ) · S)

t = (U × S) · (P − P

0 )/(U × S) · T )

u = (S × T ) · (P − P

₀

)/(S × T ) · U )

S T U TxU P (TxU).S (TxU).(P-P₀) P₀

(25)

Deformacja

Współrzędne globalne P = P

0 + sS + tT + uU

Siatka początkowa związana jest z równoległościanem,

określonym przez wektory S, T, U :

P

i,k,j

= P

0 +

i

l

S +

i

m

T +

k

n

U

Przesuwamy punkty kontrolne

Obraz punktu P jest obliczany na podstawie współrzędnych

(s, t, u) ze wzoru

P (s, t, u) =

l

X

i=0

l

i

!

s

i

(1 − s)

l−i

m

X

j

=0

m

j

!

s

j

(1 − s)

m−j

×

n

X

k=0

n

i

!

s

k

(1 − s)

n−k

P

ijk

(26)

Łączenie deformacji

26 / 69

Common boundary plane

(27)

Siatka nie równoloegłoboczna

(28)

Deformacje kolejne

28 / 69

Wybrzuszanie

Zginanie

(29)

Deformacje hierarchiczne

Jeżeli szczegółowej deformacji podlega mały fragment

obiektu, tworzy się hierarchia

working at a coarser level

(30)

Animowanie deformacji swobodnej

30 / 69

Interpolacja liniowa wierzchołków obiektu

Deformacja obszaru, przez który przemiesza się obiekt

Animowanie punktów kontrolnych deformacji

(31)

Narzędzia deformacyjne

Siatka początkowa

Siatka końcowa (zdeformowana kopia siatki początkowej)

Przywiązanie narzędzia do obiektu (obiekt AFFD,

(32)

Przesuwanie narzędzia

32 / 69

(33)

Przesuwanie obiektu

(34)

Animowanie punktów kontrolnych

34 / 69

(35)

Animacja na kościach

a) initial configuration

(36)

Interpolacja kształtów

trójwymiarowych

Klatki kluczowe Odkształcanie obiektów Interpolacja kształtów trójwymiarowych Terminologia Identyczna topologia Gwiaździste Przekroje Przekrztałcenie na sferę Rekurencyjne dzielenie siatek Morﬁng

36 / 69

(37)

Podstawowe pojęcia

Techniki powierzchniowe i przestrzenne

Obiekt — przedmiot o trójwymiarowej powierzchni

Kształt — zbiór punktów powierzchni

Model — jednosznaczne opisanie kształtu przedmiotu

Topologia — właściwości niezmiennicze względem

homeomorphizmów

liczba otworów (genus)

liczba spójnych części

Obiekty homeomorﬁczne (równoważne topologicznie)

Topologia — sposób połaczenia wierzchołków

Dwa problemy animacji kształtów:

odpowiedniość

interpolacja

(38)

Obiekty o tej samej topologii (2)

38 / 69

Takie same wierzchołki, krawędzie i ściany

na przykład, swobodna deformacja

(39)

Wielościany gwiaździste

(40)

Animacja

40 / 69

(41)

Przekroje osiowe

Dla każdego obiektu określa się oś

przekroje płaszczyznami, prostopadłymi do osi, są

wielobokami gwiaździstymi

Osie się parameryzuje na odcinku [0, 1]

Określa się wektory położeń kątowych, prostopadłe do osi

0 1 1 0 central axes orientation vectors

(42)

Parametryzacja

42 / 69

Parametr osi i współrzędna biegunowa określają

parametryzację powierzchni

(43)

Interpolacja

Interpolacja między odpowiednimi punktami

- interpolated point - point from object 1

- point from object 2 a) slice from Object 1 showing

b) slice from Object 2 showing

c) Superimposed slices showing interpolated points

d) slice reconstructed from reconstructed polygon.

(44)

Interpolacja

44 / 69

(45)

Przekrztałcenie na sferę

Obiekty o genusie 0 mogą nie być ani gwiaździstymi, ani

mieć przekrojów osiowych

Odwzoruje się na powierzchnię (np sferę jednostkową)

Określa się wspólne wierzchołki

Powstają nowe modele obiektów, które mają tę samą

topologię

(46)

Metody odwzorowania na sferę

46 / 69

Rzut ze środka sfery

tylko dla gwiaździstych

Rzut wierzchołków kluczowych

najniższy, najwyższy, etc

podane przez użytkownika

(47)

Konstruowanie nowej topologii

Oba obiekty odwzorowane są na sferę

Nowa topologia na sferze zawiera:

oba zbiory wierzchołków oraz punkty przecięcia

krawędzi

fragmenty krawędzie oryginalnych

(48)

Obliczanie punktów przecięcia krawędzi

48 / 69

Przecięcie każdej krawędzi z każdą

zbyt czasochłonne

błędu zaokrąglenia, niepoprawne uporządkowanie

Inny algorytm

założenia: wszystkie ściany są trójkątami, nie ma

wierzchołków na krawędziech

zaczynamy od wierzchołka V

A

znajdujemy ścianę F

B

, na której leży V

A

Object A

Object B partial mesh from

partial mesh from

V_A F_B

(49)

Obliczanie punktów przecięcia krawędzi

Krawędzie wychodzące z V

A

dołaczane są do listy roboczej

Krawędzie śiany F

B

dołączane są do kandydatów na

przecięcie

Wybiera się krawędź E

A

z lity roboczej

Brak przecięć z krawędziami z listy kadydatów

przejście do fazy uporządkowania przecięć

Znaleziono przecięcie I

I dodaje się do listy przcięć obu krawędzi

nowa ściana staje się bieżącą

zapamiętuje się ściany obiektu A, których wspólną

krawędzią jest E

A

(50)

Obliczanie punktów przecięcia krawędzi

50 / 69

F

_B

V

_A

E

_A

E

_B

G

1 _B

G

2 _B

G

3 _B

G

4 _B

G

5 _B

Intersection list of V

_A

: I

a

,I

b

,I

c

,I

d

I

a

I

b

I

c

I

d

(51)

Faza uporządkowania

Dla krawędzi E

A

kolejność wierzchołków jest

uporządkowana

Dla krawędzi E

B

wykorzystana jest informacja o ścianach

obiektu A.

(52)

Odwzorowanie nowej topologii na obiekty

52 / 69

Nowe wierzchołki na krawędziach na sferze odwzorować na

krawędzie na powierzchni obiektu

można użyć parametryzaji

Wierzchołki obiektu A na sferze odwzorować na ściany

obiektu B i na odwrót

(53)

Nowa triangulacja

no vertices

by a point

by an edge

one vertex

two vertices

not possible with

triangles

vertices

inside of B

of triangle A

A

B

B’s intersections

connected

inside of A

(54)

Rekurencyjne dzielenie siatek

54 / 69

Nowa wspólna topologia określa się poprzez sprowadzenie

siatek do dwuwymiarowych siatek wielokątów oraz

skojarzenie wierzchołków na brzegach

(55)

Skojarzenie wierzchołków na brzegach

Klatki kluczowe Odkształcanie obiektów Interpolacja kształtów trójwymiarowych Terminologia Identyczna topologia Gwiaździste Przekroje Przekrztałcenie na sferę Rekurencyjne dzielenie siatek Morﬁng normalized distances 0 1 2 3 4 5 0.00 0.15 0.20 0.25 0.40 0.70 0 1 2 3 0.00 0.30 0.55 0.70 normalized distances - first vertex of boundary

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3

(56)

Morﬁng

Klatki kluczowe Odkształcanie obiektów Interpolacja kształtów trójwymiarowych Morﬁng Morﬁng Siatka współrzędnych Wyróżnione linie

56 / 69

(57)

Morﬁng

Przekształcenie jednego obrazu w inny

Wyznaczona odpowiedność elementów obrazów

używana przy sterowaniu przekształceniem

Dwa podejścia

wyznacza się siatki współrzędnych nałożone na każdy

z obrazów

(58)

Siatka współrzędnych

58 / 69

Określa się tyle samo punktów przecięcia na brzegach obu

obszarów

Powinny pokryć całe obszary

Siatki generuje się przy użyciu odpowiedniej metody

interpolacji

na przykład, splajny Catmulla-Roma

a) Image A b) Image B

(59)

Siatka pośrednia

Dla pewnego t ∈ (0, 1) określa się siatka pośrednia

można użyć interpolacji liniowej

bądź wyższego stopnia

Piksele obu obrazów są zmieniane w sposób, określony przez

siatkę, aby otrzymać wersje wygięte wersję obrazów

(60)

Interpolacja

60 / 69

interpolate intermediate

grid for time ‘t’

warp source image to intermediate grid

warp destination image to intermediate grid

cross dissolve the two images

(61)

Procedura dwuetapowa — siatka pomocnicza

a) Source image grid

b) Intermediate grid

use x-coordinates

of these points

use y-coordinates

of these points

intermediate

grid point

source image grid point

auxiliary

grid point

c) detail showing relationship of source image grid point,

(62)

Procedura dwuetapowa — I

62 / 69

0 1 2 3 scanline 0 1 2 3 4 5 6 7 8... 0 1 2 3 4 5 6 7 8... 1 0 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 pixel coordinates grid coordinates 0 1 2 3 4 5 6 7 8... 0 1 2 3

pixel coordinate to grid coordinate graph

0 1 2 3 4 5 6 7 8... 0

1 2 3

use the graph to determine image 0 1 2 3 4 5 6 7 8...

0 1 2 3

pixel coordinate to grid coordinate graph

0 1 2 3 4 5 6 7 8... 0

1 2 3

use the graph to see where the column

indices map to image pixels. this shows pixel’s range in terms of the column indices Source Image Grid Auxiliary Grid

(pixel #6 is shown). for auxiliary image for source image

pixel coordinates

grid coordinates grid coordinates

pixel coordinates

(63)

Procedura dwuetapowa — II

Klatki kluczowe Odkształcanie obiektów Interpolacja kształtów trójwymiarowych Morﬁng Morﬁng Siatka współrzędnych Wyróżnione linie 0 1 2 3 Intermediate Grid Auxiliary Grid 0 1 2 3 “column lines” 1 0 2 pixel coordinates 1 0 2 3 grid coordinates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8... 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8... 0 1 2 3 3

For a given pixel in the intermediate image, determine the coordinates in terms of row indices.

Use row index coordinates to determine the pixel coordinates

(64)

Mieszanie kolorów

64 / 69

C = αC

₁

+ (1 − α)C

₂

α może linowo zależeć od numeru klatki

lepsze wyniki wizualne można osiągnąć przy nieliniowej

(65)

Morﬁng sekwencji animowanych

Source image sequence

Destination image sequence

key grids

interpolated

grid

intermediate grid

(66)

Morﬁng za pomocą linii wyróżnionych

66 / 69

Na obrazach określa się linie, skazujące szegóły, które sobie

odpowiadają

Linie te są interplowane, aby uzyskać lini pośrednich

Każdy piksel ma przypisaną wagę, która określa wpływ linii

wyróżnionych

Kolor średni jest przyjmowany za odkształcony kolor

źródłowy

Analonicznie dla odkształconego koloru docelowego

Kolor pośredni otzrymany jest jako interpolacja

(67)

Jedna para linii wyróżnionych

Wprowadza się lokalne współrzędne (u, v) na obrazie

pośrednim oraz (s, t) na obrazie źródłowym

v (P–P1) (P2–P1) P2–P12 ---• = u (P–P1) (P2–P1) P2–P12 ---× = P1 P2 P=(u,v) u v U V

Animacja oparta na interpolacji

Animacja Komputerowa. Animacja oparta na

interpolacji

Aleksander Denisiuk

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdańsku

ul. Brzegi 55

80-045 Gdańsk

Animacja oparta na interpolacji

2 / 69

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

Klatki kluczowe

Klatki kluczowe

4 / 69

Naśladowanie animacji tradycyjnej

ustala się wartości wszystkich zmiennych (zmiennych

artykulacji, avars)

są interpolowane za pomocą wcześniej ustalonych

procedur

przykład

Interpolacja krzywych

Krzywe w każdej klatce kluczowej są określane przez taką

samą iość punktów

powiązanie między punktami

najprostze rozwiązanie: interpolacja liniowa

Problem porządanego kształtu

6 / 69

Wynik interpolacji nie zawsze jest porządany

Interpolacja krzywych

Końce krzywej P (u) są odwzorowane na końce

krzywej Q(u)

Odwzorowanie pozostałych punktów nie jest określone

dla krzywych B´eziera można wymagać odwzorowania

punktów kontrolnych

dla innych krzywych można wymagac interpolacji

odpowiadających sobie punktów

Ruchome więzy punktowe

8 / 69

Krzywe są okreśłone w klatkach kluczowych

Określa się dodatkowa informacją dla jednego lub większej

liczby punktów dla dwóch lub większej liczby klatek

kluczowych

Odkształcanie obiektów

Chwytanie i przesuwanie wierzchołków

10 / 69

Przemieszczenie jednego lub grupy wierzchołków

przesunięcie ziarna

przesunięcie otoczenia

Zanikające przesunięcie otoczenia

S(i) =











1 −



n

+1

i



k

+1

k ­ 0,



1 −

n

+1

i



−k+1

k < 0,

S(i)

k=0

k<0

k>0

i/(n+1)

Odkształcanie otaczającej przestrzeni

12 / 69

Swobodna deformacja obiektów

_n

₊₁

k 0,

_n

₊₁

_{global x}