Pochodna funkcji - pojęcie i obliczanie pochodnej

(1)

Pochodna funkcji – pojęcie i obliczanie pochodnej

Pochodna funkcji

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x₀. Oznaczmy:

x

 – przyrost zmiennej niezależnej x, gdzie x U i xx₀ (  x x x₀),

y

 – przyrost wartości funkcji, jaki odpowiada przyrostowi x , tzn.

0 0

( ) ( )

y f x x f x

     .

Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x dla przyrostu x₀ 

zmiennej x nazywamy wyrażenie:

0 0 ( ) ( ) f x x f x y x x        .

Definicja 2. Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę właściwą ₀

ilorazu różnicowego przy   i oznaczamy symbolem x 0 f x( ₀) lub 0 ( ) df x dx . Mamy więc 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x         .

Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna funkcji f w punkcie x jest ₀

równa współczynnikowi kierunkowemu

stycznej do wykresu tej funkcji

poprowadzonej w punkcie o odciętej x ₀. Zatem równanie stycznej do krzywej

( ) y₌ f x w punkcie o odciętej x ma ₀ postać: 0 0 0 ( )( ) ( ). y f x xx  f x x y O

Rys. 1. Interpretacja geometryczna

pochodnej

.

( ) yf x  0 x 0 ( ) tg f x   0 ( ) f x

(2)

Przykład 1. Na podstawie definicji wyznaczyć pochodną funkcji

2

( ) 2

f x x  w punkcie x , a następnie zapisać równanie stycznej do wykresu ₀

tej funkcji w punkcie x  . ₀ 1

Rozwiązanie. Ponieważ f x( )x2  , zatem: 2 2

0 0

( ) 2

f x x  , f x( ₀   x) (x₀ x)2 2 x₀22x₀  x ( x)2  . 2 Obliczamy pochodną danej funkcji w punkcie x : ₀

2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) lim lim x x f x x f x x x x x x f x x x                     0 0 0 0 0 (2 ) lim lim (2 ) 2 x x x x x x x x x              .

Dla x  mamy: ₀ 1 f x( ₀) f(1) , 3 f x( ₀) f(1) . Równanie stycznej do 2 wykresu danej funkcji w punkcie x  ma zatem postać: ₀ 1

(1)( 1) (1), y f x  f a stąd 2( 1) 3, y x  2 1. y x

Definicja 3. Pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x (ozn. ₀ f_(x₀)) nazywamy lewostronną granicę właściwą ilorazu różnicowego, tzn.

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x           .

Podobnie definiujemy pochodną prawostronną:

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x           .

Twierdzenie 1. Funkcja f posiada pochodną w punkcie x wtedy i tylko ₀

wtedy, gdy w tym punkcie istnieją pochodne jednostronne i są sobie równe.

Uwaga. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x , jeżeli ₀

posiada w tym punkcie skończoną pochodną. Z kolei funkcję f nazywamy

różniczkowalną w przedziale X, jeżeli posiada ona pochodną w każdym

punkcie tego przedziału. Wyznaczanie pochodnej danej funkcji nazywamy

różniczkowaniem tej funkcji, a funkcję f x( ) dla xX nazywamy funkcją

pochodną (lub krótko – pochodną) funkcji f x . W kolejnym rozdziale ( ) powiemy, w jaki sposób obliczać pochodną f x( ).

(3)

Definicja 4. Jeżeli pochodna f  funkcji f jest różniczkowalna w zbiorze X, to

jej pochodną nazywamy pochodną rzędu drugiego i oznaczamy symbolem f  . Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów.

Wzory podstawowe oraz reguły różniczkowania

Przy obliczaniu pochodnych korzysta się na ogół z gotowych wzorów na pochodne oraz pewnych reguł różniczkowania.

Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych

(1) ( )c   , (c – dowolna stała), 0 (2)

 

x   x1, ( – dowolna stała), (2.1) ( )x  , 1 (2.2)

 

1 2 x x   , (2.3) 1 1₂ x x          , (3)

 

ex   , ex (4)

 

ax  axlna, (5)



ln x



1 x   , (6)



log



1 ln a x x a   , (7)



sinx



 cosx, (8)



cosx



  sinx, (9)





2 1 tg cos x x   , (10)



ctg



1₂ sin x x    , (11)





2 1 arcsin 1 x x    , (12)





2 1 arccos 1 x x     , (13)





2 1 arctg 1 x x    , (14)



arcctg



1 ₂ 1 x x     .

Twierdzenie 2 (o działaniach na pochodnych).

Jeżeli istnieją pochodne f x( ) i g x( ), to: (15)



f x( )g x( )



 f x( )g x( ),

(4)

(17)



k f x ( )



 k f x( ), k – stała, (18)





2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} f x f x g x f x g x g x _{g x}  _ _   _        , dla ( )g x  . 0

Przykład 2. Obliczyć pochodną funkcji:

a) y4x3x27x , 4 b) y 63 x 2₅ 1 x x    , c) 3 2 3 2 2 x x x y x   , d) ytg (1 ln )x  x , e) 2 3 2 4 1 x y x   . Rozwiązanie.

a) Będziemy korzystać ze wzorów: (1), (2) oraz reguł: (15), (17). Wyjątkowo w tym przykładzie dokładnie rozpiszemy wszystkie wykonywane operacje. W kolejnych przykładach będziemy pomijać zapis pewnych działań.



3 2

    

3 2

 

4 7 4 4 7 (4) y x x  x  x  x  x   4

   

x3  x2 7

 

x (4) 4 3x22x   7 1 0 12x22x . 7 b) 1 1 5 3 3 2 5 2 1 6 6 2 y x x x x x x          _   _ _   _    _ _ 2 3 6 3 2 6 3 2 3 1 1 2 10 1 6 2 ( 5) 3x x 2 x _x x ₂ _x  _ _ _        _ _      .

c) Tutaj najpierw przekształcimy daną funkcję:

2 1 1 2 4 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x y x x x x x x  _ _  _ _          . Stąd 7 1 3 2 3 7 4 4 3 3 3 ₃ y x x x x         .

(5)

d) Stosujemy wzór (16): 2 1 1 (tg ) (1 ln ) tg (1 ln ) (1 ln ) tg 0 cos y x x x x x x x x            _  _   2 1 ln tg cos x x x x    .

e) Stosujemy wzór (18) na pochodną ilorazu:

  



















2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 4 1 2 4 1 4 4 1 2 12 4 1 4 1 x x x x x x x x y x x _ _{ } _ _  _ _{ } _      









4 4 4 2 2 3 3 16 4 24 8 4 4 1 4 1 x x x x x x x         .

Twierdzenie 3 (o pochodnej funkcji złożonej).

Jeżeli funkcja ( )h x  f g x( ( )) jest złożeniem funkcji g (wewnętrznej) i f (zewnętrznej) takich, że funkcja g ma pochodną w punkcie x, a funkcja f ma pochodną w punkcie u, gdzie ug x( ), to funkcja ( )h x ma w punkcie x

pochodną określoną wzorem





( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )

h x  f g x  f g x g x  f u g x .

Widzimy zatem, że pochodna funkcji złożonej jest iloczynem dwóch pochodnych: pochodnej funkcji zewnętrznej f (którą różniczkujemy względem zmiennej u) oraz pochodnej funkcji wewnętrznej g (którą różniczkujemy względem zmiennej x).

Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji:

a) y(3x22)10, b) ysinx3, c) arctg 1 1 x y x    , d) 3 6 3 x x , y  e) yex21sin 3 ,x f) 2 3 tg , e x x y  g) yln x21, h) _y__xcos x_.

(6)

Rozwiązanie.

a) Funkcja y(3x22)10 jest funkcją złożoną z funkcji potęgowej f u( )u10

oraz funkcji ug x( )3x2 Korzystając z twierdzenia 3, wzorów 2. podstawowych oraz reguł różniczkowania otrzymamy:

 

2 10 10 9 2 9 2 (3 2) 10 10(3 2) (3 2) y_ x  _ u  u  u x   x   2 9 2 9 10(3x 2) 6x 60 (3x x 2)      .

b) Tutaj funkcją zewnętrzną jest funkcja f u( )sinu, a funkcją wewnętrzną: 3

.

ux Możemy zatem zapisać:



3







3

 

3 3 2 2 3

sin sin cos cos cos 3 3 cos .

y x  u  u u  x  x  x  x  x x

c) Wykorzystując twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej oraz wzór na pochodną ilorazu, zapiszemy krótko:

2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 arctg 1 1 1 ₁ ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 x x x x y x x x x x x x               _ _  _ _               _  _ _ _ _ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x                     . d) y 



36x x 3



36x x 3ln 3 6 3



 x2



3ln 3 2



x2



36x x 3

e) Dana funkcja jest iloczynem dwóch funkcji złożonych. Wykorzystując odpowiednie reguły różniczkowania otrzymamy:

 

2 2







2



2

1 1 1 1

ex sin 3 ex sin 3 ex 2 sin 3 ex (cos3 3)

y    x   x    x  x   x  2 1 ex (2 sin 3x x 3cos 3 )x   . f)

 

3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 1 2tg e tg e 3 tg e tg e cos e e x x x x x x x x x x x y _ _ _  _ _ _ _ _    

 

2 3 2 2 2 2 3 2 3 2tg 3sin e

cos cos 2tg 3sin

e cos e x x x x x x x x x x           .

(7)

g) Zauważmy, że mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną, której funkcja wewnętrzna (u x2 ) jest również funkcją złożona. Zatem należy 1 dwukrotnie skorzystać z twierdzenia 3 i wówczas pochodna danej funkcji będzie iloczynem trzech pochodnych:



2





2



2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 y x x x x x  _             2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x        .

h) Mamy tutaj do czynienia z funkcją postaci y



f x( )



g x( ). Aby obliczyć pochodną tego typu funkcji korzystamy ze wzoru:



_{f x}_{( )}



g x( )__eg x( )ln ( )f x _{(gdzie ( )}_{f x  ).}₀

W naszym przypadku otrzymamy



cos

 

cos ln



cos ln

e e (cos ln )

x x x x x

y x    x x 

cos ln 1 sin cos

= e x x sinx lnx cosx x x sin lnx x x

x x

   

 _    _ _  _

   .

Przykład 4. Obliczyć pochodną rzędu drugiego funkcji:

a) y4x3cosx2lnx, b) ye3x21.

Rozwiązanie.

a) Pochodna rzędu drugiego jest pochodną pierwszej pochodnej. Obliczamy

2 2 12 sin y x x x     ,

 

2 2 24 cos y y x x x       .

b) Obliczamy pochodną pierwszego rzędu

2 2

3 1 3 1

e x 6 6 e x

y    x x  .

Aby obliczyć pochodną drugiego rzędu korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu

2 2 2

3 1 3 1 2 3 1

6 e x 6 e x 6 6(1 6 )e x

(8)

Różniczka funkcji oraz jej zastosowania

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x ₀.

Definicja 5. Różniczką funkcji f w punkcie x dla przyrostu x₀  zmiennej

niezależnej x nazywamy iloczyn f x( ₀) i oznaczamy symbolem .x dy

Zauważmy, że dx( )x        . Możemy zatem zapisać: x 1 x x

0

( ) .

dy f x dx

Różniczkę funkcji można wykorzystać w obliczeniach przybliżonych oraz do szacowania błędów pomiarów.

Okazuje się, że dla małych przyrostów dx zmiennej niezależnej x, mamy: . y dy   Stąd 0 0 0 ( ) ( ) ( ) f x dx  f x  f x dx i dalej 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . f x dx  f x  f x dx

Przykład 5. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

3_{7,97 .} Rozwiązanie. Oznaczmy: 3 ( ) f x  x, x  , ₀ 8 dx  0,03. Możemy zapisać 3_7,97 _f_(7,97) _f₍₈ _{( 0,03))} _f₍₈₎ _{f }_{(8) ( 0,03)}  _. Obliczamy: 3 (8) 8 2 f   ,

 

3 13 23 3 2 1 1 ( ) 3 ₃ f x x x x x        _ _     , to

 

2 3 2 ₃ 1 1 1 (8) 12 3 8 3 8 f     , Zatem 3_7,97 ₂ 1 _{( 0,3)} ₂ 1 3 ₂ 1 _{2 0,025 1,975.} 12 12 10 40            

Załóżmy, że dwie wielkości x i y związane są zależnością y f x( ) oraz, że pomiar wielkości x przeprowadzany jest z pewnym błędem  . Interesuje _x nas, jaki błąd bezwzględny  popełnimy wyznaczając wielkość y w oparciu _y

(9)

o wzór y f x( ) oraz zmierzoną wartość x wielkości x. W celu oszacowania ₀

tego błędu można posłużyć się wzorem przybliżonym: 0

( )

y f x x

   .

Przykład 6. Promień koła r zmierzony z dokładnością  _r 0,1cm ma długość

0 22

r  cm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole P tego koła?

Rozwiązanie. Aby ocenić błąd obliczeń skorzystamy ze wzoru:

0 ( )

P P r r

   .

Pole koła wyraża się wzorem

2 P  . r Obliczamy pochodną 2 P   . r Stąd 0 ( ) (22) 2 22 44 P r P       .

Szacujemy dokładność obliczeń: 0

( ) 44 0,1 4, 4 13,32

P P r r

         .

Zatem błąd bezwzględny jest w przybliżeniu równy 13,32cm . 2

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Obliczyć pochodną funkcji:

1. 1 3 5 2 3 7 3 2 y x  x  x , 2. y 3x72x5e2, 3. y 2 x 3 5₃ x x    , 4. y3 xx x3 2 57 x, 5. 2 3 3 2 x x x y x   , 6. y3sinx5cosx2x, 7. y



x22 sin



x 8. y(2 lnx5x2)(3 tg ) x , 9. ye ctgx x, 10. y(2x3) 32x, 11. 2 1 x y x   , 12. 2 2 2 3 2 3 x x y x x      ,

(10)

13 e₃ x y x  , 14. cos 1 sin x x y x    , 15. y(7x2)3, 16. y 5x2  , 2 17. ysin(3x2), 18. 3 3 2 5 y x   , 19. 1 1 x y x    , 20. 2 cos (3 1) y x , 21. y4tg x , 2 22. 3ln 5 2 y x   , 23. 2 ₁ x y x   , 24. 2 sin x y x  , 25. 2 1 ln(2 1) x y x    , 26. 2 6 5x x y  , 27. yln



x23x2



, 28. yln



x x21



, 29. y7ex2, 30. y ecos2x, 31. y  4 35x, 32. yx25x, 33. yxecos2x 34. y(10x21)e3x, 35. yarctgx2, 36. y arcctg1 x  , 37. 3arccos1 2 y x, 38. 2 arcsin 1 x y x   , 39. yln sin 2



3 x



, 40. yx3x, 41. y(ln )x x, 42. 1 cos (tg ) x y x . Obliczyć pochodną rzędu drugiego funkcji:

43. yarccosx, 44. yarctg 2x,

(11)

47. yxex2, 48. y ecosx, 49. yln(x23 )x , 50. ylog₂



x2 , 1



51. y ln x x  , 52. sin 2 cos 3 x x y  .

Napisać równanie stycznej do krzywej y f x( ) w punkcie x : ₀

53. f x( )2x28, x₀  , 1 54. ₀ 2 ( ) , 2 1 x f x x x    , 55. f x( )ln ,x x₀ , e 56. f x( )arctg ,x x₀ 1. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:

57. ln 0,9 , 58. arctg1,03 .

Znaleźć przybliżoną wartość funkcji

59. f x( )x32x23x dla 5 x 2,03,

60. ( )f x  1 dla x x 0, 2.

61. Krawędź sześcianu zmierzona z dokładnością  1 mm ma długość 82 mm.

Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość tego sześcianu?

Opracowanie:

dr Igor Kierkosz