Przegląd wlasności funkcji elementarnych

(1)

Analiza Matematyczna. Przegl ˛

ad własno ´sci funkcji elementarnych

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Przegl ˛

ad własno ´sci funkcji elementarnych

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Pot ˛ega wymierna

Twierdzenie 1. Niech

n

_{∈ N}

. Wtedy funkcja

x

n przy

x

_{∈ [0, +∞)}

ro´snie i jest ci ˛agł ˛a.

Dowód.

x

n₂

_{− x}

n₁

= (x

2

− x

1

)(x

n−1₂

+ x

n−2₂

x

1

+ · · · + x

n−1₁

)

.

Wniosek 2. Istnieje funkcja, odwrotna do

x

n

_{: [0, +∞) → [0, +∞)}

, pierwiastek stopnia

n

:

y

_7→

√

n

y

_.

Definicja 3. Niech

α

b ˛edzie liczb ˛a wymiern ˛a. Wtedy dla

a >

0

okre´slone jest

a

α w sposób nast ˛epuj ˛acy: 1. Dla

n >

0

:

x

n1

=

√

n

a

,

2. dla

m, n >

0

:

a

mn

= a

1

(4)

Własno ´sci wymiernej pot ˛egi

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne Twierdzenie 4. 1.

(a

α

)

β

= a

αβ

,

a

α

_{· b}

α

= (ab)

α

,

a

α

_{· a}

β

= a

α+β

.

2. Dla

a >

1

oraz

α >

0 a

α

>

1

.

3. Dla

a >

1

funkcja

a

x ro´snie na zbiorze liczb wymiernych. Dowód. 2. Zało˙zymy, ˙ze

a

mn

<

1

. 3.

a

m1n1

_{< a}

m2n2 _dla m1 n₁

<

m₂ n₂ .

(5)

Funkcja wykładnicza

Twierdzenie 5. Niech dane b ˛ed ˛a

x, a

_{∈ R}

,

a >

1

. Istnieje jedyna liczba rzeczywista

y

, taka, ˙ze dla dowolnych liczb

α, β

∈ Q

,

α < x < β

_{⇒ a}

α

6 _{y 6 a}

β.

Definicja 6. Definiujemy dla

a >

1

,

x

_{∈ R}

, pot ˛eg ˛e

a

x jako jedyn ˛a liczb ˛e, okre´slon ˛a w twierdzeniu 5. Dla

0 < a < 1

definiujemy

(6)

Własno ´sci funkcji wykładniczej

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne Twierdzenie 7. 1.

(a

α

)

β

= a

αβ

,

a

α

_{· b}

α

= (ab)

α

,

a

α

_{· a}

β

= a

α+β

.

2. Funkcja

a

x dla

a >

1

ro´snie, dla

0 < a < 1

maleje na cał ˛a prost ˛a.

3. Funkcja

a

x jest ci ˛agł ˛a

∀x ∈ R

. 4. Funkcja

a

x jest dodatni ˛a

∀x ∈ R

. 5. Dla

a >

1 lim

x→−∞

a

x

_{= 0}

_,

_lim

x→+∞

a

x

_{= +∞}

_{, dla}

_{0 < a < 1}

lim

x→−∞

a

x

= +∞

,

lim

x→+∞

a

x

_{= 0}

_.

(7)

Wykres funkcji

y

= a

x •Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne

Rysunek 1: Wykres funkcji y = ax

dla a > 1 (po lewej) oraz dla

(8)

Logarytm

Definicja 8. Funkcj ˛e

log

_a

x

_{: (0, +∞) → R, a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)}

definiujemy jako odwrotn ˛a do

a

x

_{: R → (0, +∞)}

.

Własno ´sci logarytmu

Twierdzenie 9. 1.

log

_a

(x

₁

· x

₂

) = log

_a

x

₁

+ log

_a

x

₂,

log

_a

(

x1

x₂

) = log

a

x

1

− log

a

x

2,

log

a

(x

α

) = α · log

a

x

,

log

_a

x

=

logb x

log_ba.

2. Funkcja

y

= log

_a

x

jest ci ˛agł ˛a i rosn ˛ac ˛a na półprostej

(0, +∞)

dla

a >

1

oraz malej ˛ac ˛a dla

0 < a < 1

.

3.

lim

x→0+

log

a

x

= −∞

, x→+∞

lim

log

a

x

= +∞

przy

a >

1

oraz

lim

(9)

Wykres funkcji

y

= log

_a

x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 4 6 8 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 6 8

Rysunek 2: Wykres funkcji y = loga x dla a > 1 (po lewej) oraz dla

0 < a < 1 (po prawej)

Uwaga 10. Logarytm przy podstawie

e

nazywa si ˛e naturalnym i oznacza si ˛e

ln x

.

(10)

Funkcja pot ˛egowa

Definicja 11. Dla

α

_{∈ R}

, okre´slamy funkcj ˛e

x

α

_{: (0, +∞) → (0, ∞)}

w sposób nast ˛epuj ˛acy:

x

α

= e

α ln x.

Własno ´sci funkcji pot ˛egowej

Twierdzenie 12. 1. Funkcja

x

α jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na

(0, +∞)

. 2. Funkcja

x

α jest funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a przy

α >

0

i malej ˛ac ˛a przy

α <

0

na przedziale

(0, +∞)

. 3.

lim

x→0+

x

α

_{= 0}

_przy

_{α >}

₀

_oraz

_lim

x→0+

x

α

_{= +∞}

_przy

_{α <}

₀

_.

4.

lim

x→+∞

x

α

= +∞

przy

α >

0

oraz

lim

x→+∞

x

(11)

Wykres funkcji

y

= x

α •Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne 0 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 α >1 α =1 α <1 0 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 α < −1 α = −1 α > −1

Rysunek 3: Wykres funkcji y = xα

dla α > 0 (po lewej) oraz dla α < 0 (po prawej)

(12)

Podstawowe własno ´sci funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie 13. 1.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

, 2.

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

,

3.

sin

2

x

+ cos

2

y

= 1

, 4.

sin 0 = 0

,

sin

π₂

= 1

, 5.

cos 0 = 1

,

cos

π₂

= 0

,

(13)

Własno ´sci funkcji trygonometrycznych

Wniosek 14. 1.

| sin x| 6 1

,

| cos x| 6 1

, 2.

sin(−x) = − sin x

,

cos(−x) = cos x

, 3.

sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

, 4.

cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y

, 5.

sin x + sin y = 2 sin

x+y₂

cos

x−y₂ ,

6.

sin x − sin y = 2 sin

x−y₂

cos

x+y₂ , 7.

cos x = sin(

π₂

− x)

,

8.

sin(x + 2π) = sin x

,

cos(x + 2π) = cos x

, 9.

| sin x| 6 |x|

.

(14)

Funkcje okresowe

Definicja 15. Funkcja

f

(x)

nazywa si ˛e okresow ˛a, je˙zeli istnieje minimalna liczba

T

∈ R

, takia, ˙ze

∀x

zachodzi

f

(x + T ) = f (T )

. Liczba

T

przy tym nazywa si ˛e okresem funkcji

f

(x)

.

Uwaga 16. Własno´s´c 8 oznacza, ˙ze funkcje

sin x

i

cos x

maj ˛a okres

2π

. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze

2π

jest najmniejszym z okresów. Uwaga 17. Stała funkcja nie jest okresow ˛a.

(15)

Własno ´sci funkcji

sin x

oraz

cos x

. Cd.

Twierdzenie 18. Funkcje

sin x

oraz

cos x

s ˛a ci ˛agłe na całej prostej

R

.

Dowód.

•

sin x

jest ci ˛agł ˛a w zerze.

•

sin x − sin x

n

= 2 cos

x+x₂ n

sin

xn₂−x jest ci ˛agiem

niesko ´nczone małym dla ci ˛agu

x

_n

_{→ x}

.

•

cos x = sin(

π₂

_{− x)}

.

(16)

Wykresy funkcji

sin x

oraz

cos x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -1 -0.5 0 0.5 1 -10 -5 5 10 π 2π −π −2π -1 -0.5 0 0.5 1 -10 -5 5 10 π/2 5π/2 −π/2 −5π/2 −3π/2

(17)

Funkcje

tg x

,

ctg x

Definicja 20. 1.

tg x =

_cossinx_x

2.

ctg x =

cos_sin_xx.

Uwaga 21. W literaturze angloj ˛ezycznej u˙zywa si ˛e oznacze ´n

tg x

oraz

ctg x

.

Własno ´sci funkcji

tg x

i

ctg x

Twierdzenie 22. 1. Funkcja

tg x

jest ci ˛agł ˛a przy

x

6=

π₂

+ kπ

, za´s funkcja

ctg x

jest ci ˛agł ˛a przy

x

_{6= kπ}

.

2. Funkcje

tg x

oraz

ctg x

maj ˛a okres

π

.

3. Funkcja

tg x

ro´snie na ka˙zdym z przedziałów

(18)

Wykresy funkcji

tg x

oraz

ctg x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -4 -2 0 2 4 -4 -2 2 4 π/2 3π/2 −π/2 −3π/2 -4 -2 0 2 4 -4 -2 2 4 π −π

(19)

Funkcje kołowe (odwrotne trygonometryczne funkcje)

Definicja 23. _•

arc sin x : [−1, 1] → [−

π₂

,

π₂

]

jest funkcj ˛a odwrotn ˛a do

sin x : [−

π₂

,

π₂

] → [−1, 1]

.

•

arc cos x : [−1, 1] → [0, π]

cos x : [0, π] → [−1, 1]

.

•

arctg x : (−∞, +∞) → (−

π2

,

π

2

)

tg x : (−

π2

,

π

2

) → (−∞, +∞)

.

•

arcctg x : (−∞, +∞) → (0, π)

ctg x : (0, π) → (−∞, +∞)

.

Twierdzenie 24. 1. Wszystkie te funkcje s ˛a ci ˛agłe, 2. funkcje

arc sin x

i

arctg x

s ˛a rosn ˛ace,

(20)

Wykresy funkcji

arc sin x

oraz

arc cos x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0.5 1 −π/2 π/2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0.5 1 π

Rysunek 6: Wykres funkcji y = arc sin x (po lewej) oraz y = arc cos x

(21)

Wykresy funkcji

arctg x

oraz

arcctg x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -1 -0.5 0 0.5 1 -3 -2 -1 1 2 3 −π/2 π/2 0.5 1 1.5 2 2.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 π

Rysunek 7: Wykres funkcji y = arctg x (po lewej) oraz y = arcctg x (po prawej)

(22)

Funkcje hiperboliczne

Definicja 25. 1. Funkcja

sinh =

ex−₂e−x nazywa si ˛e sinusem hiperbolicznym

2. Funkcja

cosh =

ex+₂e−x nazywa si ˛e cosinusem hiperbolicznym 3. Funkcja

tgh =

_coshsinhx_x

=

e_exx−₊e−x

e−x nazywa si ˛e tangensem

hiperbolicznym

4. Funkcja

ctgh =

cosh_sinh_xx

=

_eexx+₋e_e−x_−x nazywa si ˛e cotangensem

hiperbolicznym

Twierdzenie 26. Funkcje hiperboliczne s ˛a ci ˛agłe we wszystkich punktach prostej

R

(cotangens hiperboliczny oprócz punktu

x

= 0

).

Twierdzenie 27.

sinh(x + y) = sinh x · cosh y + cosh x · sinh y,

cosh(x + y) = cosh x · cosh y + sinh x · sinh y.

(23)

Wykresy funkcji

sinh x

oraz

cosh x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -4 -2 0 2 4 -3 -2 -1 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -2 -1 1 2

Rysunek 8: Wykres funkcji y = sinh x (po lewej) oraz y = cosh x (po prawej)

(24)

Wykresy funkcji

tgh x

oraz

ctgh x

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 1 2 -4 -2 0 2 4 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

Rysunek 9: Wykres funkcji y = tgh x (po lewej) oraz y = ctgh x (po prawej)

(25)

Dwie granice

•Przegl ˛ad własno´sci funkcji elementarnych •Pot ˛ega •Wykładnicza •Logarytm •Pot ˛egowa •Trygonometryczne •Kołowe •Hiperboliczne Twierdzenie 28.

lim

x→0 sinx x

= 1

. Twierdzenie 29.

lim

x→0

(1 + x)

1/x

_{= e}

_.