Prosta na płaszczyźnie

Algebra

Prosta na płaszczy´znie

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

Prosta na płaszczy´znie

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Równanie prostej

• _{Ka˙zda prosta ma równanie postaci ax + by + c = 0}

y

A1

A

Równanie prostej

• _{Je˙zeli a i b jednocze´snie nie s ˛a równe 0, to ax + by + c = 0}

jest równaniem prostej

Równanie parametryczne prostej

Poło˙zenie prostej wzgl ˛edem osi

Równanie prostej, rozwi ˛

azane wzgl ˛edem

y

Proste równoległe i prostopadłe

• _{Niech dane b ˛ed ˛a dwie proste a1x + b1y + c1 = 0 oraz}

a2x + b2y + c2 = 0

• _{Proste s ˛a równoległe (lub si ˛e pokrywaj ˛a)}

⇐⇒ a1b2 − b1a2 = 0

• _{Proste s ˛a prostopadłe ⇐⇒ a1a2 + b1b2 = 0}

Prosta a punkt

• _{Niech dane b ˛ed ˛a prosta p, ax + by + c = 0 oraz}

punkt A(x0, y0)

• _{Punkt A le˙zy na prostej ⇐⇒ ax0 + by0 + c = 0.}

• _{Je˙zeli punkt A nie le˙zy na prostej, to znak ax0 + by0 + c}

okre´sla jedn ˛a z dwóch półpłaszczyzn

◦ _{Równanie parametryczne prostej, przechodz ˛acej przez}

dwa punkty A1(x1, y1) oraz A2(x2, y2) podstawi´c do

Odległo´s´c punktu od prostej

• _{Odległo´s´c punktu od prostej d(A, p) =} |ax0+by0+c|

√

a2_+b2

• _{|ax0 + by0 + c| jest proporcjonalna do odległo´sci punktu A}

od prostej

• _{Je˙zeli a}2

+ b2 = 1, to równanie prostej nazywa si ˛e

normalnym, a |ax0 + by0 + c| zgadza si ˛e z odległo´sci ˛a od

punktu A do prostej

◦ _{Równanie prostej p1, przechodz ˛acej przez punkt A}

i prostopadłej do p, to b(x − x0) − a(y − y0) = 0

◦ _{Punkt A1(x1, y2) na przeci ˛eciu prostych p i p1 spełnia}

dwa warunki: ( b(x1 − x0) − a(x1 − x0) = 0, ax0 + by0 + c = a(x1 − x0) + b(x1 − x0) ◦ _{St ˛ad (ax0 + by0 + c)}2 = (a2 + b2) (x1 − x0)2 + (y1 − y0)2
Algebra – p. 10

Zagadnienia zwi ˛

azane z prost ˛

a

• _{Równanie prostej, przechodz ˛acej przez punkt A(x1, y1)} ◦ _{a(x − x1) + b(y − y1) = 0}

• _{Równanie prostej, przechodz ˛acej przez dwa}

punkty A1(x1, y1) i A2(x2, y2)

◦ x_−x1

x2−x1 −

y_−y1

y2−y1 = 0

• _{Równanie prostej, równoległej do ax + by + c = 0,}

przechodz ˛acej przez punkt A(x1, y1)

◦ _{a(x − x1) + b(y − y1) = 0}

• _{Równanie prostej, prostopadłej do ax + by + c = 0,}