ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Krzywe Stożkowe
ALEKSANDER DENISIUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Zaznacz na płaszczyźnie punkty o współrzędnych biegunowych: (1) A(2, −π 6) (2) B(3,π 2) (3) C(√2,5π 3) (4) D(1,7π 6 ) (5) E(3, −π 3) (6) F (2, −π 4)
Ćwiczenie 2. Znajdź współrzędne biegunowe punktów, symetrycznych względem osi biegunowej oraz bieguna (1) A(1,π 6) (2) B(2, −π 2) (3) C(3, 0) (4) D(1,7π 6 ) Ćwiczenie 3. Znajdź współrzędne biegunowe punktów
(1) A(1, −1) (2) B(−√3, 1) (3) C(−2, 0) (4) D(−1, 1) (5) E(1, −√3) (6) F (0, −2)
Ćwiczenie 4. Znajdź współrzędne kartezjańskie punktów (1) A(1, −π 6) (2) C(3, 0) (3) E(1,7π 3) (4) B(2, −π 2) (5) D(1,7π 6) (6) F (√2,7π 4 ) Ćwiczenie 5. Jakie równanie we współrzędnych kartezjańskich będzie miała krzywa
(1) ρ = 4
4−cosθ (2) ρ =
2 1+sin θ Ćwiczenie 6. Jakie równanie we współrzędnych biegunowych będzie miała krzywa
(1) x2+ y2= 3x (2) x2+ y2= 9
(3) y =√3x
Ćwiczenie 7. Znajdź odległość między punktami A(ρ1, θ1) i B(ρ2, θ2) we współrzędnych biegunowych. Ćwiczenie 8. Wypisz równanie kanoniczne elipsy, dla której
(1) odległość między ogniskami jest równa 16, a mimo-środ 3
4;
(2) suma półosi jest równa 18, a odległość między ogni-skami jest równa 24;
(3) większa półoś jest równa 26, a mimośrod 5 13;
(4) odległość między ogniskami jest równa 8, a mniejsza półoś jest równa 3;
(5) odległości ogniska od końców większej osi są rów-ne 10 i 2;
Ćwiczenie 9. Dana jest hiperbola. Znajdź jej półosie, mimośrod oraz równania asymptot (1) 9x2
− 16y2= 144; (2) 16x2− 25y2= 9; Ćwiczenie 10. Wypisz równanie kanoniczne hiperboli, dla której
(1) półoś urojona równa jest 5, a mimośrod — 1312; (2) półoś rzeczywista jest równa 4, i hiperbola
przecho-dzi przez punkt (4√2, 2);
(3) odległość między ogniskami jest równa 30, a odle-głość między wierzchołkami — 24;
(4) półoś rzeczywista równa jest 12, a mimośrod — 53; (5) półoś urojona jest równa 2, i hiperbola przechodzi
przez punkt (−3,√5 2 );
2 ALEKSANDER DENISIUK
Ćwiczenie 11. Znajdź kanoniczne równanie paraboli, jeżeli (1) parabola przechodzi przez punkt (4, −2);
(2) parabola ma ognisko w punkcie (−3, 0)
(3) parabola przechodzi przez punkt (1, −2); (4) parabola ma ognisko w punkcie (5, 0)
Ćwiczenie 12. Jaka krzywa odpowiada równaniu? Naszkicuj tę krzywą. (1) x2+ y2 − 4x − 6y + 1 = 0; (2) 4x2 − y2+ 40x + 2y + 101 = 0; (3) 3x2 − 4y2− 12x − 8y + 20 = 0; (4) 2x2 − 4y2− 5x − 6y − 1 = 0; (5) y2 − 3x − 4y + 10 = 0; (6) x2 − 2x − 3 = 0; (7) 2y2 − 4y + 5 = 0; (8) 4x2+ 25y2 + 4x − 10y − 8 = 0; (9) 2x2+ 3y2+ 6x + 6y + 25 = 0; (10) x2 − y2+ 2x − 2y = 0; (11) x2+ y2 − x = 0; (12) x2 − 6x + 2y + 11 = 0; (13) y2+ 4y + 4 = 0; (14) 2x2 − 12x − 3y + 18 = 0;
Ćwiczenie 13. Jaka krzywa odpowiada równaniu? Wypisz równanie krzywej we współrzędnych kartezjańskich. (Początek układu współrzędnych zgadza się z biegunem, oś OX zgadza się z osią giegunową.) Naszkicuj tę krzywą.
(1) ρ = 2 3 −sinθ; (2) ρ = 2 2−cosθ; (3) ρ = 1 3 −cosθ; (4) ρ = 2 2+cos θ; (5) ρ = 1 2 −sinθ; (6) ρ = 2 1+sin θ;
E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk