Zbieżności ciągów funkcyjnych
Definicja. Zał, że X ⊂ , A⊂ . Mówimy, że jest gęsty w A X , gdy .
( )n nlim n x X a∀ ∃∈ n→∞a =x
Twierdzenie. Jeżeli jest zbiorem gęstym w A X , to
(
)
.0 ,
a A
X a a
δ∀> ⊂
∪
∈ −δ +δDefinicja. Rodziny przedziałów
{
nazywamy pokryciem otwartym zbioru , gdy .(
a bt, t)
:t T∈}
b X(
t, t)
t T X a ∈ ⊂∪
Definicja. Mówimy, że jest zbiorem zwartym, gdy
( ) . X ⊂ ( ) ( ) lim n nn kn n nn k x∀⊂X x ∃⊂x x X n∈∃ →∞x =x Twierdzenie. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony, to znaczy
0
M∃ ∀> ∈x X x ≤M .
Twierdzenie. Zał, że rodzina przedziałów
{
jest pokryciem otwartym przedziału[
]
.Wtedy .
(
a bt, t)
:t T∈}
X}
∈ b , α β {1 2, , , }[
]
1(
)
, i, i n n t t t t t T i a b α β ∈ = ∃ ⊂ …∪
Lemat. Jeżeli X jest zbiorem zwartym,
( )
xn n ⊂ oraz lin→∞mxn =x0, to x0∈X .Twierdzenie. Zał, że jest zbiorem zwartym, U a jest pokryciem otwartym
zbioru . Wtedy . X ⊂ { , , ,…tn}∈T
(
)
{
t,bt :t T = X(
)
1 2 1 , i i n t t t t i X a = ∃ ⊂∪
Definicja. Zał, że X ⊂ , f Xn: → , n∈ .
(1) Rodziny
{
fn n}
nazywamy punktowo ograniczonymi, gdy( )
0
x n x
x X M∀ ∃ ∀∈ > ∈n f x ≤M ; (2) Rodziny
{
fn n}
nazywamy jednostajnie ograniczonymi, gdy( )
0 n
M∃ ∀ ∀> ∈x X n∈ f x ≤M ;
(3) Rodziny
{
fn n}
nazywamy jednakowo ciągłe, gdy( )
( )
0 0 ,x x X n x x f xn f xn
ε∀ ∃ ∀ ∀ −> δ> ′∈ ∈ ′ < ⇒δ − ′ <ε.
Uwaga. (1) Jeżeli
{
fn n}
jest jednakowo ciągła, to n jest jednostajnie ciągła; n∀∈ f(2) Z faktu, że n∀∈ fn jest jednostajnie ciągła, nie wynika że
{
fn n}
jest jednakowo ciągła;(3) Jeżeli
{
jest skończoną rodziną funkcji jednostajnie ciągłych na , to{
jest jednakowo ciągła;}
n n
f X fn n
}
(4) Jeżeli
{
fn n}
jest jednostajnie ograniczona, to jest też punktowo ograniczona;(5) Istnieją rodziny funkcji, które są punktowo ograniczone, ale nie są jednostajnie ograniczone; (6) Jeżeli jest skończony i
{
jest rodziną funkcji punktowo ograniczonych, to{
jest jednostajnie ograniczona.X fn n
}
fn n}
Twierdzenie. Jeżeli ,
{
jest ciągiem funkcji ciągłych na oraz(
jest jednostajnie zbieżny, to{
jest jednakowo ciągła.[ ]
,X = a b fn n
}
X fn n)
}
n n
f
Lemat. Zał, że jest zbiorem przeliczalnym,
{
jest rodziną funkcji punktowo ograniczoną. Wtedy posiada podciąg punktowo zbieżny.X fn n
}
( )
fn nTwierdzenie. Zał, że jest ciągiem funkcji ciągłych,
{
jest punktowo ograniczona i jednakowo ciągła. Wtedy istnieje podciąg(
, który jest jednostajnie zbieżny oraz{
jest jednostajnie ograniczona.( )
fn n fn n}
)
n k n f fn n}
2]
Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli jest ciągła, to istnieje ciąg wielomianów
(
taki, że[ ]
: , f a b → Pn n)
[
, n P a b zbiega jednostajnie do . f Wniosek. ( )[
]
0 n n n , a P P a a x → → > ∀ ∃ − oraz n( )
0 0. n∀∈ P =Definicja. E⊂ . Rodziny A⊂ E nazywamy algebrą funkcji, gdy:
(1) ; , f g A∀∈ f + ∈g A (2) ; f A c∀ ∀ ⋅ ∈∈ ∈ c f A (3) . , f g A∀∈ f g A⋅ ∈
Definicja. Zał, że E⊂ , F ⊂ E. Jednostajnym domknięciem rodziny nazywamy rodzinę F
( )
{
: n n E F = f ∈ f F fn f}
→ → ⊂∃ . Rodzina
{
fn n}
jest jednostajnie domknięta, gdy F= . FWniosek. (1) E F⊂∀ F⊂ ; F (2) , E F G∀∈ F ⊂ ⇒ ⊂ ; G F G (3) E
( )
F⊂∀ F = . FLemat. Jeżeli A⊂ E jest algebrą funkcji ograniczonych, to A też jest algebra funkcji ograniczonych.
Definicja. (1) Rodzina F ⊂ E rozdziela punkty, gdy
( )
(
;1 2 1 2
x x E f F≠ ∈∀ ∃∈ f x ≠ f x
)
2
(2) Rodzina F ⊂ E nie znika w żadnym punkcie, gdy
( )
0. Ex E f∀ ∃∈ ∈ f x ≠
Lemat. Zał, że jest algebrą, która rozdziela punkty i nie znika w żadnym punkcie .
Wtedy . E A⊂ 2 1 2 ,c∈ f f,∃∈A x E∈
( )
( )
1 2 1 1 1 2 , x x E c≠ ∈∀ ∀ f x =c f x =cTwierdzenie Stone’a-Weierstrassa. Zał, że jest algebrą funkcji rzeczywistych, ciągłych,
określonych na przedziale zwartym oraz rozdziela punkty i nie znika w żadnym punkcie. Wtedy A
]
b[
, K = a AA jest równa rodzinie wszystkich funkcji ciągłych określonych na . K
Wniosek. Zał, że K =
