W3. Ruch względny część B Plik

Przykład

Bryła 1 obraca się ze stałą prędkością kątową ω1 wokół nieruchomej osi z.

W rowku bryły 1 może poruszać się punkt. Opisać zjawisko ruchu bryły 2 względem 1.

Bryła 1 obraca się wokół nieruchomej osi, ruch tej bryły to ruch unoszenia dla bryły 2. Bryła 2 przemieszcza się, czyli punkt M porusza się względem bryły 1.

Przyjmujemy układ osi

nieruchomego układu odniesienia xyz tak, że oś z to oś obrotu bryły 1. Punkt O, który jest początkiem ruchomego układu odniesienia x1y1z1

związanego z bryłą 1 wiążemy z przecięciem osi rowka z osią z (zakładamy, że ruch punktu M odbywa się od punktu O).

Wprowadzamy siły działające na punkt M: P - ciężar masy punktu M,

1

N - reakcja podłoża na kierunku osi y1 układu odniesienia, 2

N - reakcja podłoża na kierunku osi z1 układu odniesienia,

u Mu

B  ma - siła unoszenia,

Cor MCor

B  ma - siła Coriolisa,

Przyspieszenie unoszenia punktu M jest to przyspieszenie liniowe punktu M przypisanego bryle 1. Ponieważ bryła 1 jest w ruchu obrotowym, przyspieszenie to można rozłożyć na dwie składowe – normalne i styczne:

(1) (1) (1)

Mu M Mn Mτ

a a a a (1)

ale ω1=const., czyli (1) Mτ

a 0. Ostatecznie więc przyspieszenie unoszenia wynosi:

(1) (1) 2

Mu M Mn 1 1

a a a ω x cos α (2)

gdzie x1cosα – odległość punktu M od osi obrotu bryły 1. Wartość siły unoszenia

2 u Mu 1 1 P B ma ω x cos α g    (3)

Przyspieszenie Coriolisa wyznaczamy ze wzoru:

MCor u Mw

a 2ω v (4)

W naszym przypadku ωu=ω1, a prędkość względna punktu M vMw x1. Wektor

przyspieszenia Coriolisa a_MCor jest równoległy do osi z1, a jego zwrot przeciwny

do zwrotu tej osi. Wartość tego wektora wynosi:

MCor u Mw 1 1 π a 2ω v sin -α 2ω x cos α 2    _{ }   (5)

Wektor siły Coriolisa B_Cor ma kierunek przyspieszenia aMCor, a jego zwrot jest

przeciwny do zwrotu wektora przyspieszenia, czyli zgodny z osią z1. Wartość tego

wektora wynosi: Cor MCor 1 1 P B ma 2 ω x cos α g   (6)

Równania różniczkowe ruchu względnego masy M: - na kierunku osi x1: m x 1M  Psin α B cos α u

- na kierunku osi y1: m y 1M  0 N1P cos α B sin α u , bo y1M const.

- na kierunku osi z1: m z 1M  0 BCorN2, bo z1M const.

Ruch występuje tylko na kierunku osi x1. Równanie drugie i trzecie są

równaniami kinetostatycznymi, z których wyznaczamy reakcję podłoża działające na punkt M: 2 2 1 1 u 1 1 1 ω P

N P cos α B sin α=P cos α ω x cos αsin α=P 1 x sin α cos α

g g       _   _   2 Cor 1 1 P N B 2 ω x cos α g  

Widzimy, że reakcje N1 i N2 zależą odpowiednio od przemieszczenia względnego

i prędkości względnej punktu M. Można je wyznaczyć po rozwiązaniu pierwszego równania:

2 2 1M 1 1 2 2 1M 1 1 P P x P sin α ω x cos α g g x ω cos α x g sin α         

Jest to równanie opisujące ruch względny punktu M. Rozwiązanie tego równania umożliwia określenia, jak przemieszcza się bryła 2 względem 1.