Teleportacja --- VII Festiwal Nauki i Sztuki (pdf)

(1)

VII Festiwal Nauki

i Sztuki

na

(2)

VII Festiwal Nauki i Sztuki

na

Wydziale Fizyki UAM

Teleportacja stanów

atomowych

Ryszard Tanaś

http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

(3)

Spis treści

1 Kubit — krótkie przypomnienie 7

1.1 Superpozycja . . . 11 1.2 Kolorowe kubity . . . 12

2 Ewolucja kubitów 22

2.1 Pomiar kwantowy . . . 22 2.2 Ewolucja odwracalna — reguła Feynmana 38

3 Rejestry kwantowe 42

3.1 Dwa kubity . . . 42 3.2 Splątane kubity . . . 44 3.3 Stany Bella . . . 46

(4)

4 Teleportacja kwantowa 56 4.1 Zakaz klonowania . . . 56 4.2 Teleportacja stanów fotonowych . . . . 66 4.3 Teleportacja stanów atomowych . . . . 67

(5)

(6)

(7)

1 Kubit — krótkie przypomnienie

George Boole (1815-1864)

pokazał, że logikę i matematykę można sprowadzić do ciągu

(8)

• Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}).

• Układ fizyczny reprezentujący bit znajduje się w

jednym z dwóch możliwych stanów: albo w stanie

0 (orzeł,TAK) albo w stanie 1 (reszka,NIE). • Dowolną informację można zapisać w postaci

ciągu bitów, np.

(9)

ciągu bitów, np.

(10)

• Układ fizyczny reprezentujący bit znajduje się w jednym z dwóch możliwych stanów: albo w stanie

ciągu bitów, np.

(11)

ciągu bitów, np.

(12)

ciągu bitów, np.

(13)

• Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy:

• dwa poziomy atomu {|gi, |ei}, • spin elektronu {|↑i, |↓i},

• foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji {|↑i, |→i},

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

• Każdy kwantowy układ dwustanowy to qubit

(quantum bit); po polsku kubit.

• Dwa stany układu, które możemy nazwać |0i i |1i, przez analogię do klasycznego bitu, {0, 1}, tworzą

bazę standardową albo obliczeniową — {|0i, |1i}.

• Kubit to jednak nie klasyczny bit, dla podkreślenia

tego faktu stosujemy specjalny, wprowadzony przez Diraca, zapis dla określenia kubitu, |?i.

(20)

(21)

(22)

• Kubit to jednak nie klasyczny bit, dla podkreślenia tego faktu stosujemy specjalny, wprowadzony

(23)

1.1 Superpozycja

Kubit, w przeciwieństwie do klasycznego bitu, może być dowolną superpozycją stanów bazowych!

|Ψi = A₀|0i + A₁|1i

• Kubit reprezentuje obydwa stany:

stan |0i z amplitudą A₀

stan |1i z amplitudą A1

• Pomiar w bazie {|0i, |1i} daje:

stan |0i z prawdopodobieństwem |A₀|2

(24)

1.1 Superpozycja

|Ψi = A₀|0i + A₁|1i

(25)

1.1 Superpozycja

|Ψi = A₀|0i + A₁|1i

(26)

1.2 Kolorowe kubity

• Każdy układ dwustanowy, czyli kubit, możemy

przedstawić graficznie jako punkt na jednostkowej sferze, zwanej sferą Blocha.

• Punkt jednak jest obiektem bezwymiarowym i

trudno go zilustrować graficznie. Będziemy więc ilustrować kubity poprzez wektor wskazujący

punkt na sferze i prostopadłe do tego wektora

wielkie koło, które ma kolor wyznaczony

(27)

1.2 Kolorowe kubity

(28)

1.2 Kolorowe kubity

(29)

Przyjmujemy następującą konwencję dotyczącą

kolorowania kubitów:

• Każdy kubit ma własny kolor, który jest kolorem

wielkiego koła prostopadłego do wektora

określającego kubit

• Dwa ortogonalne kubity (punkty na antypodach)

mają kolory dopełniające, co oznacza, że ich

zmieszanie daje kolor biały lub odcień szarości

• Splątane kubity są białe lub szare, tzn. nie mają

(30)

wielkiego koła prostopadłego do wektora określającego kubit

(31)

• Dwa ortogonalne kubity (punkty na antypodach) mają kolory dopełniające, co oznacza, że ich

(32)

zmieszanie daje kolor biały lub odcień szarości • Splątane kubity są białe lub szare, tzn. nie mają

(33)

x _y z

(34)

x _y z

(35)

x _y z

|Ψi =

√1

(36)

x _y z

|Ψi =

√1

(37)

x _y z

|Ψi =

√1

(38)

x _y z

|Ψi =

√1

(39)

x _y z

|Ψi = cos

θ₂

|0i + e

iϕ

sin

θ

(40)

x _y z

|Ψi = sin

₂θ

|0i − e

iϕ

cos

θ

(41)

2 Ewolucja kubitów

2.1 Pomiar kwantowy

• Kubit, |Ψ(t)i = A₀(t)|0i + A₁(t)|1i, ewoluując w

czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, |0i i |1i.

• Pomiar kwantowy w bazie {|0i, |1i} powoduje

przejście kubitu do jednego ze stanów bazowych. Następuje, jak mówimy, redukcja stanu

(42)

2 Ewolucja kubitów

2.1 Pomiar kwantowy

• Kubit, |Ψ(t)i = A₀(t)|0i + A₁(t)|1i, ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, |0i i |1i.

(43)

2 Ewolucja kubitów

2.1 Pomiar kwantowy

• Kubit, |Ψ(t)i = A₀(t)|0i + A₁(t)|1i, ewoluując w

czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, |0i i |1i.

(44)

N

S

(45)

N

S

Aparatura Sterna-Gerlacha

Magnes o specjalnie ukształtowanych biegunach wytwarza niejednorodne pole magnetyczne.

(46)

N

S

(47)

N

S

(48)

N

S

(49)

N

S

(50)

N

S

Spin w stanie |Ψi = √1

2 |0i + |1i

(51)

N

S

z prawdopodobieństwem 1

2 zostaje odchylony do dołu i

(52)

N

S

(53)

N

S

2 zostaje odchylony do góry i

(54)

N

S

2 zostaje odchylony do góry i

znajdzie się w stanie |0i.

(55)

N

S

Spin w stanie |Ψi = cos θ

2|0i + e

iϕ _sin θ

(56)

N

S

z prawdopodobieństwem cos2 θ

2 zostaje odchylony do

(57)

N

S

(58)

N

S

z prawdopodobieństwem sin2 θ

2 zostaje odchylony do

(59)

(60)

Pomiar kwantowy zmienia stan kubitu!

(61)

Pomiar kwantowy zmienia stan kubitu!

Taka zmiana jest nieodwracalna!

Pomiędzy pomiarami kubity mogą ewoluować w sposób odwracalny!

(62)

2.2 Ewolucja odwracalna — reguła Feynmana

W mechanice kwantowej dodają się amplitudy a nie prawdopodobieństwa.

Richard P. Feynman (1918-1988)

Tam na dole jest jeszcze dużo miejsca!

W 1982 r. Feynman pokazał, że nie da się symulować efektywnie procesów kwantowych na komputerach

(63)

Interferometr Macha-Zehndera np. to bramka logiczna

N OT , a jedna płytka światłodzieląca to √N OT !

√

N OT · √N OT = N OT

√

(64)

W odwracalnej ewolucji kwantowej kluczową rolę

odgrywa interferencja kwantowa czyli fakt, że dodają się amplitudy a nie prawdopodobieństwa

• Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje

„logiczne” niedostępne w informatyce klasycznej

• Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać?

Okazuje się, że tak!

• Więcej informacji o bramkach kwantowych można znaleźć:

(65)

• Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje „logiczne” niedostępne w informatyce klasycznej

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

3 Rejestry kwantowe

3.1 Dwa kubity

Cztery możliwe stany bazowe:

= |00i = |0i

= |01i = |1i

= |10i = |2i

= |11i = |3i

(71)

Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak

=

√

1

2 |0i + |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

(72)

=

√

1

2 |0i + |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

=

1

2 |00i + |01i + |10i + |11i

(73)

=

√

1

2 |0i + |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

=

1

2 |00i + |01i + |10i + |11i

=

1

2 |0i + |1i + |2i + |3i

(74)

=

√

1

2 |0i + |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

=

1

2 |00i + |01i + |10i + |11i

=

1

2 |0i + |1i + |2i + |3i

Cztery liczby {0, 1, 2, 3} w jednym rejestrze! Wszystkie z jednakowymi amplitudami.

(75)

A może być tak

=

√

1

2 |0i − |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

(76)

A może być tak

=

√

1

2 |0i − |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

=

1

2 |00i + |01i − |10i − |11i

(77)

A może być tak

=

√

1

2 |0i − |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

=

1

2 |00i + |01i − |10i − |11i

=

1

2 |0i + |1i − |2i − |3i

(78)

A może być tak

=

√

1

2 |0i − |1i ⊗

1 √

2 |0i + |1i

=

1

2 |00i + |01i − |10i − |11i

=

1

2 |0i + |1i − |2i − |3i

Cztery liczby {0, 1, 2, 3} w jednym rejestrze! Dwie amplitudy mają znaki ujemne!

(79)

3.2 Splątane kubity

Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie |Ψ−i = √1 2(|01i − |10i) = 1 √ 2(|1i − |2i)

(80)

Taki stan nie daje się zapisać w postaci iloczynu dwóch kubitów!

(81)

|Ψ−i 6= (α₀|0i − α₁|1i) ⊗ (β₀|0i + β₁|1i)

(82)

|Ψ−i 6= (α₀|0i − α₁|1i) ⊗ (β₀|0i + β₁|1i)

=α₀β₀ |00i + α₀β₁ |01i − α₁β₀ |10i − α₁β₁ |11i α0β0 = 0 ⇒ α0 = 0 ∨ β0 = 0

(83)

3.3 Stany Bella

=

√

1

2 (|00i + |11i) = |Φ

+

_i

=

√

1

2 (|01i + |10i) = |Ψ

+

i

=

√

1

2 (|01i − |10i) = |Ψ

−

_i

=

√

1

2 (|00i − |11i) = |Φ

−

_i

Splątane kubity tworzące stany Bella nie mają

indywidualnych kolorów — są białe w naszej konwencji (kolor biały można otrzymać na wiele sposobów

(84)

mieszając ze sobą kolory dopełniające).

Stany Bella stanowią bazę dla dwóch kubitów.

⇐⇒

(85)

Wyobraźmy sobie, że mamy dwa splątane kubity w

stanie Bella |Ψ−i = √1

(86)

. . . .

(87)

. . . .

Alicja dokonuje pomiaru na swoim kubicie

|0ih0|: |Ψ−i = √1

(88)

. . . .

|1ih1|: |Ψ−i = √1

(89)

. . . .

|1ih1|: |Ψ−i = √1

2(|01i − |10i) 7→ |10i

Pomiar wykonany na kubicie Alicji zmienia stan kubitu Bolka!

(90)

Bolek wykonując pomiar na swoim kubicie otrzyma wynik przeciwny niż otrzymała Alicja, jakkolwiek

(91)

daleko nie byłby oddalony od Alicji.

Po wykonaniu pomiaru lokalnego przez Alicję obydwa kubity przestały być splątane.

(92)

(93)

Mechanika kwantowa jest nielokalna!

(94)

1 √ 2(|0i − |1i) |1i CN OT |?i |?i Bramka CN OT

(95)

1 √ 2(|0i − |1i) |1i CN OT ) |Ψi Bramka CN OT

(96)

Otrzymujemy stan splątany

|Ψi = √1

(97)

|Ψi = √1

2(|01i − |10i)

Bramka Hadamarda H oraz bramka CN OT

(98)

|Ψi = √1

2(|01i − |10i)

pozwalają przejść z bazy standardowej do bazy Bella.

(99)

|Ψi = √1

2(|01i − |10i)

pozwalają przejść z bazy standardowej do bazy Bella.

Potrafimy wytwarzać stany splątane!

(100)

4 Teleportacja kwantowa

4.1 Zakaz klonowania

(101)

X

(102)

X

Nieznany stan kwantowy nie może być sklonowany!

Alicja ma nieznany kubit, którego nie może sklonować ani bezpośrednio przesłać do Bolka, ale może się z

(103)

X

Nieznany stan kwantowy nie może być sklonowany!

Alicja ma nieznany kubit, którego nie może sklonować ani bezpośrednio przesłać do Bolka, ale może się z

Bolkiem komunikować klasycznie, np. przez telefon.

Czy można klasycznie przesłać informację pozwalającą Bolkowi odtworzyć kubit Alicji?

(104)

Przygotowujemy dwa splątane kubity w jednym ze

stanów Bella, np.

|Φ+i = √1

(105)

. . . .

(106)

. . . .

Nieznany kubit |φi zostaje dołączony do należącego do Alicji kubitu ze splątanej pary.

|φi ⊗ |Φ+i = (A₀|0i + A₁|1i) ⊗ √1

2(|00i + |11i) = √1

2 A0(|000i + |011i) + A1(|100i + |111i)

(107)

. . . .

Alicja wykonuje operację CN OT na obydwu kubitach będących w jej posiadaniu

1 √

2 A0(|000i + |011i) + A1(|100i + |111i) ⇒ √1

2 A0(|000i + |011i) + A1(|110i + |101i)

(108)

. . . .

Alicja wykonuje operację H na pierwszym kubicie.

1 √

2 A0(|000i + |011i) + A1(|110i + |101i) ⇒ 1

2 |00i(A0|0i + A1|1i) + |01i(A0|1i + A1|0i) +|10i(A₀|0i − A₁|1i) + |11i(A₀|1i − A₁|0i)

(109)

. . . .

Alicja wykonuje pomiar na obydwu kubitach otrzymując, np. (11)₂ = 3

1

2 |00i(A0|0i + A1|1i) + |01i(A0|1i + A1|0i) +|10i(A₀|0i − A₁|1i) + |11i(A₀|1i − A₁|0i) ⇒ |11i(A₀|1i − A₁|0i)

(110)

. . . .

(11)₂

Alicja przekazuje Bolkowi otrzymany wynik, np.

(11)₂ = 3, kanałem klasycznym

(111)

. . . .

Bolek, znając wynik Alicji, dokonuje odpowiedniej

operacji ( N OT θ ) na własnym kubicie odtwarzając

kubit Alicji

|11i(A₀|1i − A₁|0i)

(112)

. . . .

Bolek, znając wynik Alicji, dokonuje odpowiedniej

operacji ( N OT θ ) na własnym kubicie odtwarzając

kubit Alicji

|11i(A₀|1i − A₁|0i)

⇒ |11i(A₀|0i + A₁|1i) = |11i ⊗ |φi

(113)

Obwód kwantowy dla teleportacji

|Ψi

• H

• |0i

_{H • ⊕}

• |0i

⊕

_X

_Z

|Ψi

Przygo-towanie stanu Bella Operacje na kubitach Alicji Pomiary na kubitach Alicji Operacje warun-kowe na kubicie Bolka

(114)

4.2 Teleportacja stanów fotonowych

Anton Zeilinger

W 1997 roku, wspólnie ze swoimi współpracownikami, pokazał eksperymentalnie, że teleportacja stanów

fotonowych jest możliwa

(115)

4.3 Teleportacja stanów atomowych

Rainer Blatt

wraz z grupą z Uniwersytetu w Innsbrucku, Austria, dokonał

teleportacji stanów kwantowych jonów wapnia 40Ca+ w pułapce jonowej

(116)

David Wineland

wraz z grupą z NIST, Boulder, Kolorado, USA, dokonał

teleportacji stanów

kwantowych jonów berylu 9Be+ w pułapce jonowej (Nature,

(117)

(118)

(119)

Obraz trzech jonów w pułapce

(120)

(121)

S₁_/2 P₁_/2 P₃_/2 D₅_/2 D₃_/2

|0i

|1i

393 nm 397 nm 729 nm 866 nm 854 nm Poziomy jonu Ca+ Kubit: |0i = D5_/2(m_J = −1/2) |1i = S1_/2(m_J = −1/2) τ ≈ 1, 16 s

(122)

Obwód kwantowy dla teleportacji z Innsbrucku |1i U χ Z π 2 • |1i B • π 2 K K−1 • |1i K K−1 π 2 Z X Uχ−1

Operacja B oznacza przygotowanie stanu Bella Operacja K ukrywa kubit

Operacja U_χ tworzy nieznany stan ze stanu |1i

(123)

Kilka danych

• Odległości pomiędzy jonami ∼ 5 µm • Czas życia stanu Bella > 100 ms

• Czas trwania teleportacji < 2 ms • Fidelity 73–76%

(124)

(125)

(126)

(127)

Załoga teleportująca z Innsbrucku

Od lewej: Rainer Blatt, Daniel James, Hartmut Häfner, Christoph Becher, Ferdinand Schmidt-Kaler, Jan Benhelm, Tomo Körber, Gavin Lancaster, Christian Roos, Wolfgang Hänsel, Mark Riebe

(128)

(129)

5 4 3 2 1 ions in trap #4 ions in trap #2 RF electrodes control electrodes 5 4 3 2 1 Separation, v.1 Initial Experiments:

(Mary Rowe et al. ‘02)

5 3 1 gold-coated alumina wafers control electrodes 2 rf ele ctrod e rf ele ctrod e 4 4 2 side slots ~ 20 µm wide bare alumina gold coating wafer spacing 1 5 3 trap axis 1 cm

(130)

100 µm 200 µm separation zone rf rf dc dc

view along axis:

Separation, v.2 _{six zone alumina/gold trap}

(Murray Barrett, et al.)

(131)

S₁_/2 P₁_/2 P₃_/2 ∆

|0i

|1i

Poziomy jonu Be

+

Kubit:

|0i = S

1/2

(F = 1, m = −1)

|1i = S

1/2

(F = 2, m = −2)

(132)

Kilka danych

• Odległości pomiędzy jonami ∼ 3 µm • Czas trwania teleportacji ∼ 4 ms

• Fidelity (średnia) 78%

• Jony można w dowolny sposób rozdzielać i przesyłać pomiędzy sekcjami pułapki

(133)

Protokół teleportacji z NIST, Boulder, Kolorado (M.D. Barret et al., Nature, 429, 737 (2004))

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

1. Przygotowanie

|Ψ₀i = √1

2 |0i1|1i3 − |1i1|0i3 ⊗ α|0i2 + β|1i2

Jony numerowane są od lewej do prawej {1,2,3}. Teleportacja przenosi stan jonu 2 na jon 3.

(134)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

Echo spinowe

Pomiędzy głównymi operacjami, jony przeniesione do sekcji 6 dostawały impulsy echa spinowego

kompensujące zmiany fazy wywołane fluktuacjami pola magnetycznego. Tu dokonuje się separacji jonów.

(135)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

(136)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

(137)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

(138)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

(139)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

(140)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

(141)

Główne etapy

1 2 3 4 5 6 7 8

5. Operacje warunkowe na kubicie 3 (Bolek),

które odtwarzają na jonie 3 stan z jonu 2, kończąc teleportację.

(142)

Grupa badaczy z NIST, Boulder

Od lewej: Joe Britton, Jim Bergquist, John Chiaverini, Windell Oskay, Marie Jensen, John Bollinger, Vladislav Gerginov, Taro Hasegawa,

Carol Tanner, Wayne Itano, Jim Beall, David Wineland, Dietrich Leibfried, Chris Langer, Tobias Schaetz, John Jost, Roee Ozeri, Till Rosenband,

(143)

(144)

(145)

Teleportacja --- VII Festiwal Nauki i Sztuki (pdf)

VII Festiwal Nauki

i Sztuki

na

VII Festiwal Nauki i Sztuki

na

Wydziale Fizyki UAM

Teleportacja stanów

atomowych

|Ψi =

|Ψi =

|Ψi =

|Ψi =

|Ψi = cos

|0i + e

sin

|Ψi = sin

|0i − e

cos

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

S



= |00i = |0i



= |01i = |1i



= |10i = |2i



= |11i = |3i



=

√

1

2

|0i + |1i ⊗

1

√

2

|0i + |1i



=

√

1

2

|0i + |1i ⊗

1

√

2

|0i + |1i

=

1

2