Zastosowanie twierdzenia Darboux do rozwiązywania równań

Zastosowanie twierdzenia

Darboux do rozwiązywania

równań

Autorzy:

Anna Barbaszewska-Wiśniowska

2019

Zastosowanie twierdzenia Darboux do rozwiązywania równań

Zastosowanie twierdzenia Darboux do rozwiązywania równań

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

PRZYKŁAD

Przykład 1: Zastosowanie wniosku z twierdzenia Darboux do rozwiązywania

Przykład 1: Zastosowanie wniosku z twierdzenia Darboux do rozwiązywania

równań

równań

Znajdziemy przybliżone pierwiastki równania . Rozwiązanie

Rozwiązanie

Najpierw sprawdzimy, czy nie znajdziemy rozwiązania pośród podzielników wyrazu wolnego. Zbiór podzielników . Oznaczając przez

mamy

Żaden z podzielników nie jest poszukiwanym rozwiązaniem. Zauważamy jednak, że wartości funkcji w obliczonych punktach maja, różne znaki. Zastosujemy wniosek z własności Darboux do przedziału . Funkcja jest ciągła na tym przedziale jako wielomian , więc na podstawie wniosku z własności Darboux w przedziale otwartym istnieje taki punkt że . Zatem równanie ma w przedziale

co najmniej jeden pierwiastek. Możemy wyznaczyć ten pierwiastek z większą dokładnością. Obliczymy wartość funkcji w punkcie , czyli w środku przedziału .

Rozważając teraz przedział zauważamy podobnie jak poprzednio, że funkcja jest ciągła na tym przedziale oraz że . Jest więc , a zatem równanie ma pierwiastek w przedziale otwartym . Postępując dalej w ten sposób, możemy wyznaczyć przybliżony pierwiastek z dowolną dokładnością.

Nie jest to jedyne rozwiązanie równania . Rozważając funkcję na przedziale mamy: . Funkcja jest ciągła na tym przedziale, więc na podstawie wniosku z własności Darboux w przedziale otwartym istnieje taki . Równanie ma więc w tym przedziale co najmniej jeden pierwiastek. Zauważmy, że pierwiastki są różne, gdyż przedziały

nie maja punktów wspólnych. Czyli równanie ma co najmniej dwa różne pierwiastki.

+ − − 2x − 2 = 0

x

_x

_x

P = {1, 2, −1, −2}

f(x) =

x

+ − − 2x − 2

_x

_x

f(1) = −3,

f(2) = 14,

f(−1) = −1,

f(−2) = 6.

[1, 2]

f

f(1) = −3 i f(2) = 14 czyli f(1) ⋅ f(2) < 0

(1, 2)

ξ1

f( ) = 0

ξ1

x

+ − − 2x − 2

_x

_x

(1, 2)

f ( ) =

> 0

[[1, ]

f

f(1) = −3 i f ( ) =

f(1) ⋅ f ( ) < 0

x

+ − − 2x − 2

x

x

(1, )

+ − − 2x − 2

x

_x

_x

_f

_{[−2, −1]}

f(−2) = 6 i f(−1) = −1 czyli f(−2) ⋅ f(−1) < 0

f

(−2, −1)

ξ

e f( ) = 0

ξ

x

+ − − 2x − 2

x

x

) i

ξ

ξ

(−2, −1) i (1, )

PRZYKŁAD

Przykład 2: Zastosowanie wniosku z własności Darboux do rozwiązywania

Przykład 2: Zastosowanie wniosku z własności Darboux do rozwiązywania

równań

równań

Pokażemy, że równanie ma dwa rozwiązania. Zauważmy, że jednym z nich jest liczba .

Pokażemy, że równanie to ma jeszcze inny pierwiastek pomiędzy zerem a jedynką.

Tworzymy funkcję , której miejsca zerowe są pierwiastkami rozwiązywanego równania. Funkcja jest ciągła w przedziale , czyli . Na podstawie wniosku z własności Darboux w przedziale otwartym , istnieje taki punkt . Zatem równanie ma w przedziale co najmniej jeden pierwiastek w sposób oczywisty różny od .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Zastanowimy się, czy można tak dobrać liczbę , aby funkcja

była ciągła.

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych . Aby była ciągła, musi być ona ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla każdego punktu funkcja jest ciągła w jako funkcja elementarna (liniowa). Podobnie dla każdego punktu jest ciągła w jako funkcja elementarna (kwadratowa). Pozostaje problem ciągłości w punkcie . Możemy rozwiązać go klasycznie dobierając tak, aby istniała granica funkcji w punkcie oraz by ta granica równała się wartości funkcji .

Możemy jednak postąpić inaczej. Zauważamy, że dziedzina funkcji jest przedziałem, a z własności Darboux wiemy, że wykres funkcji ciągłej w przedziale nie może się przerwać. Narysujemy pomocniczo dwa wykresy funkcji liniowej i kwadratowej i tak dobierzemy , aby je scalić w jedną linię, którą można naszkicować bez odrywania ołówka od papieru.

-Rysunek 1: Punkty wspólne wykresów funkcji

= 4x

2

4, bo = 16 = 4 ⋅ 4

2

f(x) =

2

− 4x

_f

[0, 1] i f(0) = 1 i f(1) = −2

f(0) ⋅ f(1) < 0

(0, 1)

ξ ,

e f(ξ) = 0

2

= 4x

_{(0, 1)}

4

a

f(x) = { −x + 2

x

dla x ⩽ a

_{dla x > a}

f

R

f

x

< a

x

f

x

> a

x

f

x

x

= a

a

x

= a

lim

f(x)

f(a)

a

Na Rys. 1 widzimy, że wykresy przecinają się w dwóch punktach . Liczbę można, więc dobrać na dwa sposoby kładąc . Mamy wówczas: lub

-2

4

f

(x)

f

(x)

1

1

Rysunek 2: Wykresy dwóch różnych funkcji ciągłych powstałych wskutek sklejenia

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:23:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=b18d83faf72363a064c2034221347e05

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

(−2, 4) oraz (1, 1)

a

a = −2 lub a = 1

(x) = {

f

−x + 2

_x

dla x ⩽ -2

_{dla x > -2}

(x) = {

f2

−x + 2

x

dla x ⩽ 1

_{dla x >1}