Wartości i wektory własne –
własności
Autorzy:
Michał Góra
Wartości i wektory własne – własności
Wartości i wektory własne – własności
Autor: Michał GóraTWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1:
Niech będą wartościami własnymi macierzy . Wówczas: (a) wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi jej wartości własnych, tj.:
(b) ślad macierzy (tj. suma elementów stojących na głównej przekątnej macierzy) równy jest sumie jej wartości własnych, tj.:
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 2:
Niech będzie macierzą kwadratową oraz niech będzie wartością własną macierzy , a odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym. Wówczas:
(a) liczba jest wartością własną macierzy (dla ); (b) liczba
jest wartością własną macierzy
dla dowolnych , ;
(c) jeżeli macierz jest odwracalna, to jest wartością własną macierzy .
Ponadto, w każdym z powyższych przypadków, wektorem własnym odpowiadającym wymienionym wartościom własnym jest również wektor .
, …,
λ
1λ
nA ∈ C
n×ndet(A) =
λ
1⋅ … ⋅ ;
λ
n(A) =
λ
1+ … + .
λ
nA
λ
A v
λ
kA
kk ∈ N
+
+ … + λ +
a
mλ
ma
m−1λ
m−1a
1a
0+
+ … + A + I,
a
mA
ma
m−1A
m−1a
1a
0m ∈ N
a
m, …, ∈ C
a
0A
λ
−1A
−1v
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Obliczymy wyznacznik macierzy wiedząc, że jest macierzą kwadratową wymiaru o wartościach własnych
Sposób 1.
Sposób 1. Wielomian charakterystyczny macierzy ma postać
Dodatkowo, ponieważ
zatem, na podstawie definicji wielomianu charakterystycznego, otrzymujemy
Sposób 2.
Sposób 2. Jeżeli jest wartością własną macierzy , to na podstawie twierdzenia 1(b), liczba jest wartością własną macierzy Stąd oraz z treści zadania otrzymujemy, że liczby oraz są poszukiwanymi wartościami własnymi. Zatem, na podstawie twierdzenia 1(a),
− 4 − A + 4I
A
3A
2A
3 × 3
−2, 0, 3.
A
(λ) = − (λ + 2) λ (λ − 3) = − + + 6λ.
φ
Aλ
3λ
2− 4 − A + 4I = A ( − I) − 4 ( − I) = ( − I) (A − 4I) =
A
3A
2A
2A
2A
2= (A − I) (A + I) (A − 4I)
det ( − 4 − A + 4I) = det [(A − I) (A + I) (A − 4I)] =
A
3A
2= det (A − I) det (A + I) det (A − 4I) =
=
φ
A(1)
φ
A(−1)
φ
A(4) = 576.
λ
A
λ
3− 4 − λ + 4
λ
2− 4 − A + 4I.
A
3A
2−18, −8
4
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Dla macierzy
o wartościach własnych , , obliczymy: a) ; b) Łatwo sprawdzić, że wielomian
jest wielomianem charakterystycznym macierzy . Wyznaczenie jego pierwiastków (które są wartościami własnymi macierzy ) nastręcza jednak sporo trudności, gdyż nie są one liczbami wymiernymi. Z tego powodu do rozwiązania zadania wykorzystamy twierdzenie 1 oraz twierdzenie 2.
Na podstawie twierdzenia 1(a) mamy
Z kolei, aby wyznaczyć sumę kwadratów wartości własnych wystarczy zauważyć, że liczby to wartości własne macierzy (zob. twierdzenie 2(a)); poszukiwana suma jest więc śladem macierzy (zob. twierdzenie 1(b)). W rozważanym przypadku
zatem ostatecznie
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-16 00:45:58
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f32977bccfd3f96d245d8e1e2dafef8f
Autor: Michał Góra