• Nie Znaleziono Wyników

Wartości i wektory własne – własności

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wartości i wektory własne – własności"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

Wartości i wektory własne –

własności

Autorzy:

Michał Góra

(2)

Wartości i wektory własne – własności

Wartości i wektory własne – własności

Autor: Michał Góra

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1:

Niech będą wartościami własnymi macierzy . Wówczas: (a) wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi jej wartości własnych, tj.:

(b) ślad macierzy (tj. suma elementów stojących na głównej przekątnej macierzy) równy jest sumie jej wartości własnych, tj.:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2:

Niech będzie macierzą kwadratową oraz niech będzie wartością własną macierzy , a odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym. Wówczas:

(a) liczba jest wartością własną macierzy (dla ); (b) liczba

jest wartością własną macierzy

dla dowolnych , ;

(c) jeżeli macierz jest odwracalna, to jest wartością własną macierzy .

Ponadto, w każdym z powyższych przypadków, wektorem własnym odpowiadającym wymienionym wartościom własnym jest również wektor .

, …,

λ

1

λ

n

A ∈ C

n×n

det(A) =

λ

1

⋅ … ⋅ ;

λ

n

(A) =

λ

1

+ … + .

λ

n

A

λ

A v

λ

k

A

k

k ∈ N

+

+ … + λ +

a

m

λ

m

a

m−1

λ

m−1

a

1

a

0

+

+ … + A + I,

a

m

A

m

a

m−1

A

m−1

a

1

a

0

m ∈ N

a

m

, …, ∈ C

a

0

A

λ

−1

A

−1

v

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczymy wyznacznik macierzy wiedząc, że jest macierzą kwadratową wymiaru o wartościach własnych

Sposób 1.

Sposób 1. Wielomian charakterystyczny macierzy ma postać

Dodatkowo, ponieważ

zatem, na podstawie definicji wielomianu charakterystycznego, otrzymujemy

Sposób 2.

Sposób 2. Jeżeli jest wartością własną macierzy , to na podstawie twierdzenia 1(b), liczba jest wartością własną macierzy Stąd oraz z treści zadania otrzymujemy, że liczby oraz są poszukiwanymi wartościami własnymi. Zatem, na podstawie twierdzenia 1(a),

− 4 − A + 4I

A

3

A

2

A

3 × 3

−2, 0, 3.

A

(λ) = − (λ + 2) λ (λ − 3) = − + + 6λ.

φ

A

λ

3

λ

2

− 4 − A + 4I = A ( − I) − 4 ( − I) = ( − I) (A − 4I) =

A

3

A

2

A

2

A

2

A

2

= (A − I) (A + I) (A − 4I)

det ( − 4 − A + 4I) = det [(A − I) (A + I) (A − 4I)] =

A

3

A

2

= det (A − I) det (A + I) det (A − 4I) =

=

φ

A

(1)

φ

A

(−1)

φ

A

(4) = 576.

λ

A

λ

3

− 4 − λ + 4

λ

2

− 4 − A + 4I.

A

3

A

2

−18, −8

4

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Dla macierzy

o wartościach własnych , , obliczymy: a) ; b) Łatwo sprawdzić, że wielomian

jest wielomianem charakterystycznym macierzy . Wyznaczenie jego pierwiastków (które są wartościami własnymi macierzy ) nastręcza jednak sporo trudności, gdyż nie są one liczbami wymiernymi. Z tego powodu do rozwiązania zadania wykorzystamy twierdzenie 1 oraz twierdzenie 2.

Na podstawie twierdzenia 1(a) mamy

Z kolei, aby wyznaczyć sumę kwadratów wartości własnych wystarczy zauważyć, że liczby to wartości własne macierzy (zob. twierdzenie 2(a)); poszukiwana suma jest więc śladem macierzy (zob. twierdzenie 1(b)). W rozważanym przypadku

zatem ostatecznie

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 00:45:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f32977bccfd3f96d245d8e1e2dafef8f

Autor: Michał Góra

A =

−1

2

2

3

2

3

0

1

−2

λ

1

λ

2

λ

3

λ

1

⋅ ⋅

λ

2

λ

3

λ

21

+ + .

λ

22

λ

23

(λ) = − + 2 + 4λ − 14

φ

A

λ

3

λ

2

A

A

⋅ ⋅

= det A =

= −14.

λ

1

λ

2

λ

3

2

−1

2

3

2

3

0

1

−2

, ,

λ

2 1

λ

22

λ

23

A

2

A

2

=

,

A

2

−2

1

−3

12

4

6

3

0

7

+ +

= ( ) =

= 1 + 4 + 7 = 12.

λ

2 1

λ

22

λ

23

A

2

−2

1

−3

12

4

6

3

0

7

Cytaty

Powiązane dokumenty

następujących problemów: człowiek, jako osoba; prymat człowieka nad pracą; praca człowieka (osoby) jako kategoria aksjologiczna; praca jako źródło zagrożeń dla człowieka

Uzasadnij, że s jest wartością własną macierzy A oraz wyznacz odpowiadający tej wartości własnej wektor własny..

Jeżeli natomiast elementy macierzy są elementami ciała, które nie jest algebraicznie domknięte (takim ciałem jest na przykład ciało liczb rzeczywistych!), to macierz ta może

[r]

Każda macierz kwadratowa jest ortogonalnie podobna do macierzy Hessenberga, więc ma ona to samo widmo wartości własnych co macierz H.. W celu wyznaczenia wartości własnych macierzy

Twierdzenie Cayley’a-Hamiltona daje kolejną możliwość wyznaczenia macierzy odwrotnej do macierzy nieosobliwej — wystarczy wyznaczyć równanie charakterystyczne macierzy A,

Instytut Matematyczny UWr www.math.uni.wroc.pl/∼jwr/BO2020 III LO we

Liczbę naturalną n nazwiemy szczęśliwą, jeżeli istnieją takie dwa trójkąty równoboczne o bokach długości całkowitej, że jeden trójkąt ma pole większe o n% od pola