Fundamentalny zbiór rozwiązań dla równań różniczkowych liniowych wyższych rzędów

(1)

Fundamentalny zbiór

rozwiązań dla równań

różniczkowych liniowych

wyższych rzędów

Autorzy:

Julian Janus

(2)

(3) będzie równaniem różniczkowym liniowym rzędu gdzie jest nieznaną funkcją a dane funkcje i

są ciągłe i określone w przedziale

Przez przedział rozumiemy jeden z następujących zbiorów: lub .

UWAGA

Uwaga 1:

Jeżeli współczynnik przy pochodnej najwyższego rzędu w równaniu ( 1 ) jest różny od zera dla każdego to równanie to można zapisać w postaci

gdzie i .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Funkcje są ciągłe w przedziale

TEZA: TEZA:

Wtedy dla równania jednorodnego

istnieje -liniowo niezależnych rozwiązań .

DOWÓD: DOWÓD:

Niech będzie dowolnym ustalonym punktem z przedziału i niech będzie rozwiązaniem równania ( 3 ) z warunkiem początkowym:

Istnienie takiego rozwiazania wynika z twierdzenia 2 .

Z twierdzenia 1 wynika, że funkcje są liniowo niezależne ponieważ wrońskian

jest różny od zera.

(t)

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = f(t)

a

n

y

a

n−1

y

a

1

y

a

0

n,

y(t)

f(t)

(t), k = 0, …n

a

k

I ⊂ R.

I

(a, b), (−∞, a), (a, +∞)

R

(t)

a

n

t ∈ I,

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = g(t)

y

(n)

_b

n−1

y

(n−1)

b

1

y

′

b

0

(t) =

, k = 0, …, n − 1

b

k a_ak_n(t)_(t)

g(t) =

_af(t)_n_(t)

(t), k = 0, …n − 1

b

k

I ⊂ R.

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = 0, t ∈ I

y

(n)

_b

n−1

y

(n−1)

b

1

y

′

b

0

n

y

1

(t), …, (t)

y

n

t

0

I

y

k

(t)

( ) = {

,

gdzie i = 0, 1, …, n − 1.

y

_k(i)

t

0

1 ₀

dla i = k − 1

_{dla i ≠ k − 1}

(t), …, (t)

y

1

y

n

W( ( ), …, ( )) =

y

1

t

0

y

n

t

0

= 1

∣

1

0 ⋮

0

1 ⋮

0 …

…

⋱

…

0

0 ⋮

1 ∣

∣

(3)

UWAGA

Uwaga 2:

Jeżeli funkcje są rozwiązaniami równania ( 2 ) i istnieje takie, że to

Wynika to z faktu, że

Powyższą zależność wykażemy dla

Niech będą rozwiązaniami równania

Oznaczmy przez Różniczkując i uwzględniając, że otrzymujemy

Przekształcamy powyższe równanie i całkujemy w przedziale

Zatem

DEFINICJA

Definicja 1: Fundamentalnego zbioru rozwiązań

Zbiór rozwiązań równania ( 2 ) będziemy nazywali fundamentalnym zbiorem rozwiązańfundamentalnym zbiorem rozwiązań , jeżeli dla każdego wrońskian jest różny od zera.

UWAGA

Uwaga 3:

Fundamentalny zbiór rozwiązań nie jest wyznaczony jednoznacznie. Dla danego równania istnieje nieskończenie wiele różnych fundamentalnych zbiorów rozwiązań.

(t), …,

(t),

y

1

y

n

t

0

∈ I

W( ( ), …, ( )) ≠ 0

y

1

t

0

y

n

t

0

W( (t), …, (t)) ≠ 0

y

1

y

n

dla ka

ż

dego t ∈ I.

W( (t), …, (t)) = W( ( ), …, ( )) ⋅

y

1

y

n

y

1

t

0

y

n

t

0

e

−∫ (s)ds

.

t t0bn−1

n = 2.

(t), (t),

y

1

y

2

(t) + (t) (t) + (t)y(t) = 0.

y

(′′)

_b

₁

_y

′

_b

₀

w(t) := W( (t), (t)).

y

1

y

2

w(t)

y

′′

(t) = − (t) (t) − (t)y(t)

b

1

y

′

b

0

.

(t) =

w

′

_{( (t) (t) − (t) (t))}

_y

_{= (t) (t) + (t) (− (t) (t) − (t) (t)) −}

1

y

2′

y

1′

y

2 ′

y

′1

y

2′

y

1

b

1

y

2′

b

0

y

2

(− (t) (t) − (t) (t)) (t) − (t) (t) = − (t)w(t)

b

1

y

1′

b

0

y

1

y

2

y

1′

y

2′

b

1

( , t)

t

0

ds = −

(s)ds ⟺ ln

= −

(s)ds.

∫

t t0 (s) w′ w(s)

∫

tt0

b

1

∣∣

w(t) w( )t0

∣∣

∫

t t0

b

1

w(t) = w( )

t

0

e

−∫ (s)ds

.

t t0b1

{ (t), …,

y

1

y

n

(t)},

t ∈ I

W( (t), …, (t))

y

1

y

n

(4)

Dla równania fundamentalnymi zbiorami rozwiązań są na przykład zbiory , lub

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Niech zbiór będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania ( 3 ).

TEZA: TEZA:

Wtedy dowolne rozwiązanie równania ( 3 ) jest kombinacją liniową fundamentalnego zbioru rozwiązań, co możemy zapisać następująco:

gdzie .

DOWÓD: DOWÓD:

Niech funkcja będzie dowolnym rozwiązaniem równania ( 3 ) i niech będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań tego równania. Dla dowolnego ustalonego rozważmy następujący układ równań

gdzie niewiadomymi sa .

Ponieważ wyznacznikiem powyższego układu jest wrońskian, który jest różny od zera, więc układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Definiujemy funkcję

gdzie współczynniki są rozwiązaniem powyższego układu. Z twierdzenia 1 wynika, że funkcja jest rozwiązaniem równania ( 3 ) i spełnia warunek początkowy . Z twierdzenia 2 wynika, że równanie ( 3 ) z powyższym warunkiem początkowym posiada dokładnie jedno rozwiązanie, zatem dla każdego co kończy dowód twierdzenia.

(t) + (t) − 2y(t) = 0, t ∈ R

y

′′

_y

′

{ ,

e

t

_e

−2t

}

_{{ +}

_e

t

_e

−2t

_,

_e

−2t

_}

_{{ +}

_e

t

_e

−2t

_{, −}

_e

t

_e

−2t

_}

{ (t), …, (t)}

y

1

y

n

y(t)

y(t) =

c

1

y

1

(t) + ⋯ +

c

n

y

n

(t)

, … ∈ R

c

1

c

n

y(t)

{ (t), …, (t)}

y

1

y

n

∈ I

t

0

⎧

⎩

⎨

⎪

( ) + ⋯ +

( ) = y( )

c

1

y

1

t

0

c

n

y

n

t

0

t

0

( ) + ⋯ +

( ) = ( )

c

1

y

′1

t

0

c

n

y

n′

t

0

y

′

t

0

⋮

( ) + ⋯ +

( ) =

( )

c

1

y

(n−1)1

t

0

c

n

y

n(n−1)

t

0

y

(n−1)

t

0

, …,

c

1

c

n

Y (t) =

c

1

y

1

(t) + ⋯ +

c

n

y

n

(t), t ∈ I,

, …,

c

1

c

n

Y (t)

( ) =

( ), i = 0, …, n − 1

Y

(i)

_t

₀

_y

(i)

_t

₀

Y (t) = y(t)

t ∈ I,

(5)

UWAGA

Uwaga 4:

Pokażemy, że stałe w twierdzeniu 2 określone są jednoznacznie. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że mamy dwa różne przedstawienia

Odejmując stronami powyższe równania otrzymamy

Ponieważ funkcje są liniowo niezależne, więc

co kończy dowód.

UWAGA

Uwaga 5:

Z twierdzenia 1 i twierdzenia 2 wynika, że zbiór wszystkich rozwiązań równania ( 2 ) jest przestrzenią wektorową wymiaruprzestrzenią wektorową wymiaru Zbiór fundamentalny rozwiązań tego równania jest bazą tej przestrzeni.

, …,

c

1

c

n

y(t) =

c

1

y

1

(t) + ⋯ +

c

n

y

n

(t)

y(t) =

c

~ y

1 1

(t) + ⋯ +

c

~ y

n n

(t).

0 = ( − ) (t) + ⋯ + ( − ) (t).

c

1

c

~ y

1 1

c

n

c

~ y

n n

(t), …, (t)

y

1

y

n

− = − = ⋯ = − = 0,

c

1

c

~

1

c

2

c

~

2

c

n

c

~

n

n.

(6)

Zakładamy, że funkcje i są rozwiązaniami równania ( 2 )

TEZA: TEZA:

Wtedy różnica tych funkcji jest rozwiązaniem równania jednorodnego ( 3 ).

DOWÓD: DOWÓD:

Ponieważ funkcje i są rozwiązaniami równania ( 2 ) więc zachodzą następujące równości:

Odejmując stronami powyższe równości otrzymujemy

Uwzględniając fakt, że pochodna różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy pochodnych tych funkcji, powyższą równość możemy zapisać następująco

co kończy dowód twierdzenia.

WNIOSEK

Wniosek 1:

Z twierdzeń 1 i 2 wynika, że jeżeli jest rozwiązaniem równania ( 2 ) to dowolne rozwiązanie równania ( 2 ) jest postaci

gdzie - jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań jednorodnego równania ( 3 ).

y(t)

y~

(t)

y(t) − (t)

y~

y(t)

y~

(t)

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = g(t)

y

(n)

_b

n−1

y

(n−1)

b

1

y

′

b

0

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t) (t) = g(t).

y~

(n)

_b

n−1

y~

(n−1)

b

1

y~

′

b

0

y~

(t) −

(t) +

(t) [

(t) −

(t)] + ⋯ + (t) [y(t) − (t)] = 0.

y

(n)

_y~

(n)

_b

n−1

y

(n−1)

y~

(n−1)

b

0

y~

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (y − ) (t) = 0,

(y − )

y~

(n)

b

n−1

(y − )

y~

(n−1)

b

0

y~

Y (t)

y(t)

y(t) = Y (t) +

c

1

y

1

(t) + ⋯ +

c

n

y

n

(t)

{ (t), …, (t)}

y

1

y

n

(7)

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Funkcje i są rozwiązaniami równania

Pokażemy, że funkcje i stanowią fundamentalny zbiór rozwiązań. W tym celu liczymy ich wrońskian

Zatem funkcje stanowią fundamentalny zbiór rozwiązań równania ( 4 ). Stąd, na mocy twierdzenia 2, dowolne rozwiązanie równania ( 4 ) możemy zapisać w postaci gdzie są dowolnymi stałymi.

Wyznaczmy rozwiązanie równania ( 4 ) spełniające warunek początkowy

Liczymy pochodną rozwiązania ogólnego która wynosi . Uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy następujący układ równań

którego rozwiązaniem jest i . Zatem rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Funkcje i są rozwiązaniami równania jednorodnego

Stanowią one fundamentalny zbiór rozwiązań dla tego równania, ponieważ ich wrońskian nie jest równy zero

Zatem rozwiązanie ogólne tego równania ma postać

Rozważmy teraz równanie niejednorodne

Funkcja jest rozwiązaniem równania niejednorodnego. Stąd, na mocy wniosku 1 rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma postać

gdzie są dowolnymi stałymi.

(t) =

y

1

e

t

y

2

(t) =

e

2t

(t) − 3 (t) + 2y(t) = 0, t ∈ R.

y

′′

_y

′

(t)

y

1

y

2

(t)

W( (t), (t)) =

y

1

y

2

∣

_∣

∣e

= 2 −

=

≠ 0 , t ∈ R.

t

e

t

e

2t

2e

2t

∣

_∣

∣

e

3t

e

3t

e

3t

(t), (t)

y

1

y

2

y(t) =

c

1

y

1

(t) +

c

2

y

2

(t) =

c

1

e

t

+

c

2

e

2t

,

c

1

c

2

y(0) = 1 i

y

′

(0) = −1.

(t) =

+ 2

y

′

_c

₁

_e

t

_c

2

e

2t

{ y(0) =

c

1

e

0

+

c

2

e

0

= + = 1,

c

1

c

2

(0) =

+ 2

= + 2 = −1

y

′

_c

₁

_e

0

_c

₂

_e

0

_c

₁

_c

₂

= 3

c

1

c

2

= −2

y(t) = 3 − 2

e

t

_e

2t

(t) =

y

1

t

2

y

2

(t) =

t

3

3 t

2

_y

′′

(t) − 2t (t) − 2y(t) = 0, t ∈ (0, +∞).

_y

′

W( (t), (t)) =

y

1

y

2

∣

_∣

∣t

= 3 − 2 = , dla t ∈ (0, ∞).

2

2t

t

3

3t

2

∣

_∣

∣

t

4

t

4

t

4

y(t) =

c

1

t

2

+

c

2

t

3

.

3 t

2

_y

′′

(t) − 2t (t) − 2y(t) = −4t, t ∈ (0, +∞).

_y

′

(t) = + t

y

0

t

2

y(t) = + t +

t

2

_c

₁

_t

2

+

_c

₂

_t

3

,

c

1

c

2

(8)

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:15:38

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=8cdb5a74fb60aef6bbc61c4f89210a4f