Janina Lisiecka-Frąszczak, Nowa komórka w strukturze ASICSesja: Nowe obszary badań systemów i sieci telekomuniacyjnych.Politechnika Poznanska, Instytut Elektroniki i Telekomunikacji

Pełen tekst

(1)www.pwt.et.put.poznan.pl. Janina Lisiecka-Frąszczak Instytut Elektroniki i Telekomunikacji Politechnika Poznańska, Poznań j.lisiecka-fraszczak@et.put.poznan.pl. 2005. Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 8 - 9 grudnia 2005. NOWA KOMÓRKA W STRUKTURZE ASIC Streszczenie Cyfrowe układy programowalne ASIC mają stałą strukturę. W każdej strukturze występują komórki z elementami logicznymi. W artykule proponuje się nowy model uniwersalnego elementu logicznego. Składa się on z n-wejść, każde ważone r-różnymi wagami ,oraz jednego wyjścia z progiem. Z pomocą tego elementu zrealizujemy dowolną funkcję liniowo-separowalną. Wybierając, którąś z wag na każdym wejściu decydujemy się na konkretną funkcję. Zmieniając wagi, zmieniamy funkcję wyjściową. Sieć takich elementów posłuży do realizacji dowolnej funkcji boolowskiej.. 1. WSTĘP W niniejszej publikacji proponuje się model nowego elementu logicznego do wykorzystania w programowalnych układach cyfrowych typu ASIC. Element ten ma n wejść ważonych r-wagami każde i jedno wyście z progiem T. W pracy, najpierw, pokrótce charakteryzuje się układy typu ASIC. Zwraca się uwagę na to, że każdy z nich zawiera komórkę, w której umieszczono matrycę logiczną. Komórka ta służy do realizacji funkcji boolowskich. Zostanie pokazane, że ten fragment układu można zastąpić uniwersalnym elementem logicznym. W artykule najpierw prezentuje się podstawowe definicje i własności funkcji boolowskich progowych. Są to funkcje dla których daje się znaleźć hiperpłaszczyznę separującą ich zbiory F1 i F0. Każda funkcja progowa może, na drodze przekształceń, zostać transformowana do postaci kanonicznej. Cechą charakterystyczną tej postaci funkcji jest to, że jej element progowy ma dodatnie wagi spełniające warunek wi ≥ wi+1. Zbiór funkcji kanonicznych danej liczby n jest skończony. W artykule, w oparciu o wszystkie realizacje tych funkcji, generuje się nowy zbiór wag W. Zbiór ten zostanie potem podany na każde wejście uniwersalnego elementu logicznego. Okaże się, że tak zaprojektowany element będzie mógł zrealizować dowolną, pozytywną liniowo-separowalną funkcję logiczną (lub rozpoznać każdy pozytywny obraz czarno-biały). Jeśli wagi dodatkowo będą mogły mieć wartości ujemne, to tak wyposażony element zrealizuje dowolną funkcję liniowo-separowalną. W publikacji proponuje się, by do realizacji funkcji przyjąć wagi całkowite spełniające warunek Σwi =min, wi∈C.. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. Każda funkcja progowa ma bowiem tylko jedno takie rozwiązanie i nieskończenie wiele innych rozwiązań. 2. PROGRAMOWALNE UKLADY LOGICZNE W rozdziale tym pokrótce scharakteryzujemy programowalne układy logiczne. Układy tego rodzaju stanowią element każdego nowoczesnego urządzenia, czy systemu cyfrowego .Najogólniej, nazywają się one specjalizowanymi układami cyfrowymi – ASIC (ang:Application Specific Integrated Circuits). W zależności od technologii i techniki projektowania układy ASIC możemy podzielić na następujące kategorie: a) układy zamawiane przez użytkownika (full custom) b) układy projektowane przez użytkownika (semi custom) c) układy programowane przez użytkownika ( FPLD ). Scharakteryzujemy w szczególności układy należące do ostatniej z wymienionych grup- tj.układy FPDL (Field Programmable Logic Devices). Stosując jako kryterium sposób rozmieszczenia elementów oraz sposób dokonywania połączeń miedzy nimi, układy FPDL można podzielić na grupy - Rys.1:. Rys. 1. Klasyfikacja układów programowanych Proste układy PLD (Rys.2) zbudowane są z matrycy AND-OR i zespołów elementów wyjściowych takich, jak przerzutniki, 3-stanowe bufory wyjściowe ,a także ,w bardziej rozbudowanych –multipleksery i element XOR tworzące makrokomórkę. Złożone układy PLD (Complex Programmable Logic Devices) (Rys.3) zbudowane są z dwóch zasadniczych grup elementów: - programowalnej matrycy połączeń (PIA) - makrokomórek rozmieszczonych wokół matrycy PIA.. 1/4.

(2) www.pwt.et.put.poznan.pl. części pracy pokażemy, że gdy do komórki wprowadzić uniwersalny element logiczny (lub równoważny dyskretny binarny perceptron -DBP) to taki układ programowalny będzie realizował dowolną funkcję boolowską ( rozpoznawał dowolny obraz czarno-biały). 3. PRELIMINARIA Przypomnimy podstawowe definicje dotyczące funkcji boolowskich i dyskretnego perceptronu. Rys. 2. Prosty układ PLD Każda makrokomórka zbudowana jest z matrycy ANDOR, przerzutników, bramek OR i XOR, itd. .Większe układy mają budowę hierarchiczną, ale zawsze w ich skład wchodzą komórki.. Niech Q = {0,1} , zaś Q n to n-krotny iloczyn kartezjański zbioru Q (n-kostka Qn). Funkcja boolowska f odwzorowuje elementy iloczynu Qn w elementy zbioru Q, f: Qn→Q. Zatem, z definicji, funkcja f dzieli wierzchołki Qn na dwa podzbiory: F1 = {x ∈ Qn | f(x) = 1} , F0 = {x ∈ Qn | f(x) = 0} . Funkcja f jest pozytywna, gdy jej minimalna postać dysjunkcyjna nie zawiera zmiennych zanegowanych. Obraz czarno-biały, który generuje pozytywną funkcję boolowską nazwiemy obrazem pozytywnym. Mówimy, że funkcja f jest liniowo separowalna, gdy istnieje zbiór wag i progu (w, T)={w1, w2,..., wn ; T} taki, że ∀ x ∈ F1. Rys.3. Struktura układów CPLD Układy typu FPGA mają strukturę macierzy prostokątnej komórek elementów logicznych, rozmieszczonych w środowisku komutacyjnym kanałów połączeniowych. (Rys. 3)Komórka struktur FPGA jest zbudowana z uniwersalnego kładu kombinacyjnego o kilku wejściach i jednym lub dwóch wyjściach, przerzutników i kilku multiplekserów.. Rys.4.Architektura układów FPGA Podejmowane są wysiłki badawcze ,by układy te mogły być układami rekonfigurowalnymi, tzn. takimi , których funkcje i strukturę można zmieniać w czasie pracy układu. Z przedstawionego krótkiego przeglądu układów programowalnych widać, że elementem każdej struktury jest komórka realizująca funkcje logiczne. W dalszej. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. ∀ x ∈ F0. Σ wixi > T. Σ wixi < T, wi , T ∈ R .. definiuje Równanie w1x1+...+wnxn = T hiperpłaszczyznę π , która rozdziela zbiory F1 i F0 zawarte w Qn. Funkcje liniowo-separowalne nazywa się również funkcjami progowymi, gdyż element logiczny, na którym realizuje się te funkcje jest wyposażony na wyjściu w wartość progową. Dyskretny binarny perceptron składa się z węzła sumacyjnego i części progowej, której wyjście jest binarne. W węźle sumacyjnym oblicza się sumy ważone będące iloczynem wektora wejściowego przez odpowiednie wagi, a element progowy podejmuje decyzję o wartości wyjścia. DBP rozpoznaje obraz czarno-biały. W procesie rozpoznawania następuje przyporządkowanie czarnych elementów obrazu do klasy K1 , a białych elementów do klasy K2. Struktura perceptronu jest konstruowana w procesie uczenia. W wyniku uczenia otrzymujemy (n+1) elementowy wektor zawierający wagi oraz próg takie, że wtx > T dla każdego x∈K1 , wtx < T dla każdego x∈K2 . Łatwo zauważyć, że powyższe wyrażenia są identyczne z nierównościami opisującymi progową funkcję boolowską. Element progowy, będący technicznym urządzeniem, na którym realizuje się funkcje progowe działa podobnie jak dyskretny perceptron. Obserwując identyfikację obrazu czarno-białego. 2/4.

(3) www.pwt.et.put.poznan.pl. dokonywaną przez binarny perceptron można powiedzieć, że generuje on funkcję boolowską. Jest to funkcja liniowo-separowalna Te spostrzeżenia uzasadniają zainteresowanie funkcjami tej klasy. 4. CHARAKTERYSTYKA FUNKCJI PROGOWYCH Każda funkcja progowa f ma cechy odróżniające ją od innych funkcji boolowskich: -. Zbiory F1 i F0 funkcji hiperpłaszczyzną π.. mogą być rozdzielone. -. Współczynniki hiperpłaszczyzny π definiują (n+1)elementowy wektor (w, T) składający się z wag i progu.. f. Niech dana jest funkcja progowa f zbiorze wag i progu {w ,T}.. n-zmiennych. o. 1. Skonstruujmy funkcję f1 przez przestawienie zmiennych xi i xj funkcji f. Łatwo wykazać, że funkcja f1 jest również funkcją progową ,a jej element progowy ma następującą strukturę{w1 ,T1}:. Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele perceptronów rozpoznających dany obraz czarno-biały. Równocześnie w tej ilości istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w którym wektor wagowy spełnia warunek Σwi = min, wi ∈ C. W pracy [4] sformułowano algorytm syntezy optymalnego perceptronu. Wykorzystuje on pewne własności funkcji boolowskich , a znaleziona struktura jest optymalna w sensie warunku Σwi = min. Pamiętając o tym, że dla danego n istnieje skończony zbiór funkcji progowych, wyznaczmy odpowiadający mu zbiór funkcji kanonicznych. Będzie to również zbiór skończony. Oznaczymy przez Fk zbiór funkcji kanonicznych nzmiennych, t.j. Fk = { f1 ,f2 ,...fp }. Symbolem R[fi] należącej do Fk. oznaczymy realizację funkcji fi Oczywiście, z definicji, każda realizacja R[fi] spełnia warunek Σ wi = min, wi C. Przeglądnijmy, po kolei, wszystkie możliwe zbiory wagowe R[f1 ],...,R[fp ] i skonstruujmy z nich, na zasadzie wyboru bez powtórzeń, nowy zbiór wag W = {w1 ,..., wr } następująco: wi ∈ W , gdy wi ∈ R[f s ] , s ∈ (1,2,...,p) i wi ∉ R[f j ], j < s.. w1k = wk ,k ∉ (i,j), k ∈ (1,2,...,n) w1j = wi , w1i = wj , i,j ∈ (1,2,...n) T1 = T. 2. Skonstruujmy funkcję f2 przez zanegowanie zmiennej xr funkcji f . Można wykazać, że funkcja f2 jest również funkcją progową, a realizujący ją element progowy ma strukturę {w2 ,T2} następująco związaną z elementem progowym funkcji f i ≠ r , i ∈ (1,2,...n). w2i = wi ,. W ten sposób do zbioru W należą wszystkie możliwe, różne wagi występujące we wszystkich realizacjach funkcji ze zbioru Fk. Zbiór W jest zbiorem skończonym mocy r . Jest on równocześnie wystarczającym zbiorem wag potrzebnym do zrealizowania dowolnej pozytywnej funkcji liniowoseparowalnej, lub skonstruowania DBP rozpoznającego dowolny pozytywny obraz czarno-biały. Przeprowadzona w rozdziale 4 analiza pozwala bowiem wyciągnąć następujące wnioski:. w2r = - wr , T2 = T – wr .. -. Z powyższych własności wynikają następne istotne cechy funkcji progowej:. Każda funkcja progowa ma równoważną postać kanoniczną.. -. Różne funkcje progowe mogą mieć tą samą postać kanoniczną.. -. Elementy wektora wagowego danej funkcji kanonicznej są liczbami dodatnimi, całkowitymi, a zatem mogą być uporządkowane według relacji ≤ .. -. Funkcja kanoniczna, progowa, ma tylko jeden wektor wagowy (w, T) optymalny ze względu Σwi=min, wi∈C.. -. -. Każdą funkcję progową można przekształcić do jej postaci pozytywnej na drodze przestawień i/lub negacji zmiennych. Wektor wagowy pozytywnej funkcji progowej składa się z liczb dodatnich.. Jeżeli dodatkowo uporządkujemy zmienne funkcyjne tak, że wagi pozytywnej funkcji progowej będą spełniały warunek wi ≥ wi+1 ,. i ∈ (1,2,..n),. to nowootrzymaną funkcję kanoniczną funkcji f .. nazwiemy. Spostrzeżenia te uzasadniają poniższy model uniwersalnego elementu logicznego (UEL):. postacią. 5. UNIWERSALNY DYSKRETNY PERCEPTRON Istnieje nieskończenie separujących zbiory F1 i F0. wiele hiperpłaszczyzn danej funkcji progowej.. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. Rys.5. Uniwersalny element logiczny. 3/4.

(4) www.pwt.et.put.poznan.pl. Proponowany element ma przy każdym wejściu nie jedną, ale r różnych wag. Dla konkretnego rozwiązania, dla każdego wejścia, zostanie wybrana jedna spośród możliwych wag. Tak zdefiniowany element zrealizuje każdą pozytywną funkcję liniowo-separowalną.. systemów (również w strukturze programowalnej). Dlatego wykorzystanie proponowanego elementu w układach cyfrowych pozwoli na dalszą ich miniaturyzację i jest jednym z powodów zainteresowania autorki tą problematyką .. Sieć złożona z UEL-ych, zorganizowana w matrycę (Rys.6.), utworzy rekonfigurowalne urządzenie realizujące dowolną pozytywną funkcję boolowską lub rozpozna dowolny pozytywny obraz czarno-biały.. SPIS LITERATURY. Jeżeli w proponowanym elemencie dodatkowo wagi będą mogły być ujemne, to zrealizuje on dowolną funkcję liniowo-separowalną, a utworzona z takich elementów sieć każdą funkcję boolowską lub rozpozna dowolny obraz czarno-biały.. [1] Cloete I., Żurada J.M. , Knowlege-Based Nuerocomputing, MIT Press, Cambridge, 2000 [2] M.L.Dertouzos, Threshold Logic: A Synthesis Approach, MIT Press, Cambridge, 1965. [3] Lisiecka-Frąszczak J. , Wstępna ocena parametrów dyskretnej sieci neuronowej, KOWBAN’99, Poland, pp.363-368 [4] Lisiecka-Frąszczak J., The Optimal Laerning Set for the Binary Discrete Perceptron, IWSSIP02 Proceedings, Manchester, UK 2002, pp.435-462 [5] Lisiecka-Frąszczak J., On the Classification Method of Lineary Nonseparable Binary Images, IWSSIP03 Proceedings, Prague, Czech Republic 2003, pp.186-189 [6] J.Żurada, M.Barski, W.Jędruch, Sztuczne sieci neuronowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996. Rys. 5. Sieć uniwersalnych elementów Ponieważ na każdym wejściu UEL-ego mamy r wag, można je w trakcie pracy układu zmieniać, uzyskując każdorazowo inną jego strukturę. W rezultacie otrzymamy układ rekonfigurowalny. Możliwości funkcjonalne proponowanego elementu są nieporównanie większe niż jakiegokolwiek innego elementu logicznego. Dlatego użycie jego w dowolnym układzie cyfrowym pozwoli ten układ zminiaturyzować.. 6. WNIOSKI W artykule proponuje się nowy uniwersalny element logiczny.. Został on wyposażony w r wag na każdym wejściu. Zmieniając wagi na wejściach elementu, każdorazowo realizujemy inną funkcję logiczną. Gdy element ten wykorzystamy w komórce struktury programowalnej ( np.FPLD), to uzyskamy rekonfigurowalny układ do realizacji dowolnej funkcji boolowskiej. Jeden element progowy realizuje funkcję, której realizacja w innych systemach logicznych wymagałaby użycia wielu elementów. Uniwersalny element realizuje zbiór funkcji, których realizacja w innych systemach wymagałaby użycia bardzo wielu elementów z tych. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 4/4.

(5)