Ruch względny
Rozpatrywane dotychczas równania ruchu odnosiły się do ruchu w układach inercjalnych (nieruchomych). Zastanowimy się obecnie, jak zmieni się podstawowe równanie ruchu Newtona przy przejściu do układu nieinercjalnego (ruchomego).
xyz - układ inercjalny
W układzie nieruchomym równanie opisujące ruch punktu materialnego zapisywaliśmy: M m a P (1) gdzie: n i i=1
P
P - geometryczna suma sil zewnętrznych działających na punkt materialny, aM - wektor przyspieszenia bezwzględnego.Jeżeli opisujemy ruch punktu względem układu ruchomego, to interesuje nas przyspieszenie względne punktu. Z kinematyki ruchu złożonego punktu wiadomo, że w ruchu złożonym przyspieszenie bezwzględne jest to przyspieszenie określane względem układu nieruchomego. Jest ono sumą trzech składników, z których pierwszy oznacza przyspieszenie unoszenia, drugi przyspieszenie względne (określone względem układu ruchomego), a trzeci oznacza przyspieszenie Coriolisa:
M Mu Mw Mcor Mb
a a a a a (2)
gdzie: aMcor 2ω v Mw - (ω - to wektor prędkości kątowej ruchu unoszenia, vMw - to wektor prędkości względnej punktu M, czyli prędkość określona względem układu ruchomego).
Podstawiając zależność (2) do równania (1), otrzymamy:
Mu Mw Mcor
m a a a P (3)
Mw Mu Mcor m a P m a m a (4)Równanie wektorowe (4) opisuje ruch masy w układzie ruchomym x1y1z1.
Wprowadzamy następujące wektory:
u Mu
B m a - tzw. siła unoszenia; jest to siła bezwładności, cor Mcor
B m a - tzw. siła Coriolisa; jest to również siła bezwładności. Co do wartości:
u Mu
B m a cor Mcor B m a
Ostatecznie równanie (4) możemy zapisać:
Mw u cor
m a P B B (5)
Zrzutujmy równanie (5) na osie x1y1z1 układu ruchomego. Otrzymamy równania:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1M x ux corx 1M y uy cory 1M z uz corz m x P B B m y P B B m z P B B (6)
Równania (6) to różniczkowe równania opisujące ruch masy względem układu x1y1z1, czyli opisujące ruch względny masy.
Jeżeli np. Mu Mcor a 0 a 0
, to równanie (5) przyjmie postać:
Mw
m a P (7)
Wówczas ruch masy w układzie ruchomym lub nieruchomym opisują te same równania.
Równowaga względna
Równowaga względna masy wystąpi wówczas, gdy aMw 0, czyli zgodnie ze wzorem (5):
u cor
PB B 0 (8)
Zajmiemy się obecnie równowagą masy znajdującej się na Ziemi. Wiadomo, że Ziemia obraca się wokół własnej osi oraz przemieszcza się po orbicie dookoła słońca. Przy rozpatrywaniu naszego zagadnienia przyjmujemy, że ziemia wykonuje tylko ruch obrotowy wokół własnej osi.
Ruch obrotowy Ziemi jest ruchem unoszenia dla każdej masy pozostającej na Ziemi. Prędkość kątowa Ziemi wynosi:
2 π rad ω const. 24 3600 s (9)
Zakładamy, że masa umieszczona jak na rysunku nie przemieszcza się względem Ziemi.
Na masę działa siła przyciągania G skierowana do środka Ziemi. Dodatkowo działa jeszcze siła unoszenia wynikająca z obrotu Ziemi wokół własnej osi. Siłę tę określimy z zależności:
u u
B m a (10)
Przyspieszenie unoszenia jest skierowane do osi obrotu Ziemi i wynosi:
2 u
a ω R cosφ (11)
Wartość siły unoszenia wynosi: 2
u u
B m a m ω R cosφ. Ponieważ vw 0, to również wartość siły Coriolisa jest zerem. Wypadkowa sił działających na masę w polu ziemskim to tzw. siła ciężkości masy, równa:
u
P G B (12)
gdzie: P - siła ciężkości masy,
G - siła przyciągania ziemskiego,
u
B - siła unoszenia.
Z powyższego wynika, że siła ciężkości masy i siła przyciągania Ziemi to dwie różne siły. Widać więc, że linia działania siły ciężkości nie przechodzi przez środek Ziemi, ponieważ α φ . Dokładnie na biegunie siły ciężkości i przyciągania są takie same. Ze względu na małą wartość siły unoszenia przyjmujemy, że siły ciężkości i przyciągania są takie same dla różnych wartości kąta φ (różnej szerokości geograficznej). Teoretycznie najmniejsza wartość siły
ciężkości występuje na równiku (gdyby Ziemia obracała się 17 razy szybciej, ciężar masy na równiku byłby zerem, czyli na równiku byłby stan nieważkości).
Jeżeli masa nie przemieszcza się względem Ziemi, czyli pozostaje w położeniu równowagi statycznej względem Ziemi (jest w równowadze względnej), to siła ciężkości masy P z siłą reakcji więzów narzuconych na masę tworzy dwójkę zerową, np. jeśli masa spoczywa na Ziemi lub jest zawieszona na linie, to siła reakcji więzów jest co do kierunku i wartości taka sama jak siła P . W dalszej analizie przyjmujemy, nie popełniając istotnych błędów, że siła ciężkości masy jest równa sile przyciągania i wynosi:
