• Nie Znaleziono Wyników

CO JEST WIĘKSZE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "CO JEST WIĘKSZE"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Jacek Kredenc – szkic rozwiązania

Co jest większe

Zadanie 1

Dane są dwie liczby: 𝑎 = 1999...999⏞

2018 1 1999…999⏟ 2019 7 i 𝑏 = 1999...999⏞ 2019 3 1999…999⏟ 2020 8. Porównaj liczby a i b Rozwiązanie Wprowadźmy oznaczenie 𝑥 = 2 000 … 000⏟ 2019 Wówczas 𝑎 = 1 999. . .999⏞ 2018 1 1 999 … 999⏟ 2019 7= 2 000. . .000⏞ 2019 − 9 2 000 … 000⏟ 2020 − 3= 𝑥 − 9 10𝑥 − 3 I 𝑏 = 1 999. . .999⏞ 2019 3 1 999 … 999⏟ 2020 8= 2 000. . .000⏞ 2020 − 7 2 000 … 000⏟ 2021 − 2= 10𝑥 − 7 100𝑥 − 2 𝑎 − 𝑏 = 𝑥 − 9 10𝑥 − 3− 10𝑥 − 7 100𝑥 − 2= 𝑥 − 9 10𝑥 − 3∙ 100𝑥 − 2 100𝑥 − 2− 10𝑥 − 7 100𝑥 − 2∙ 10𝑥 − 3 10𝑥 − 3= = 100𝑥 2− 2𝑥 − 900𝑥 + 18 1000𝑥2− 20𝑥 − 300𝑥 + 6− 100𝑥2 − 30𝑥 − 70𝑥 + 21 1000𝑥2− 20𝑥 − 300𝑥 + 6= =100𝑥2− 902𝑥 + 18 1000𝑥2− 320𝑥 + 6− 100𝑥2− 100𝑥 + 21 1000𝑥2− 320𝑥 + 6= 802𝑥 − 3 1000𝑥2 − 320𝑥 + 6> 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa oczywiście dla zadanego na początku x.

Wynika z tego, że

(2)

Zadanie 2.

Dane są liczby: 𝑎 =3320152016+3+320172016+3+320182017+3+320182019+3+320202019+3+320212020+3+320212022+2019+2019

i 𝑏 =3320142015+3+320162015+3+320172016+3+320172018+3+320192018+3+320202019+3+320202021+2019+2019. Która z nich jest większa?

Rozwiązanie

Na początek zauważmy, że obie liczby są ułamkami niewłaściwymi.

𝑎 =32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 32022+ 2019 32015+ 32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 2019 > >32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 32022+ 2019 + 2 ∙ 2019 32015+ 32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 2019 + 2 ∙ 2019= = 32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 32022+ 3 ∙ 2019 32015+ 32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 3 ∙ 2019= =32015+ 32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 32021+ 2019 32014+ 32015+ 32016+ 32017+ 32018+ 32019+ 32020+ 2019 = 𝑏 Nierówność wynika z monotonii ułamków

Mamy więc

𝑎 > 𝑏

Zadanie 3

W zadaniu trzecim wkradł się błąd drukarski. Jego konsekwencją jest, że bez rachunków widać, że a jest znacznie większe od b

Zadanie 4

Dane są dwie liczby: 𝑎 =33333333316666666668 i 𝑏 =44444444418888888887. Porównaj liczby a i b

Rozwiązanie Zastosujmy podstawienie 𝑥 = 1111111111 Wówczas 𝑎 =3333333331 6666666668= 3333333333 − 2 6666666666 + 2 = 3 ∙ 1111111111 − 2 6 ∙ 1111111111 + 2= 3𝑥 − 2 6𝑥 + 2 i

(3)

𝑏 =4444444441 8888888887= 4444444444 − 3 8888888888 − 1= 4 ∙ 1111111111 − 3 8 ∙ 1111111111 − 1= 4𝑥 − 3 8𝑥 − 1 W takim razie 𝑎 − 𝑏 = 3𝑥 − 2 6𝑥 + 2− 4𝑥 − 3 8𝑥 − 1= 3𝑥 − 2 6𝑥 + 2∙ 8𝑥 − 1 8𝑥 − 1− 4𝑥 − 3 8𝑥 − 1∙ 6𝑥 + 2 6𝑥 + 2= = 24𝑥 2− 3𝑥 − 16𝑥 + 2 48𝑥2− 6𝑥 + 16𝑥 − 2− 24𝑥2+ 8𝑥 − 18𝑥 − 6 48𝑥2− 6𝑥 + 16𝑥 − 2= 24𝑥2− 19𝑥 + 2 48𝑥2+ 10𝑥 − 2− 24𝑥2− 10𝑥 − 6 48𝑥2+ 10𝑥 − 2= = −9𝑥 + 8 48𝑥2 + 10𝑥 − 2< 0

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wykaż, korzystając z definicji granicy ciągu, że... Jakie są granice

W grze komputerowej odcinki długości 1 opadają w sposób losowy na odcinek długości 3 (W efekcie odcinek długości 1 w całości leży na odcinku długości 3.) Zaproponować model

Wykaż, że pola, na które te proste dzielą płaszczyznę, można pomalować dwoma kolorami w taki sposób, by żadne dwie figury sąsiadujące ze sobą wzdłuż odcinka (albo

Eulera, b edzie on bardzo podobny do , dowodu małego tw. Załóżmy, że n

Jeśli żadna orbita nie jest jednoelementowa, to rozmiar każdej jest podzielny przez p, zatem i |M| jest podzielna przez p.. Zamiast grafów można podobnie analizować

Jeśli żadna orbita nie jest jednoelementowa, to rozmiar każdej jest podzielny przez p, zatem i |M| jest podzielna przez p. Zamiast grafów można podobnie analizować

To przekonanie obalił Paul du Bois-Reymond, który w roku 1876 pokazał, że istnieje funkcja ciągła, której szereg Fouriera jest rozbieżny w przynajmniej jednym punkcie..

Dostosowując powyższą metodę uzyskujemy pełny algorytm przy pomocy którego, możemy sprawdzić czy zadana liczba naturalna n o dowolnej podstawie m