Seria 1.

(1)

3.10.2004 Zadania domowe: Seria 1 1

Zadania domowe: Seria 1

Zadanie 1.1. _{(Macierze Pauliego cz.1)(1.43)}

Znaleźć unormowane wektory własne i wartości własne dla operatorów

σx = 0 1 1 0 ! σy = 0 −i i 0 !

Zadanie 1.2. _{(Macierz ˆ}_S_y _{spinu 1)(1.44)}

Dany jest wypisany obok operator.

A.) Zbadać, czy operator ten jest hermitowski. B.) Obliczyć wartości własne tego operatora. C.) Znaleźć odpowiednie wektory własne.

ˆ S =      0 −√i 2 0 i √ 2 0 − i √ 2 0 √i 2 0     

Zadanie 1.3. _{(Operatory i ich własności)(1.1)}

Niech ˆA oraz ˆB będą operatorami. Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

ˆ

B2+ ( ˆA − ˆB)( ˆA + ˆB) − ˆA2.

Zadanie 1.4. _{(Elementarne własności operatorów)(1.2)}

Wykazać, że o ile istnieją operatory odwrotne do operatorów ˆA i ˆB to spełniona jest relacja

( ˆA ˆB)−1 _{= ˆ}_B−1_Aˆ−1_.

Zadanie 1.5. _{(Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.3)}

Wykazać, że:

A.) Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste.

B.) Wektory własne | f1i i | f2i odpowiadające dwóm różnym wartościom własnym są ortogo-nalne.

Zbadać hermitowskość następujących operatorów:

a.) A + ˆˆ A†, b.) A ˆˆA†, c.) A − ˆˆ A†_, _d.) _{i ( ˆ}_{A − ˆ}_A†_), gdzie ˆA jest dowolnym operatorem liniowym.

Zbadać hermitowskość następujących operatorów:

a.) H + ˆˆ K†, b.) H ˆˆK†, c.) H ˆˆK ˆH, d.) Hˆn, e.) hH, ˆˆ Ki +, f.) h ˆ H, ˆKi, g.) ihH, ˆˆ Ki,

gdzie ˆH i ˆK są dowolnymi operatorami hermitowskimi, zaś

·, ·

oraz

·, ·

+ oznaczają odpowied-nio komutator i antykomutator dwóch operatorów.

(2)

3.10.2004 Zadania domowe: Seria 1 2

Niech ˆH będzie operatorem hermitowskim, dla którego istnieją operatory odwrotne ˆH−1 _oraz ( ˆH†₎−1_{. Udowodnić, że}

a.) ( ˆH†)−1 = ( ˆH−1)†, b.) ( ˆH†)−1 = ˆH−1. Zadanie 1.9. _{(Hermitowskość i unitarność operatorów)(1.9)}

Jakie warunki muszą spełniać operatory hermitowskie ˆK i ˆH, na to, aby operator ˆA = ˆH + i ˆK

był operatorem:

a.) normalnym,

b.) unitarnym,

c.) spełniającym relację :hAˆ†, ˆAi = 2 ˆC.

gdzie ˆC jest pewnym ustalonym (znanym) operatorem.

Jaki warunek (warunki) musi spełniać operator hermitowski na to, aby jednocześnie był unitarny. Omówić uzyskane wyniki.

Zadanie 1.11. _{(Funkcje operatorowe, itp.)(1.35)}

Zakładamy, że istnieje operator ˆA−1 _{odwrotny do danego. Udowodnić przez indukcję,} że: ( ˆAn₎−1_{= ( ˆ}_A−1₎n_.

Wykazać relację ˆA ˆBn_A_ˆ−1 ₌_{A ˆ}ˆ_{B ˆ}_A−1n_.

Zadanie 1.13. _{(Funkcje operatorowe, itp.) (1.37)}

Zakładamy, że dla danego operatora ˆA istnieje operator (1 − A)−1_{. Pokazać, że}

(1 − A)−1 = ∞

X

n=0

An.

Niech ˆA, ˆB operatory. ξ ∈ C, zaś n ∈ N. Pokazać, że zachodzi związek eξ ÂBˆne−ξ Â = heξ ÂB eˆ −ξ Âin.

Udowodnić, że zachodzi następująca relacja operatorowa:

eξ ˆAB eˆ −ξ ˆA = ˆB + ξhA, ˆˆ Bi + ξ 2 2! h ˆ A, hA, ˆˆ Bii + ξ 3 3! h ˆ A, hA,ˆ hA, ˆˆ Biii + . . . , gdzie ξ ∈ C. Zwróćmy uwagę, że relacja ta przypomina rozwinięcie Taylora.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *