• Nie Znaleziono Wyników

Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Wartości i wektory własne –

definicje i metoda

wyznaczania

Autorzy:

Michał Góra

2019

(2)

(1)

Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania

Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania

Autor: Michał Góra

DEFINICJA

Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych

Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych

Liczbę zespoloną nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej wartością własną macierzy kwadratowej , jeżeli istnieje niezerowy wektor taki, że

Każdy niezerowy wektor spełniający równanie ( 1 ) nazywamy wektorem własnym macierzy wektorem własnym macierzy odpowiadającym wartości odpowiadającym wartości własnej

własnej .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1:

Niech będzie macierzą kwadratową. Następujące warunki są równoważne: (a) jest wartością własną macierzy ;

(b) równanie , w którym oznacza wektor zerowy, posiada niezerowe rozwiązanie

(c) .

DEFINICJA

Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy

Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy

Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową wymiaru , to funkcja

jest wielomianem stopnia ; jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy wielomian charakterystyczny macierzy .

Warunek (c) twierdzenia 1 pozwala wnioskować, że pierwiastki wielomianu to wartości własne macierzy . Każda macierz kwadratowa wymiaru posiada zatem wartości własnych (liczonych z krotnościami). Oznaczając te wartości własne jako

wielomian charakterystyczny przyjmuje postać

w której, co wynika z twierdzenia 1 , oraz

λ

A

v

Av = λv.

v

A

λ

A

λ

A

(A − λI) ⋅ v = 0

0

v

det (A − λI) = 0

A

n × n

(λ) = det (A − λI)

φ

A

n

A

φ

A

A

n × n

n

, …, ,

λ

1

λ

n

φ

A

(λ) =

+

+ … + λ + =

φ

A

a

n

λ

n

a

n−1

λ

n−1

a

1

a

0

= (λ − ) ⋯(λ − ),

a

n

λ

1

λ

n

= (−1

a

n

)

n

= det(A).

a

0

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 1: Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy

Przykład 1: Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy

Dla macierzy postaci

mamy

Z kolei, dla macierzy

mamy

A ∈ R

3×3

A =

1

0

−2

2

2

−2

0

0

−1

(λ) = det (A − λI) =

=

φ

A

1 − λ

0

−2

2

2 − λ

−2

0

0

−1 − λ

= − + 2 + λ − 2.

λ

3

λ

2

B ∈

C

2×2

:

B = (

1 + 2i

)

−2 + i

2 − i

i

(λ) = det (B − λI) =

=

φ

B

∣1 + 2i − λ

−2 + i

2 − i − λ

i

=

λ

2

− (3 + i) λ + 5 + 5i.

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2: Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy

Przykład 2: Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy

Wielomian charakterystyczny macierzy rozważanej w przykładzie Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy

ma postać

Poszukamy pierwiastków tego wielomianu. Ponieważ

zatem , , to trzy rzeczywiste wartości własne macierzy . Dla każdej z tych wartości własnych wyznaczymy teraz odpowiadający jej wektor własny.

Dla wektor własny wyznaczymy rozwiązując, wynikające z warunku ( 1 ), równanie

Równanie to równoważne jest układowi równań

którego rozwiązanie ma postać , gdzie . Przyjmując za dowolną niezerową wartość rzeczywistą (wektor zerowy nie może być wektorem własnym), otrzymujemy wektor własny odpowiadający wartości własnej ,

np. .

Dla wektor własny wyznaczymy rozwiązując równanie

które równoważne jest układowi równań

Jego rozwiązanie ma postać , gdzie . Poszukiwanym wektorem własnym może więc być wektor .

Dla wektor własny wyznaczymy z równania

Po prostych rachunkach otrzymujemy , . Poszukiwany wektor własny odpowiadający wartości własnej może więc być wybrany jako .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod

A

(λ) = − + 2 + λ − 2.

φ

A

λ

3

λ

2

(λ) = − + 2 + λ − 2 = − (λ − 2) + λ − 2 =

φ

A

λ

3

λ

2

λ

2

= − (λ − 2) ( − 1) = − (λ − 2) (λ − 1) (λ + 1) ,

λ

2

= −1

λ

1

λ

2

= 1

λ

3

= 2

A

= −1

λ

1

v

λ1

=

(x, y, z)

T

=

.

2

0

−2

2

3

−2

0

0

0

x

y

z

0

0

0

,

2x + 2y = 0

3y = 0

−2x − 2y = 0

(x, y, z) = (0, 0, t)

t ∈ R

t

= −1

λ

1

=

v

λ1

(0, 0, 1)

T

= 1

λ

2

v

λ2

=

(x, y, z)

T

=

,

0

0

−2

2

1

−2

0

0

−2

x

y

z

0

0

0

.

2y = 0

y = 0

−2x − 2y − 2z = 0

(x, y, z) = (t, 0, −t)

t ∈ R

=

v

λ2

(1, 0, −1)

T

= 2

λ

3

v

λ3

=

(x, y, z)

T

=

,

−1

0

−2

2

0

−2

0

0

−3

x

y

z

0

0

0

(x, y, z) = (2t, t, −2t) t ∈ R

= 2

λ

3

v

λ3

=

(2, 1, −2)

T

(5)

warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:18:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=befa9adfb1cbf4542f3520b320ed9a4c

Cytaty

Powiązane dokumenty

myślenia i radzenia sobie z wyzwaniami, jakie stawia przed nami życie. Wiara w nasze prawo do szczęścia, poczucie, że jest się wartościowym człowiekiem, zasługującym

22 Redukcja macierzy (rzadkiej) hermitowskiej do postaci trójdiagonalnej metodą Lanczosa Naszym zadaniem jest znalezienie wartości i wektorów własnych macierzy stopnia n. Jeśli jednak

Jeżeli natomiast elementy macierzy są elementami ciała, które nie jest algebraicznie domknięte (takim ciałem jest na przykład ciało liczb rzeczywistych!), to macierz ta może

do postaci trójdiagonalnej metodą Lanczosa Naszym zadaniem jest znalezienie wartości i wektorów własnych macierzy stopnia n. Jeśli jednak n jest bardzo duże (np.rzędu ~10 5 ) a

do postaci trójdiagonalnej metodą Lanczosa Naszym zadaniem jest znalezienie wartości i wektorów własnych macierzy stopnia n. Jeśli jednak n jest bardzo duże (np.rzędu ~10 5 ) a

Każda macierz kwadratowa jest ortogonalnie podobna do macierzy Hessenberga, więc ma ona to samo widmo wartości własnych co macierz H.. W celu wyznaczenia wartości własnych macierzy

do postaci trójdiagonalnej metodą Lanczosa Naszym zadaniem jest znalezienie wartości i wektorów własnych macierzy stopnia n. Jeśli jednak n jest bardzo duże (np.rzędu ~10 5 ) a

Na wspólnym wykresie proszę nanieść pięć pierwszych funkcji falowych w przedziale x ∈ [−L; +L].. Proszę podać odpowiadające