Wartości i wektory własne –
definicje i metoda
wyznaczania
Autorzy:
Michał Góra
2019
(1)
Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania
Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania
Autor: Michał Góra
DEFINICJA
Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych
Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych
Liczbę zespoloną nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej wartością własną macierzy kwadratowej , jeżeli istnieje niezerowy wektor taki, że
Każdy niezerowy wektor spełniający równanie ( 1 ) nazywamy wektorem własnym macierzy wektorem własnym macierzy odpowiadającym wartości odpowiadającym wartości własnej
własnej .
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1:
Niech będzie macierzą kwadratową. Następujące warunki są równoważne: (a) jest wartością własną macierzy ;
(b) równanie , w którym oznacza wektor zerowy, posiada niezerowe rozwiązanie
(c) .
DEFINICJA
Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy
Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy
Jeżeli macierz jest macierzą kwadratową wymiaru , to funkcja
jest wielomianem stopnia ; jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy wielomian charakterystyczny macierzy .
Warunek (c) twierdzenia 1 pozwala wnioskować, że pierwiastki wielomianu to wartości własne macierzy . Każda macierz kwadratowa wymiaru posiada zatem wartości własnych (liczonych z krotnościami). Oznaczając te wartości własne jako
wielomian charakterystyczny przyjmuje postać
w której, co wynika z twierdzenia 1 , oraz
λ
A
v
Av = λv.
v
A
λ
A
λ
A
(A − λI) ⋅ v = 0
0
v
det (A − λI) = 0
A
n × n
(λ) = det (A − λI)
φ
An
A
φ
AA
n × n
n
, …, ,
λ
1λ
nφ
A(λ) =
+
+ … + λ + =
φ
Aa
nλ
na
n−1λ
n−1a
1a
0= (λ − ) ⋯(λ − ),
a
nλ
1λ
n= (−1
a
n)
n= det(A).
a
0PRZYKŁAD
Przykład 1: Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy
Przykład 1: Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy
Dla macierzy postaci
mamy
Z kolei, dla macierzy
mamy
A ∈ R
3×3A =
⎛
⎝
⎜
⎜
1
0
−2
2
2
−2
0
0
−1
⎞
⎠
⎟
⎟
(λ) = det (A − λI) =
=
φ
A∣
∣
∣
∣
∣
1 − λ
0
−2
2
2 − λ
−2
0
0
−1 − λ
∣
∣
∣
∣
∣
= − + 2 + λ − 2.
λ
3λ
2B ∈
C
2×2:
B = (
1 + 2i
)
−2 + i
2 − i
i
(λ) = det (B − λI) =
=
φ
B∣
∣
∣1 + 2i − λ
−2 + i
2 − i − λ
i
∣
∣
∣
=
λ
2− (3 + i) λ + 5 + 5i.
PRZYKŁAD
Przykład 2: Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy
Przykład 2: Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy
Wielomian charakterystyczny macierzy rozważanej w przykładzie Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy
ma postać
Poszukamy pierwiastków tego wielomianu. Ponieważ
zatem , , to trzy rzeczywiste wartości własne macierzy . Dla każdej z tych wartości własnych wyznaczymy teraz odpowiadający jej wektor własny.
Dla wektor własny wyznaczymy rozwiązując, wynikające z warunku ( 1 ), równanie
Równanie to równoważne jest układowi równań
którego rozwiązanie ma postać , gdzie . Przyjmując za dowolną niezerową wartość rzeczywistą (wektor zerowy nie może być wektorem własnym), otrzymujemy wektor własny odpowiadający wartości własnej ,
np. .
Dla wektor własny wyznaczymy rozwiązując równanie
które równoważne jest układowi równań
Jego rozwiązanie ma postać , gdzie . Poszukiwanym wektorem własnym może więc być wektor .
Dla wektor własny wyznaczymy z równania
Po prostych rachunkach otrzymujemy , . Poszukiwany wektor własny odpowiadający wartości własnej może więc być wybrany jako .
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
A
(λ) = − + 2 + λ − 2.
φ
Aλ
3λ
2(λ) = − + 2 + λ − 2 = − (λ − 2) + λ − 2 =
φ
Aλ
3λ
2λ
2= − (λ − 2) ( − 1) = − (λ − 2) (λ − 1) (λ + 1) ,
λ
2= −1
λ
1λ
2= 1
λ
3= 2
A
= −1
λ
1v
λ1=
(x, y, z)
T=
.
⎛
⎝
⎜
⎜
2
0
−2
2
3
−2
0
0
0
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
x
y
z
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
0
0
0
⎞
⎠
⎟
⎟
,
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
2x + 2y = 0
3y = 0
−2x − 2y = 0
(x, y, z) = (0, 0, t)
t ∈ R
t
= −1
λ
1=
v
λ1(0, 0, 1)
T= 1
λ
2v
λ2=
(x, y, z)
T=
,
⎛
⎝
⎜
⎜
0
0
−2
2
1
−2
0
0
−2
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
x
y
z
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
0
0
0
⎞
⎠
⎟
⎟
.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
2y = 0
y = 0
−2x − 2y − 2z = 0
(x, y, z) = (t, 0, −t)
t ∈ R
=
v
λ2(1, 0, −1)
T= 2
λ
3v
λ3=
(x, y, z)
T=
,
⎛
⎝
⎜
⎜
−1
0
−2
2
0
−2
0
0
−3
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
x
y
z
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
0
0
0
⎞
⎠
⎟
⎟
(x, y, z) = (2t, t, −2t) t ∈ R
= 2
λ
3v
λ3=
(2, 1, −2)
Twarunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:18:58
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=befa9adfb1cbf4542f3520b320ed9a4c