Całka z dowolnej funkcji wymiernej - kompletna procedura i przykłady

Całka z dowolnej funkcji

wymiernej - kompletna

procedura i przykłady

Autorzy:

Tomasz Drwięga

2019

Całka z dowolnej funkcji wymiernej - kompletna procedura i przykłady

Całka z dowolnej funkcji wymiernej - kompletna procedura i przykłady

Autor: Tomasz Drwięga

DEFINICJA

Definicja 1: Całka z funkcji wymiernej

Definicja 1: Całka z funkcji wymiernej

Jeżeli są to dowolne wielomiany ( ), to całkę nazywamy całką z funkcji wymiernej.

Procedura obliczania całki z funkcji wymiernej:

1. Jeżeli stopień wielomianu jest większy lub równy stopniowi wielomianu , to należy podzielić z resztą wielomian przez . W wyniku uzyskamy sumę wielomianu i ułamka wymiernego, w którym stopień licznika będzie mniejszy niż stopień mianownika.

2. Następnie w ułamku wymiernym należy rozłożyć wielomian w mianowniku na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe w pewnych potęgach.

3. Po rozłożeniu mianownika ułamka wymiernego na czynniki należy ułamek wymierny rozłożyć na ułamki proste pierwszego lub drugiego rodzaju. Rozkład ten jest podyktowany obecnością czynników liniowych lub nierozkładalnych czynników kwadratowych w rozkładzie mianownika ułamka wymiernego na czynniki oraz ich krotnościami.

4. Na koniec należy scałkować powstały wielomian oraz ułamki proste i jest to wynik całości.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczmy całkę z funkcji wymiernej

Zauważmy, że stopień wielomianu z licznika jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku, a zatem najpierw wykonamy dzielenie wielomianów

Stąd

Otrzymaliśmy w ten sposób ułamek właściwy w którym stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż stopień wielomianu z mianownika, a więc możemy przystąpić do rozłożenia wielomianu na czynniki.

Aby rozłożyć na iloczyn wielomian skorzystamy z podstawienia sprowadzając wielomian stopnia 4 do funkcji kwadratowej . Po obliczeniu oraz miejsc zerowych otrzymujemy postać iloczynową funkcji kwadratowej

Wracając do podstawienia oraz korzystając ze wzoru skróconego mnożenia dostajemy szukany rozkład na czynniki mianownika

P(x), Q(x)

Q(x) ≠ 0

∫

P(x)_Q(x)

dx

P(x)

Q(x)

P(x)

Q(x)

∫

x7−3 +3 −2 −8 +2x−16_x5 _x4 _x3 _x2

dx.

−3 −4 x4 _x2

( − 3 + 3 − 2 − 8 + 2x − 16)

x

7

_x

5

_x

4

_x

3

_x

2

− + 3 + 4

x

7

_x

5

_x

3

−

−−−−−−−−−−−

−

3 + 2 − 8 + 2x − 16

x

4

_x

3

_x

2

−3 + 9 + 12

x

4

_x

2

−

−−−−−−−−−−−

−

2 + + 2x − 4

x

3

_x

2

: ( − 3 − 4) =

x

4

_x

2

_x

3

+ 3

=

+

−3 +3 −2 −8 +2x−16 x7 _x5 _x4 _x3 _x2 −3 −4 x4 _x2

x



 

3



+ 3



wielomian

.

2 + +2x−4x3 _x2 −3 −4 x4 _x2



 





ułamek wymierny

,

2 + +2x+2x3 _x2 −3 −4 x4 _x2

− 3 − 4

x

4

_x

2

− 3 − 4,

x

4

_x

2

_{t = x}

2

− 3t − 4

t

2

_{Δ = 25}

_t

₁

_{= −1, = 4,}

_t

₂

− 3t − 4 = (t + 1)(t − 4).

t

2

t = x

2

− 3 − 4 = ( + 1)( − 4) = (x − 2)(x + 2)( + 1).

4 2 2 2 2

Szukany rozkład na ułamki proste jest zatem następujący

Mnożąc powyższe równanie przez wspólny mianownik ( ), a następnie grupując wyrazy podobne otrzymujemy

Następnie porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej dostajemy układ równań

a stąd i Wówczas otrzymujemy Wracając do całki

− 3 − 4 = ( + 1)( − 4) = (x − 2)(x + 2)( + 1).

x

4

_x

2

_x

2

_x

2

_x

2

=

+

+

.

2 + +2x−4x3 _x2 −3 −4 x4 _x2 _x−2A _x+2B Cx+D_x2₊₁

− 3 − 4

x

4

_x

2

2 + + 2x − 4 = (A + B + C) + (2A − 2B + D) + (A + B − 4C)x + (2A − 2B − 4D).

x

3

_x

2

_x

3

_x

2

x

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

A + B + C = 2

2A − 2B + D = 1

A + B − 4C = 2

2A − 2B − 4D = −4,

A = 1, B = 1, C = 0, D = 1.

=

+

+

.

2 + +2x−4x3 _x2 −3 −4 x4 _x2 _x−21 _x+21 _x21₊₁

I = ∫

x

7

− 3 + 3 − 2 − 8 + 2x − 16

x

5

x

4

_{− 3 − 4}

x

3

x

2

dx

x

4

_x

2

= ∫ ( + 3 +

x

3

2 + + 2x − 4

x

3

x

2

) dx

− 3 − 4

x

4

_x

2

= ∫ ( + 3) dx + ∫

x

3

2 + + 2x − 4

x

3

x

2

dx

− 3 − 4

x

4

_x

2

=

x

₄

4

+ 3x + ∫ (

_{x − 2}

1

+

_{x + 2}

1

+

1

_{+ 1}

) dx

x

2

=

1

_{4 x}

4

+ 3x + ∫

dx

+ ∫

+ ∫

x − 2

x + 2

dx

x

2

dx

+ 1

=

1

_{4 x}

4

+ 3x + ln |x − 2| + ln |x + 2| + arctg x + C

=

1

_{4 x}

4

+ 3x + ln | − 4| + arctg x + C.

_x

2

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczmy całkę z funkcji wymiernej

Zauważmy, że stopień wielomianów z licznika i mianownika jest taki sam a więc, aby móc rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste, musimy przekształcić ją najpierw do postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego.

Stąd

Następnie rozkładając mianownik ułamka na czynniki

otrzymujemy rozkład na ułamki proste

Mnożąc powyższe równanie przez mianownik lewej strony (tj. ) otrzymujemy równanie

które ma być spełnione dla dowolnej wartości zmiennej . Wybierając i natychmiast otrzymujemy szukane liczby

Wracając do całki mamy

∫

x3+2

dx.

−x x3

=

=

+

= 1 +

.

+2 x3 −x x3 x−x+x+2 3 −x x3 x−x 3 −x x3 _xx+23_{−x x}x+23_−x x+2 −x x3

− x = x( − 1) = x(x − 1)(x + 1),

x

3

_x

2

= +

+

.

x+2 −x x3 A_{x x−1}B _x+1C

− x

x

3

x + 2 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1),

x

x = 0, x = 1 x = −1,

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

A = −2

B =

3 2

C = .

1 2

I = ∫

x

3

+ 2

_{− x}

dx = ∫ (1 +

) dx

x

3

_x

x + 2

3

_{− x}

= ∫ dx + ∫

x + 2

_{− x}

dx = x + ∫ (

+

+

) dx

x

3

−2

_x

3 2

x − 1

1 2

x + 1

= x − 2 ∫

dx

_x

+ ∫

3

₂

_{x − 1}

dx

+ ∫

1

₂

_{x + 1}

dx

= x − 2 ln |x| + ln |x − 1| + ln |x + 1| + C.

3

₂

1

₂

ZADANIE

Zadanie 1:

Zadanie 1:

Treść zadania: Treść zadania:

Oblicz całkę z funkcji wymiernej

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Zauważmy, że funkcja podcałkowa jest ułamkiem wymiernym bo stopień wielomianu z mianownika jest większy niż stopień wielomianu z licznika, a więc nie ma potrzeby wykonania dzielenia wielomianów. Możemy bezpośrednio przystąpić do rozkładu wielomianu

na czynniki. Otrzymujemy

a stąd mamy następujący rozkład na ułamki proste

Mnożąc powyższe równanie przez i grupując wyrazy podobne dostajemy zależność Zatem szukane współczynniki spełniają układ równań

i stąd otrzymujemy oraz Wracając do całki

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:19:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f43529617ef2b4975967588190ed1827

Autor: Tomasz Drwięga

∫

3x+1

dx.

+2 +x x3 _x2

+ 2 + x

x

3

_x

2

+ 2 + x = x( + 2x + 1) = x(x + 1 ,

x

3

_x

2

_x

2

₎

2

= +

+

.

3x+1 +2 +x x3 _x2 A_{x x+1}B _(x+1)C 2

+ 2 + x

x

3

_x

2

3x + 1 = (A + B) + (2A + B + C)x + A.

x

2

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

A + B = 0

2A + B + C = 3

A = 1

A = 1, B = −1

C = 2.

I = ∫

_{+ 2 + x}

3x + 1

= ∫ ( +

+

) dx

x

3

_x

2

1

_x

_{x + 1}

−1

_{(x + 1)}

2

2

= ∫

dx

_x

− ∫

_{x + 1}

dx

+ 2 ∫

_{(x + 1)}

dx

₂

= ln |x| − ln |x + 1| + 2 ⋅

_{x + 1}

−1

+ C

= ln

∣

_∣∣

_{x + 1}

x

∣

_∣∣

−

_{x + 1}

2

+ C.