Egzamin z Analizy matematycznej, 2005, prof dr hab T.Natkaniec, UG

(1)

EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ 2005

(1) Załóżmy, że g:[a,b]

→ »

jest ograniczona: (a) g jest całkowalna w sensie Riemanna; (b) jeżeli g jest ciągła, to jest R-całkowalna;

(c) jeżeli g jest R-całkowalna, to jest monotoniczna; (d) jeżeli g nie jest monotoniczna i jest R-całkowalna. (2) Załóżmy, że g:

» → »

. Wtedy:

(a) jeżeli g jest ciągła to rozwija się w szereg Fouriera;

(b) jeżeli g jest

2 π

_{- okresowa, to rozwija się w szereg Fouriera;} (c) jeżeli g rozwija się w szereg Fouriera to jest klasy

C

∞

(d) jeżeli g jest klasy

C

1i

2 π

_{- okresowa, to rozwija się w szereg Fouriera.} (3a) Udowodnij, że jeżeli g

:

[a,b]

→

»

jest ciągła to g posiada funkcję

pierwotną.

(3b) Podaj przykład funkcji R-całkowalnej, która nie posiada funkcji pierwotnej. Odpowiedź uzasadnij.

(4) Załóżmy, że

(

σ

_n

)

_n_{jest jednostajnie zbieżnym ciągiem funkcji ciągłych} określonych na przedziale [a,b]. Udowodnij, że rodzina {

σ

_n_:

_{n ∈ »}

_{} jest} jednakowo ciągła.

(5) Załóżmy, że g:

» → »

2 ,

h ∈ »

2,

h ≠

(0, 0)

(a) podaj definicję pochodnej kierunkowej dd

( ,

0 0

)

g

h

x y

(b) załóżmy, że dd

( ,

0 0

)

g

h

x y

= 13. Czy g może posiadać ekstremum lokalne

w punkcie

( ,

x y

₀ ₀

)

? Odpowiedź uzasadnij.