Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Cz. 1 Zasady opracowania wyników pomiarów

Pełen tekst

(1)Ryszard Poprawski W³odzimierz Salejda. Æwiczenia laboratoryjne z fizyki Czêæ I Zasady opracowania wyników pomiarów Wydanie V. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej Wroc³aw 2005.

(2) Recenzenci. Ryszard CACH Ewa DÊBOWSKA Miros³aw DROZDOWSKI. Redaktor serii. Ludmi³a LEWOWSKA. Sk³ad komputerowy Marek J. BATTEK. Opracowanie redakcyjne Maria IZBICKA. Projekt ok³adki. Ewa POPRAWSKA. © Copyright by Ryszard Poprawski & W³odzimierz Salejda, Wroc³aw 1996. OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw. ISBN 83-7085-924-0. Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. nr 1114/2005.. 2.

(3) Spis treci Spis wa¿niejszych oznaczeñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wstêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Pomiary wielkoci fizycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przyk³ady pomiarów prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przyk³ady pomiarów z³o¿onych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Obliczanie niepewnoci pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Statystyczna analiza wyników i niepewnoæ pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. rednia arytmetyczna, wariancja i odchylenie standardowe (z próby) . . . . . 2.2.2. Wspó³czynnik korelacji (z próby) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Histogramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Gêstoæ rozk³adu prawdopodobieñstwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Wykres normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Wartoæ rednia i wariancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Dystrybuanta rozk³adu prawdopodobieñstwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Standaryzowany rozk³ad normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9. Obliczanie prawdopodobieñstw P((µ kσ, µ + kσ)) dla rozk³adu normalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10. Gêstoæ dwuwymiarowego rozk³adu prawdopodobieñstwa . . . . . . . . . . . . 2.2.11. Wspó³czynniki korelacji oraz macierz kowariancji i korelacji . . . . . . . . . . 2.2.12. Centralne twierdzenie graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13. Rozk³ad dwumianowy i rozk³ad Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.14. Przybli¿anie rozk³adu dwumianowego i rozk³adu Poissona rozk³adem normalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Opracowanie wyników oraz niepewnoci pomiarów prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Obliczanie niepewnoci w przypadku ma³ej liczby pomiarów za pomoc¹ d³ugoci przedzia³ów ufnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Okrelanie niepewnoci na podstawie klasy przyrz¹dów . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Niepewnoci pomiarów mierników cyfrowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Zaokr¹glanie i zapis wyników pomiarów oraz ich niepewnoci . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Zaokr¹glanie wartoci niepewnoci pomiaru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Zaokr¹glanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Zapisywanie wyników pomiarów oraz ich niepewnoci . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Odrzucanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Obliczanie niepewnoci w przypadku pomiarów z³o¿onych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Nieskorelowane wielkoci wejciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 6 7 9 10 11 12 12 17 17 20 23 25 27 29 29 30 34 35 35 37 38 41 42 43 44 45 46 47 47 48 49 50 52. 3.

(4) 2.6.2. Skorelowane wielkoci wejciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6.2.1. Obliczanie niepewnoci metod¹ ró¿niczki zupe³nej . . . . . . . . . . . . 58 3. Graficzne opracowanie wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1. Rysowanie wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1. Rysowanie wykresów we wspó³rzêdnych biegunowych . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Odczytywanie wartoci wielkoci fizycznych z wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1. Wyznaczanie nachylenia wykresu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3. Linearyzacja zale¿noci miêdzy wielkociami fizycznymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. Metody regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1. Regresja nieliniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5. Komputerowe opracowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6. Zasady wykonywania æwiczeñ i opracowywania sprawozdañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1. Wskazówki praktyczne dotycz¹ce wykonywania æwiczeñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2. Sprawozdanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.1. Definicje jednostek podstawowych uk³adu SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.2. Przedrostki stosowane do oznaczania wielokrotnoci jednostek . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.3. Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Literatura uzupe³niaj¹ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. 4.

(5) Spis wa¿niejszych oznaczeñ X, Xi , Y x, xi, y x 0, y 0 µrz s, sx δ x x. wielkoci fizyczne, wartoci wielkoci fizycznych, jednostki wielkoci fizycznych, wartoæ dok³adna (prawdziwa, rzeczywista) wielkoci fizycznej, odchylenie standardowe, b³¹d pomiaru, rednia arytmetyczna, rednia arytmetyczna z du¿ej liczby pomiarów, ∞ δp∞ b³¹d przypadkowy, ∆ b³¹d systematyczny, n liczba pomiarów, sx odchylenie standardowe redniej arytmetycznej, rxy wspó³czynnik korelacji, f(x) gêstoæ prawdopodobieñstwa, funkcja rozk³adu, P prawdopodobieñstwo, σ, λ parametry rozk³adu, Φ(x) gêstoæ standaryzowanego rozk³adu normalnego, F(x) dystrybuanta, σxy kowariancja, B(m, p) rozk³ad dwumianowy, P(λ) rozk³ad Poissona, t(n, α) wspó³czynnik Studenta, α poziom ufnoci, kl klasa miernika, Z zakres miernika, kld klasa miernika cyfrowego, rozdz rozdzielczoæ miernika cyfrowego, uy z³o¿ona niepewnoæ standardowa, βi wspó³czynnik regresji, δp niepewnoæ przypadkowa, δw niepewnoæ wzglêdna, δ% niepewnoæ wzglêdna wyra¿ona w procentach.. 5.

(6) PRZEDMOWA Oddajemy do r¹k czytelników kolejne wydanie podrêcznika do æwiczeñ laboratoryjnych z fizyki. Podrêcznik jest adresowany do studentów pierwszych dwóch lat studiów wy¿szych uczelni technicznych i sk³ada siê z czterech czêci nosz¹cych nastêpuj¹ce tytu³y: 1. Podstawy opracowania wyników pomiarów. 2. Mechanika i termodynamika. 3. Elektrycznoæ i magnetyzm. 4. Optyka. W czêci pierwszej przedstawiamy podstawowe zasady analizy niepewnoci pomiarów, metody opracowania i prezentacji wyników pomiarów oraz tablice wartoci wielkoci fizycznych. Pragniemy podkreliæ, ¿e metody analizy wyników pomiarów s¹ zgodne z aktualnymi zaleceniami ISO (International Organization for Standarization) oraz G³ównego Urzêdu Miar. Wspó³autorem rozdzia³ów 2.2, 2.6 i 4 jest profesor dr hab. Witold Klonecki, by³y pracownik naukowo-dydaktyczny Instytutu Matematyki PWr. W pozosta³ych czêciach podrêcznika zamieszczono opisy wraz z obszernymi wprowadzeniami do wszystkich æwiczeñ wykonywanych w Laboratorium Podstaw Fizyki PWr. Opis ka¿dego æwiczenia rozpoczyna siê zwiêz³ym sformu³owaniem najistotniejszych zagadnieñ (w formie s³ów kluczowych), których znajomoæ jest warunkiem koniecznym przyst¹pienia do wykonywania danego æwiczenia laboratoryjnego. Mamy nadziejê, ¿e podrêcznik ten u³atwi studentom przygotowanie siê do æwiczeñ laboratoryjnych z fizyki oraz opracowania wyników pomiarów bez koniecznoci siêgania do wielu innych ksi¹¿ek. W internetowej witrynie dydaktycznej Instytutu Fizyki PWr. pod adresem: http://www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF jest dostêpne bezp³atnie poprzednie wydanie podrêcznika. Autorzy dziêkuj¹ prof. dr. hab. Witoldowi Kloneckiemu za cenne uwagi i dyskusje oraz pani Alicji Szczygie³ za wykonanie rysunków do wszystkich czêci podrêcznika. Autorzy i redaktorzy podrêcznika. 6.

(7) WSTÊP Poznanie przez studentów podstawowych technik dowiadczalnych, zdobycie umiejêtnoci przeprowadzania eksperymentów i opracowywania wyników pomiarów oraz szacowania niepewnoci pomiarów to najwa¿niejsze cele æwiczeñ laboratoryjnych z fizyki. Opanowanie tych zagadnieñ wymaga pewnego czasu oraz dowiadczenia, które zdobywa siê podczas wykonywania i opracowywania kolejnych æwiczeñ. Zajêcia laboratoryjne z fizyki rozpoczynaj¹ siê zebraniem organizacyjnym, na którym studenci po zapoznaniu siê z regulaminem pracowni fizycznej, sprawami organizacyjnymi i porz¹dkowymi, otrzymuj¹ harmonogram æwiczeñ na ca³y semestr. W ci¹gu tygodnia dziel¹cego zebranie organizacyjne od pierwszych zajêæ student powinien zapoznaæ siê z tematyk¹ pierwszego wyznaczonego æwiczenia, a tak¿e z podstawowymi metodami szacowania niepewnoci pomiarów. Oto lista zagadnieñ, z którymi nale¿y siê zapoznaæ przed przyst¹pieniem do pierwszego æwiczenia, niezale¿nie od jego tematu: pomiary wielkoci fizycznych (rozdzia³ 1), podstawy obliczania niepewnoci pomiarów (rozdzia³ 2), zasady wykonywania æwiczeñ i opracowywania sprawozdañ (rozdzia³ 6). W opisach æwiczeñ zasugerowano sposoby opracowania wyników pomiarów oraz metodê obliczania ich niepewnoci. Podstawowe pojêcia oraz ich definicje zosta³y w tekcie wyró¿nione pogrubion¹ czcionk¹, w celu wyranego oddzielenia ich od przyk³adów i komentarzy. Przed przyst¹pieniem do kolejnego æwiczenia nale¿y zapoznaæ siê z metod¹ obliczania niepewnoci oraz sposobem opracowania wyników przydatnym w danym æwiczeniu. Taki sposób postêpowania zapewnia zgromadzenie podczas pomiarów danych niezbêdnych do obliczeñ oraz pozwala stopniowo (przy wykonywaniu i opracowywaniu rezultatów kolejnych æwiczeñ) zapoznawaæ siê z metodyk¹ opracowywania i prezentacji wyników pomiarów. Omówimy krótko zawartoæ podrêcznika. W rozdziale pierwszym wprowadzono podstawowe pojêcia dotycz¹ce wielkoci fizycznych oraz ich pomiarów. Obszerne przedstawienie zarówno przedmiotu jak i podstawowych zasad analizy niepewnoci pomiarów zamieszczone jest w rozdziale 2. Sposoby graficznego opracowywania wyników pomiarów oraz metody regresji liniowej oraz nieliniowej zawieraj¹ odpowiednio rozdzia³y 3 i 4. Oprogramowanie u¿ytkowe pozwalaj¹ce na szybkie i sprawne przeprowadzenie analizy niepewnoci pomiarów i sporz¹dzenie wykresów przedstawiono w rozdziale 5. Zasady wykonywania pomiarów w Laboratorium Pod7.

(8) staw Fizyki oraz sporz¹dzania sprawozdañ omówiono w rozdziale 6. Dodatek zawiera definicje jednostek wielkoci podstawowych w uk³adzie SI, wartoci sta³ych fundamentalnych, tablice sta³ych niezbêdnych podczas opracowywania wyników pomiarów oraz tablice, w których podano w³asnoci fizyczne materia³ów stanowi¹cych przedmiot badañ. Tablice mog¹ byæ przydatne do porównania uzyskanych wyników pomiarów z danymi wyznaczonymi w laboratoriach naukowych i przemys³owych. Przytoczone w tekcie przyk³ady stanowi¹ ilustracjê omawianych zagadnieñ, nie s¹ jednak wynikami konkretnych pomiarów i w ¿adnym wypadku nie nale¿y powo³ywaæ siê na wystêpuj¹ce w nich wartoci liczbowe.. 8.

(9) 1. POMIARY WIELKOCI FIZYCZNYCH Przedmiotem fizyki dowiadczalnej s¹ pomiary wielkoci fizycznych oraz poszukiwanie i opis zwi¹zków (praw fizycznych) miêdzy tymi wielkociami. Wielkoci¹ fizyczn¹ nazywamy tak¹ w³aciwoæ obiektu, substancji lub zjawiska, któr¹ mo¿na porównaæ ilociowo z podobnymi w³aciwociami lub cechami innego obiektu, substancji lub zjawiska. Wielkoci fizyczne s¹ wiêc w³aciwociami lub cechami obiektów, substancji lub zjawisk, które mo¿na zmierzyæ. Proces porównywania wielkoci fizycznej z wielkoci¹ przyjêt¹ za jednostkê nazywamy pomiarem. Przyk³adami wielkoci fizycznych, za pomoc¹ których opisujemy w³aciwoci obiektów, s¹: masa, gêstoæ, temperatura, wymiary geometryczne, natomiast wielkociami charakteryzuj¹cymi zjawiska s¹: prêdkoæ, przyspieszenie, si³a, szybkoæ zmian temperatury lub efekty cieplne, np. ciep³o parowania, ciep³o w³aciwe itp. Aby móc dokonaæ pomiaru danej wielkoci fizycznej, nale¿y okreliæ jednostkê tej wielkoci. Jednostki definiowane s¹ za pomoc¹ wzorca lub przez sprecyzowanie sposobu ich pomiaru. W celu unikniêcia dowolnoci w wyborze jednostek, a wiêc umo¿liwienia porównywania wyników pomiarów, definicje jednostek fizycznych zosta³y okrelone w umowach miêdzynarodowych. W wiêkszoci krajów, w tym równie¿ w Polsce, obowi¹zuj¹ jednostki uk³adu miêdzynarodowego SI (System International). Definicje jednostek uk³adu SI, zatwierdzone przez miêdzynarodow¹ konferencjê w 1991 roku, s¹ zawarte w dodatku znajduj¹cym siê w koñcowej czêci podrêcznika. Istnieje okrelona liczba wielkoci fizycznych, których jednostki s¹ zdefiniowane. Wielkoci takie nazywamy podstawowymi (w uk³adzie SI jest ich siedem). Pozosta³e wielkoci mo¿na wyraziæ za pomoc¹ zwi¹zków (zazwyczaj praw fizycznych) miêdzy wielkociami podstawowymi. Wielkoci fizyczne, które mo¿na wyraziæ za pomoc¹ wielkoci podstawowych nazywamy wielkociami pochodnymi. Jednostki podstawowe mo¿na wybieraæ i definiowaæ w ró¿ny sposób. Za jednostki podstawowe przyjmuje siê jednostki takich wielkoci fizycznych, które dziêki odpowiednim przyrz¹dom i technice pomiarowej mo¿na mo¿liwie precyzyjnie zmierzyæ, a ich wzorce mo¿liwie prosto i dok³adnie odtworzyæ. Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e ¿adna wielkoæ fizyczna nie mo¿e byæ zmierzona z dok³adnoci¹ wiêksz¹ od dok³adnoci z jak¹ zdefiniowany jest aktualny wzorzec. W miarê rozwoju techniki pomiarowej ronie równie¿ precyzja pomiarów. Wtedy, gdy jestemy w stanie mierzyæ jak¹ wielkoæ z precyzj¹ wiêksz¹ od dok³adnoci z jak¹ okrelony jest. 9.

(10) wzorzec, zachodzi potrzeba zmiany wzorca (przyk³adem jest wprowadzona niedawno zmiana definicji metra). Wynik dowolnego pomiaru x jest wartoci¹ mianowan¹, któr¹ podajemy w nastêpuj¹cej postaci: x = rX JX ,. (1.1). gdzie: JX jednostka wielkoci fizycznej X (zazwyczaj jej symbol), a rX liczba rzeczywista okrelaj¹ca liczbê jednostek. Jak widzimy z postaci zapisu (1.1), podanie wartoci wielkoci fizycznej w postaci tylko liczby nie ma sensu (o ile nie jest to wielkoæ bezwymiarowa); np. stwierdzenie, ¿e odleg³oæ miêdzy dwoma punktami wynosi 1,54 nic nie znaczy. W przypadku podawania wartoci wielkoci obarczonej niepewnoci¹ δX wynik pomiaru zapisujemy w postaci x = (rX ± δX) JX.. (1.2). Niepewnoæ pomiaru δX jest miar¹ rozrzutu wyników pomiarów wielkoci fizycznej X. Wyznaczanie wartoci wielkoci fizycznej mo¿e sk³adaæ siê z kilku etapów, z których najwa¿niejszymi s¹ pomiary proste, obliczanie oceny wartoci wielkoci wyznaczanych na podstawie wyników pomiarów prostych oraz analiza dok³adnoci uzyskanej oceny. Pomiary wielkoci fizycznych, których wartoci wyznaczamy bezporednio za pomoc¹ odpowiednich przyrz¹dów bêdziemy nazywali pomiarami prostymi (bezporednimi), a wielkoci tak wyznaczone wielkociami prostymi. Do takich wielkoci zaliczane s¹ wielkoci podstawowe (patrz podrozdzia³ 7.1 zamieszczony w dodatku), których pomiar polega na porównaniu z wartoci¹ przyjêt¹ za jednostkê, np. czas, odleg³oæ, k¹t, natê¿enie pr¹du lub masa. Istniej¹ wielkoci, których wartoci odczytujemy bezporednio ze skali przyrz¹du mierz¹cego inn¹ wielkoæ fizyczn¹. Dziêki prostej zale¿noci funkcyjnej przyrz¹d mo¿e byæ wyskalowany w jednostkach innej wielkoci fizycznej ni¿ wielkoæ mierzona bezporednio. Wielkoci takie bêdziemy równie¿ nazywali wielkociami prostymi, mimo ¿e sam pomiar jest pomiarem porednim. W przypadku pomiarów prostych nie ma potrzeby obliczania wartoci mierzonych, gdy¿ odczytujemy je bezporednio ze skali przyrz¹du pomiarowego. Przyk³ady pomiarów prostych 1. Pomiar napiêcia elektrycznego za pomoc¹ woltomierza polega na pomiarze natê¿enia pr¹du p³yn¹cego przez znan¹ rezystancjê. Korzystaj¹c z prawa Ohma mo¿emy amperomierz wyskalowaæ w jednostkach napiêcia i przyrz¹d nazwaæ woltomierzem.. 10.

(11) 2. Termometr cieczowy jest urz¹dzeniem wykorzystuj¹cym liniowy zwi¹zek miêdzy przyrostem objêtoci cieczy a przyrostem temperatury. Wielkoci¹ mierzon¹ jest przyrost objêtoci cieczy, naniesiona za na nim skala jest skal¹ temperatur. 3. Pomiar natê¿enia owietlenia za pomoc¹ luksomierza polega na pomiarze natê¿enia pr¹du generowanego przez fotoogniwo, amperomierz mierz¹cy ten pr¹d jest wyskalowany w luksach. Pomiar z³o¿ony polega na wykonaniu (najczêciej równoczesnym) kilku pomiarów prostych. Korzystaj¹c z zale¿noci miêdzy wielkociami wyznaczonymi bezporednio obliczamy wartoæ wielkoci fizycznej, któr¹ bêdziemy nazywali z³o¿on¹, a taki sposób wyznaczania wielkoci fizycznej pomiarem z³o¿onym. Przyk³ady pomiarów z³o¿onych 1. Pomiar oporu elektrycznego polega zwykle na pomiarze natê¿enia pr¹du oraz napiêcia na badanej rezystancji. Wartoæ oporu obliczamy korzystaj¹c z prawa Ohma. Zwróæmy uwagê na to, ¿e je¿eli opór zmierzymy za pomoc¹ omomierza, to bêdzie on traktowany jako pomiar prosty. Gdy wartoæ oporu wyznaczamy na podstawie pomiarów napiêcia i natê¿enia pr¹du, bêdzie to pomiar z³o¿ony. 2. W celu wyznaczenia ciep³a w³aciwego cia³a nale¿y wyznaczyæ jego masê oraz okreliæ przyrost temperatury spowodowany dostarczeniem okrelonej iloci ciep³a. W tym celu nale¿y zwa¿yæ badane cia³o, zmierzyæ jego temperaturê pocz¹tkow¹ i koñcow¹ oraz okreliæ dostarczone ciep³o. Je¿eli energia jest dostarczana za pomoc¹ grzejnika elektrycznego, to nale¿y zmierzyæ napiêcie, natê¿enie pr¹du oraz czas przep³ywu pr¹du przez grzejnik, a ponadto nale¿y znaæ (lub wyznaczyæ) pojemnoæ ciepln¹ grzejnika, czyli iloæ ciep³a potrzebn¹ do ogrzania grzejnika o jeden stopieñ. Z przytoczonych przyk³adów wynika, ¿e pomiary z³o¿one mog¹ byæ bardzo skomplikowane i wymagaæ wielu pomiarów prostych i czêsto dodatkowo znajomoci sta³ych materia³owych lub sta³ych fizycznych. Wartoci x wielkoci fizycznej X s¹ wyznaczane dowiadczalnie (mówimy s¹ mierzone). Wartoæ dok³adna (rzeczywista, prawdziwa), któr¹ oznaczymy przez µ rz nie jest znana. Rodzi siê pytanie, jak obliczyæ wartoæ wielkoci zmierzonej, która bêdzie dobrym oszacowaniem wartoci dok³adnej µ rz oraz jak oszacowaæ dok³adnoæ pomiarów na podstawie skoñczonej serii pomiarów nazywanej tak¿e prób¹? Zagadnienia te stanowi¹ przedmiot analizy niepewnoci pomiarów nazywanej do niedawna rachunkiem b³êdów. Analiza niepewnoci pomiarów wymaga stosowania odpowiednich pojêæ, które zostan¹ przedstawione w rozdziale 2. Pojêcia te wprowadzimy zgodnie z zaleceniami organizacji miêdzynarodowych sformu³owanymi w przewodniku Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement [1] oraz wytycznymi G³ównego Urzêdu Miar [2] (patrz równie¿ opracowania i podrêczniki [37, 9]). 11.

(12) 2. OBLICZANIE NIEPEWNOCI POMIARÓW Wynik nawet najstaranniej wykonanego pomiaru lub obserwacji obarczony jest niepewnoci¹ odzwierciedlaj¹c¹ niedok³adnoæ wartoci wielkoci zmierzonej. Analiza niepewnoci pomiarów jest bardzo istotnym etapem ka¿dego eksperymentu zarówno w fazie jego projektowania, wykonywania jak i opracowywania uzyskanych wyników. W tym rozdziale przedstawimy podstawowe pojêcia zwi¹zane z analiz¹ niepewnoci pomiarów oraz przedstawimy najczêciej stosowane metody okrelania tych niepewnoci.. 2.1. Pojêcia podstawowe W roku 1995 uzgodniono nowe miêdzynarodowe normy [14, 6, 7] dotycz¹ce terminologii i zasad wyznaczania niepewnoci pomiarowych, których statut prawny jest taki sam, jak uregulowañ dotycz¹cych SI. Wynikiem pomiaru nazywamy wartoæ x przypisan¹ wielkoci fizycznej X uzyskan¹ drog¹ pomiaru. Niepewnoæ pomiaru jest miar¹ (zwi¹zan¹ z wynikiem pomiaru) charakteryzuj¹c¹ rozrzut wyników pomiarów. Pod tym pojêciem rozumiemy miarê niedok³adnoci, z jak¹ zmierzono dan¹ wielkoæ fizyczn¹. Innymi s³owy, niepewnoæ pomiaru oznacza ilociow¹ miarê naszej niepewnoci lub w¹tpliwoci co do wartoci wyniku pomiaru danej wielkoci fizycznej. Niepewnoæ pomiaru ma wiele przyczyn. Do najwa¿niejszych zaliczamy [6, 7]: a) Niepe³n¹ definicjê wielkoci mierzonej (okrelenie danej wielkoci fizycznej jest tymczasowe w tym sensie, ¿e mo¿e ulec zmianie wraz z rozwojem nauki). b) Niedok³adn¹ realizacjê tej definicji (przyrz¹d, miernik, wzorzec nie jest idealn¹ realizacj¹ definicji wielkoci fizycznej, np. temperaturê okrelamy jako czêæ temperatury punktu potrójnego wody, ale nie istnieje idealnie czysta woda, pozbawiona jakichkolwiek domieszek; podobnie wzorzec czasu jest cile zwi¹zany z prêdkoci¹ wiat³a, wiêc udok³adnienie pomiaru prêdkoci wiat³a wp³ynie zapewne na wzorzec czasu). c) Niereprezentatywnoæ serii wyników pomiarów (np. zbyt ma³a liczba pomiarów). d) Niedok³adn¹ znajomoæ czynników zewnêtrznych (np. wp³ywu otoczenia na przebieg pomiarów) lub ich niedok³adny pomiar.. 12.

(13) e) B³êdy pope³niane przez obserwatora podczas odczytów wskazañ przyrz¹dów analogowych. f) Skoñczon¹ zdolnoæ rozdzielcz¹ stosowanych w pomiarach przyrz¹dów. g) Niedok³adnoæ stosowanych wzorców i materia³ów odniesienia. h) Niedok³adne wartoci sta³ych lub parametrów pochodz¹cych z innych róde³. i) Przybli¿enia i za³o¿enia upraszczaj¹ce przyjête w pomiarach lub procedurze pomiarowej. j) Zmiany kolejnych wyników pomiarów wielkoci mierzonej w pozornie identycznych warunkach. Miar¹ niepewnoci mo¿e byæ np. odchylenie standardowe (patrz rozdzia³ 2.2), po³owa przedzia³u ufnoci odpowiadaj¹cego okrelonemu poziomowi ufnoci (patrz rozdzia³ 2.3.1) lub niepewnoæ wynikaj¹ca z klasy przyrz¹du pomiarowego (patrz rozdzia³ 2.3.2). Niepewnoæ pomiarów zawiera na ogó³ wiele sk³adników. Niektóre z nich wyznaczamy na podstawie statystycznej analizy wyników serii pomiarów (patrz rozdzia³ 2.2), inne obliczamy korzystaj¹c z dodatkowych informacji oraz dowiadczenia nabytego przez osobê wykonuj¹c¹ eksperymenty. Zak³adamy, ¿e wynik pomiaru stanowi najlepsze w danych warunkach eksperymentalnych oszacowanie wartoci wielkoci mierzonej, a wszystkie sk³adniki niepewnoci pomiaru wnosz¹ swój udzia³ do rozrzutu uzyskanych wyników pomiarów. Niepewnoci¹ standardow¹ nazywamy niepewnoæ wyra¿on¹ poprzez odchylenie standardowe s (patrz rozdz. 2.2). B³êdem pomiaru nazywamy ró¿nicê δ miêdzy wynikiem pomiaru x a wartoci¹ rzeczywist¹ µrz wielkoci mierzonej:. δ = x µrz.. (2.1). Z uwagi na to, ¿e wartoæ rzeczywista µrz nie jest znana dok³adnie zamiast niej stosuje siê jej ocenê uzyskan¹ na podstawie wyników pomiarów. Zak³adamy przy tym [8], ¿e wartoæ prawdziwa µrz istnieje i pozostaje sta³a podczas pomiarów, a wynik pomiaru stanowi jedynie oszacowanie mierzonej wartoci, której prawdziwa wartoæ pozostaje nieznana. W przypadku skoñczonej serii pomiarów prostych za ocenê wartoci rzeczywistej przyjmuje siê redni¹ arytmetyczn¹ x (patrz rozdz. 2.2). B³êdem przypadkowym δp∞ nazywamy ró¿nicê miêdzy wynikiem pomiaru x a wartoci¹ redni¹ z du¿ej liczby pomiarów oznaczon¹ symbolem x∞. δ p∞ = x − x∞ Niepewnoci¹ przypadkow¹ nazywamy ró¿nicê miêdzy wynikiem pomiaru x a wartoci¹ redni¹ x z serii pomiarów (próby). δp =x− x. 13.

(14) Powtarzaj¹c wielokrotnie pomiar wielkoci fizycznej uzyskujemy ró¿ne wyniki. Je¿eli wyniki pomiarów obarczone s¹ tylko b³êdami przypadkowymi, to rozk³adaj¹ siê one wokó³ wartoci rzeczywistej µrz, a ich rozrzut charakteryzuje dok³adnoæ pomiaru. Niepewnoci przypadkowe mog¹ wynikaæ z w³asnoci badanego obiektu. Przypuæmy, ¿e mierzymy wielokrotnie rednicê drutu. rednica ta mo¿e byæ ró¿na w ró¿nych miejscach, a ponadto przekrój drutu mo¿e nie byæ ko³owy. Niepewnoci przypadkowe mog¹ byæ cech¹ przyrz¹du pomiarowego, byæ wynikiem wp³ywu losowo zmieniaj¹cych siê czynników zewnêtrznych na dzia³anie przyrz¹du pomiarowego lub zachowanie siê obiektu mierzonego. Niepewnoci przypadkowe mog¹ byæ równie¿ powodowane przez eksperymentatora, np. przez ró¿nice w docisku ruby mikrometrycznej, ustawienie ruby pod pewnym k¹tem do osi drutu w przyk³adzie omawianym wczeniej. Niepewnoci przypadkowe odgrywaj¹ bardzo istotn¹ rolê w pomiarach subiektywnych, to jest w pomiarach, podczas których czujnikiem jest eksperymentator. Przyk³adami takich pomiarów s¹ pomiary czasu za pomoc¹ stopera, w których wynik jest uzale¿niony od czasu reakcji eksperymentatora, pomiary optyczne, w których nale¿y stwierdziæ jednakowe owietlenie dwóch s¹siaduj¹cych ze sob¹ obszarów (pomiary efektu Faradaya, pomiary sacharymetrem lub fotometrem), ostroæ obrazu (pomiary ogniskowych soczewek oraz pomiary mikroskopowe), ostroci plamki na ekranie oscyloskopu (pomiar stosunku e/m elektronu), jednakow¹ barwê, zanik pr¹du w metodach mostkowych i kompensacyjnych. Niepewnoci przypadkowych nie mo¿na unikn¹æ, mo¿na je jednak oszacowaæ wykorzystuj¹c metody statystyki matematycznej. B³êdem systematycznym nazywamy ró¿nicê miêdzy redni¹ x∞ z nieskoñczonej serii pomiarów wykonanych w warunkach powtarzalnoci a wartoci¹ rzeczywist¹ µrz wielkoci mierzonej ∆ = x µ . (2.4) ∞. rz. B³êdy systematyczne wynikaj¹ ze z³ej jakoci lub rozregulowania przyrz¹dów pomiarowych, niew³aciwej metody pomiaru lub wp³ywu czynników zewnêtrznych na wyniki pomiarów. Przyk³adem mo¿e byæ pomiar d³ugoci za pomoc¹ metalowej linijki lub tamy mierniczej, na któr¹ naniesiono skalê w temperaturze znacznie odbiegaj¹cej od temperatury, w której odbywa siê pomiar (linijka zmienia swoj¹ d³ugoæ pod wp³ywem zmian temperatury). Innym przyk³adem b³êdu systematycznego jest zaniedbanie si³y wyporu dzia³aj¹cej na cia³o w powietrzu podczas wa¿enia. B³êdy systematyczne, spowodowane okrelon¹ przyczyn¹, maj¹ ten sam znak. Eliminacja b³êdów systematycznych jest bardzo trudna i wymaga starannej analizy warunków pomiaru oraz doboru odpowiednich przyrz¹dów pomiarowych. B³êdy systematyczne mo¿emy zmniejszyæ wprowadzaj¹c (je¿eli jest to mo¿liwe) odpowiednie poprawki. 14.

(15) Przyk³adem niech bêdzie pomiar czasu zawodników biegn¹cych na 100 m. Niech precyzyjny stoper elektroniczny bêdzie uruchamiany za pomoc¹ czujnika akustycznego umieszczonego na linii mety. Czujnik reaguje na wystrza³ startera, który stoi obok linii startu. Zatrzymanie stopera odbywa siê za pomoc¹ fotokomórki. Czas potrzebny na to aby dwiêk dotar³ do mety wynosi oko³o 0,3 s. Czas zmierzony przez taki uk³ad pomiarowy bêdzie wiêc zani¿ony. W poprawnie zaprojektowanym uk³adzie pomiarowym czujnik akustyczny powinien byæ umieszczony obok linii startu. Czas przejcia impulsu elektrycznego (rozchodz¹cego siê z prêdkoci¹ wiat³a) od linii startu do mety jest do zaniedbania. Gdybymy jednak mierzyli prêdkoæ cz¹stki poruszaj¹cej siê z prêdkoci¹ zbli¿on¹ do prêdkoci wiat³a, to zaniedbanie czasu przejcia sygna³u elektrycznego by³oby b³êdem dyskwalifikuj¹cym uzyskany wynik. B³êdy pomiaru δ, b³êdy przypadkowe δp∞ oraz b³êdy systematyczne ∆ spe³niaj¹ nastêpuj¹c¹ relacjê: δ = x µ = x x + x µ = δ + ∆ (2.5) rz. ∞. ∞. rz. p∞. Z relacji x = µrz + ∆ + δp∞ wynika, ¿e rezultaty pomiarów obarczonych b³êdem systematycznym ∆ rozk³adaj¹ siê wokó³ wartoci przesuniêtej o ∆ wzglêdem wartoci rzeczywistej. Krzywa a na rys. 2.1 przedstawia gêstoæ prawdopodobieñstwa (patrz rozdzia³y 2.2.3 i 2.2.4) wyników pomiarów obarczonych tylko b³êdami (niepewnociami) przypadkowymi. Funkcja ta osi¹ga maksimum dla wartoci x = µrz. Krzywa b przedstawia funkcjê rozk³adu wyników obarczonych b³êdem systematycznym ∆ oraz niepewnociami przypadkowymi. W praktyce laboratoryjnej spotykamy czasami b³êdy grube, które powstaj¹ zazwyczaj wskutek pomy³ki eksperymentatora. Poni¿ej omówimy kilka przyk³adów b³êdów grubych.. Przyk³ady. Rys. 2.1. Krzywe rozk³adu wyników pomiarów: a obarczonych tylko niepewnociami przypadkowymi, b niepewnociami przypadkowymi oraz b³êdem systematycznym ∆, µrz rzeczywista wartoæ wielkoci mierzonej. Mierz¹c rednicê drutu rub¹ mikrometryczn¹ uzyskano wynik 2,34 mm, a zanotowano 2,34 m; podczas pomiaru wielkoci z³o¿onej korzystano z kilku mierników i zamiast wskazañ amperomierza zanotowano odczyt ze stopera (takie pomy³ki te¿ siê zdarzaj¹). B³êdy grube mog¹ byæ spowodowane równie¿ zastosowaniem nieodpowiedniej metody pomiarowej. Wyobramy sobie pomiar rednicy nitki wykona15.

(16) nej z we³ny za pomoc¹ ruby mikrometrycznej. Przyrz¹d pomiarowy, którym dysponujemy, jest bardzo dok³adny, odczyt jest prawid³owy, a uzyskane wyniki s¹ bezwartociowe! Zabawn¹ ilustracj¹ b³êdu grubego jest Ballada o pó³nocy pióra Andrzeja Waligórskiego, któr¹ zamieszczamy dziêki ¿yczliwoci i za zgod¹ ¿ony autora.. Ballada o pó³nocy Andrzej Waligórski Pradawnym czasom ho³d i czeæ, Tyle w nich krzepkiej mocy! Mia³ porwaæ dziewkê Dreptakkne W godzinê po pó³nocy. Wiêc ubra³ siê w ¿elazny z³om I siad³ w kozackie czó³no I na zegarek spojrza³ on, A ten wskazywa³ pó³noc! Zepchnêli ³ód na rw¹cy pr¹d Kneziowi dwa wasale I oto kne opuci³ l¹d I puci³ siê na fale. I dzielnie z nurtem walczy³ chwat, A¿ dnem o piasek szurn¹³, i spojrza³ znów na cyferblat, A tam znów by³a pó³noc... Lecz oto zar¿a³ w krzakach koñ Ukryty tam przemylnie Kne skoczy³, chwyci³ cugle w d³oñ I cwa³em jak nie prynie!. I pêdzi³ tak przez d³u¿szy czas, Bo drogê mia³ okóln¹, A kiedy wreszcie z konia zlaz³ Zegar wskazywa³ pó³noc... Gdy za u zamku stan¹³ bram, By porwaæ sw¹ dzierlatkê, Nie zasta³ wcale panny tam, Tylko niedu¿¹ kartkê: Przemarz³am i chce mi siê jeæ, Znajd sobie inn¹ durn¹ Panie spónialski! Buka, czeæ! Kne spojrza³ znowu pó³noc. Zarycza³ Dreptak niczym lew Lub jak armatni wystrza³ I pomkn¹³ tam, gdzie widnia³ sklep Starego zegarmistrza. I wszed³ i stan¹³ chrobry m¹¿ I poród ³ez wyj¹ka³: Dlaczego u mnie pó³noc wci¹¿? Bo to rzek³ mistrz jest kompas.... Jeli przytrafi siê pope³niæ b³êdy grube, zazwyczaj ³atwo jest je zauwa¿yæ. Uwzglêdnienie wyniku pomiaru obarczonego b³êdem grubym prowadzi do absurdalnych, a przez to ³atwo zauwa¿alnych wyników. Rezultaty pomiarów obarczonych b³êdami grubymi nale¿y odrzuciæ, a pomiary powtórzyæ. Jak ju¿ wspomniano, g³ównymi celami analizy niepewnoci pomiarów s¹: okrelenie najlepszej w danych warunkach eksperymentalnych oceny wartoci rzeczywistej oraz obliczenie niepewnoci pomiarów. Zadania te realizujemy: Za pomoc¹ statystycznej analizy serii wyników pomiarów; ten sposób nosi w literaturze ród³owej [14, 6, 7, 914] nazwê oceny niepewnoci metod¹ A. 16.

(17) Wykorzystuj¹c dodatkowe niestatystyczne informacje np. wielkoæ dzia³ki elementarnej przyrz¹du lub klasê przyrz¹du; ten sposób nosi w literaturze przedmiotu [14, 69]) nazwê oceny niepewnoci metod¹ B. Statystyczne szacowanie niepewnoci pomiarów oparte jest na metodach rachunku prawdopodobieñstwa oraz statystyki matematycznej [5]. Ten sposób szacowania jest powszechnie wykorzystywany w laboratorium studenckim dlatego zostanie omówiony w dalszej czêci podrêcznika. W drugiej metodzie wykorzystuje siê wszelkie dostêpne informacje o czynnikach wp³ywaj¹cych na niepewnoci pomiarów np. dane z poprzednich pomiarów, posiadane dowiadczenie, znajomoæ zjawisk towarzysz¹cych pomiarowi, w³asnoci przyrz¹dów pomiarowych i badanych materia³ów lub obiektów, informacje podane przez producenta itd. Ten sposób szacowania niepewnoci jest trudniejszy i wymaga znacznego dowiadczenia, z tego wzglêdu nie jest stosowany w laboratorium studenckim. Zainteresowanym niestatystycznymi metodami szacowania niepewnoci pomiarów polecamy pozycje [18]) podane w spisie literatury.. 2.2. Statystyczna analiza wyników i niepewnoæ pomiarów Obecnie udzielimy odpowiedzi na postawione wczeniej pytania: Jak wyznaczyæ wartoæ wielkoci zmierzonej, która jest dobrym oszacowaniem wartoci dok³adnej µrz? Jak oszacowaæ dok³adnoæ pomiarów na podstawie skoñczonej serii pomiarów? W statystycznej metodzie oceny niepewnoci pomiarowych zak³ada siê, ¿e mierzona wielkoæ X jest zmienn¹ losow¹, a wyniki {x1, ..., xn} jej n-krotnego pomiaru traktuje siê jako n-elementow¹, skoñczon¹ próbê (skoñczon¹ seriê) z nieskoñczonej serii pomiarów, któr¹ tworz¹ wszystkie mo¿liwe do otrzymania wyniki pomiarów. Do tak zdefiniowanej skoñczonej próby stosuje siê metody rachunku prawdopodobieñstwa i statystyki matematycznej [15]. Przyjêcie takiego za³o¿enia oznacza, ¿e wielkoæ fizyczna X przyjmuje ka¿d¹ ze zmierzonych wartoci {x1, ..., xn} z prawdopodobieñstwami odpowiednio p1, ..., pn. Przypadek, gdy wielkoæ fizyczna X ma ci¹g³y zbiór wartoci jest nieco trudniejszy i bêdzie omówiony w rozdzia³ach 2.2.32.2.11.. 2.2.1. rednia arytmetyczna, wariancja i odchylenie standardowe z próby Przypuæmy, ¿e n-krotnie powtórzylimy pewien pomiar (w jednakowych stabilnych warunkach) i otrzymalimy seriê rezultatówów, które oznaczymy symbolami x1, ..., xn i nazwiemy prób¹. Bêdziemy zajmowaæ siê tylko takimi pomiarami, których wyniki nie s¹ identyczne. Ich nieidentycznoæ mo¿e mieæ wielorakie przyczyny niedoskona³oæ przyrz¹du pomiarowego, losowo zmieniaj¹ce siê czynniki zewnêtrzne 17.

(18) dzia³aj¹ce na przyrz¹d, niestabilnoæ uk³adu (inne przyczyny s¹ wymienione w poprzednim rozdziale). Podczas pomiarów, w których czujnikiem jest eksperymentator, jedn¹ z przyczyn otrzymania ró¿nych wyników mo¿e byæ zmienny czas reakcji lub subiektywne odczucie eksperymentatora. Podane tutaj przyczyny uzasadniaj¹ przyjêcie przez nas za³o¿enia o tym, ¿e mierzona wielkoæ fizyczna jest zmienn¹ losow¹. Wielkoæ rozrzutu wyników pomiarów wokó³ rzeczywistej wartoci mierzonej zale¿y od sposobu ich wykonania. Im dok³adniejszy jest przyrz¹d pomiarowy i im wiêcej czynników wp³ywaj¹cych na wyniki pomiaru bêdzie kontrolowaæ eksperymentator, tym mniej bêd¹ siê one ró¿niæ miêdzy sob¹. Do opisu zbioru wyników pomiarów u¿ywa siê nastêpuj¹cych charakterystyk liczbowych (zwanych tak¿e wskanikami): redniej arytmetycznej. x=. x1 + x2 + ... + xn 1 n = ∑ xi , n n i =1. (2.6). wokó³ której le¿¹ wyniki pojedynczych pomiarów, wariancji (dok³adniej wariancji z próby). s x2 =. 1 1 n [( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2 ] = ∑ ( xi − x ) 2 , n −1 n − 1 i =1. (2.7). która jest miar¹ (jedn¹ z wielu) niepewnoci pomiaru (rozrzutu) pojedynczych pomiarów wokó³ redniej arytmetycznej x, odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru (dok³adniej odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru z próby). sx =. 1 n ∑ ( xi − x ) 2 . n − 1 n=1. (2.8). Poza wymienionymi tutaj wskanikami u¿ywa siê jeszcze wiele innych, np. medianê, kwartyle, skonoæ i kurtozê (zosta³y one przedstawione w podrêczniku [5]). Miarami niepewnoci redniej arytmetycznej x s¹ nastêpuj¹ce ilorazy:. s x2 =. n s x2 1 = ( xi − x ) 2 ∑ n n( n − 1) i =1. (2.9). oraz. sx =. 18. sx n. =. n 1 ∑ ( xi − x ) 2 . n(n − 1) i =1. (2.10).

(19) Liczbê s x2 nazywamy wariancj¹ (z próby), a liczbê s x odchyleniem standardowym (z próby) redniej arytmetycznej x. Aby obliczyæ podane wskaniki charakteryzuj¹ce wyniki pomiarów, pos³ugujemy siê kalkulatorami lub komputerem. Prawie wszystkie kalkulatory obliczaj¹ sumy ∑ xi i sumy kwadratów ∑ xi2 , a maj¹c te wielkoci, mo¿emy obliczyæ wariancjê s x2 w prosty sposób z nastêpuj¹cego wzoru: 2   n     ∑ xi   1  n 2  i =1   s x2 = ∑ x i − . n − 1  i =1 n     . (2.11). Przyk³ad 1 Zmierzono 10 razy rednicê drutu. Wyniki pomiarów zestawione s¹ w drugiej kolumnie tabeli 2.1. Nale¿y obliczyæ redni¹ arytmetyczn¹ x, wariancjê sx2, odchylenie standardowe sx oraz odchylenie standardowe s x redniej arytmetyczej x. Jeli dysponujemy kalkulatorem obliczamy najpierw sumê 1,78 + 1,82 + ... + 1,78 = 17,99 oraz sumê kwadratów 1,782 + 1,822 + ... + 1,782 = 32,3657 (patrz tabela 2.1). redni¹ arytmetyczn¹ obliczamy wed³ug wzoru (2.6). x=. 17,99 mm = 1,799 mm, 10 Tabela 2.1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. xi [mm]. x i2. [mm2]. 1,78 1,82 1,80 1,81 1,79 1,79 1,81 1,80 1,81 1,78. 3,1684 3,3124 3,2400 3,2761 3,2041 3,2041 3,2761 3,2400 3,2761 3,1684. 17,99. 32,3657. 19.

(20) wariancjê wed³ug wzoru (2.11). 1 (17,99 mm ) 2  −4 2 s x2 = 32,3657 mm 2 −  = 1,878 ⋅ 10 mm . 9  10  Odchylenie standardowe (oznaczone liczb¹ sx) jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji:. s x = 1,878 ⋅ 10 − 4 mm 2 a odchylenie standardowe s x redniej x jest równe odchyleniu standardowemu sx podzielonemu przez 10. sx =. 1,370 ⋅ 10 −2 mm sx = = 0,433 ⋅ 10 − 2 mm . 10 10. 2.2.2. Wspó³czynnik korelacji (z próby) Jeli równoczenie mierzymy dwie wielkoci fizyczne X i Y, to wyniki pomiarów zapisujemy w postaci par (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn). Do opisu takiej próby u¿ywa siê, poza rednimi arytmetycznymi x i y, wariancjami sx2 i sy2 oraz odchyleniami standardowymi sx i sy obu mierzonych wielkoci z osobna, wskanika okrelonego wzorem n. rx , y =. ∑ ( xi − x )( y i − y ) i =1. n. n. ∑ ( xi − x ) ∑ ( yi − y ) 2. i =1. 2. .. (2.12). i =1. Jeli wprowadzimy oznaczenie. s x, y =. 1 n ∑ ( xi − x )( yi − y ) , n − 1 i =1. (2.13). to otrzymujemy bardziej zwart¹ postaæ tego wzoru. rx , y =. s x, y sxsy. .. (2.14). Aby obliczyæ wyra¿enie sx,y wystêpuj¹ce w liczniku, nale¿y skorzystaæ ze wzoru 20.

(21) s x, y. n n   n x yi ∑ ∑ i 1  n i =1 i =1 = ∑ xi yi − n − 1  i =1 n   .    .   . (2.15). W celu obliczenia sx i sy nale¿y pos³u¿yæ siê wzorem (2.11). Wspó³czynnik korelacji (lub korelacja z próby), charakteryzuje liniow¹ zale¿noæ pomiêdzy wynikami dwu równoczenie wykonanych pomiarów. Zauwa¿my, ¿e rx,y = ry,x oraz ¿e rx,x = 1. Mo¿na te¿ udowodniæ, ¿e wartoci tego wspó³czynnika zawarte s¹ w przedziale [1, +1]. Jeli przyjmuje on wartoæ 1, to wszystkie punkty (xi, yi) le¿¹ na prostej tworz¹cej k¹t ostry z osi¹ OX, a jeli 1, to k¹t rozwarty. Ma³e wartoci wskazuj¹ na to, ¿e nie ma zwi¹zku pomiêdzy mierzonymi wielkociami. Jeli wykonujemy równoczenie wiêcej ni¿ dwa pomiary, to mo¿emy obliczyæ wspó³czynniki korelacji dla ka¿dej pary. Przyk³ad 2 W tabeli 2.2 podane s¹ wyniki piêciokrotnych równoczesnych pomiarów napiêcia V [V] i natê¿enia pr¹du I [mA] oraz k¹ta ϕ [rad]. Tabela 2.2 i. V [V]. I [mA]. ϕ [rad]. 1 2 3 4 5. 5,0 4,9 5,0 4,9 4,8. 1,6 1,4 1,7 1,5 1,6. 1,045 1,043 1,046 1,042 1,045. Mo¿emy obliczyæ 3 wspó³czynniki korelacji: rV,I, rV,φ oraz rI,φ. Znaczne uproszczenie w rachunkach uzyskujemy, gdy wyniki obliczeñ pomocniczych zapiszemy w odpowiedniej tabeli dla pierwszego jak w tabeli 2.3. Na podstawie wzorów (2.8) i (2.15) otrzymujemy sV2 =. s I2. 1 24,6 2  2  = 0,0070 V 121,06 − 4  5  2. 1 7,8  = 12,22 − = 0,0130 mA 2 4 5  21.

(22) Tabela 2.3 V. I. V2. I2. VI. 5,0 4,9 5,0 4,9 4,8. 1,6 1,4 1,7 1,5 1,6. 25,00 24,01 25,00 24,01 23,04. 2,56 1,96 2,89 2,25 2,56. 8,00 6,80 8,50 7,35 7,68. 24,6. 7,8. 121,06. 12,22. 38,39. oraz. sV , I =. 1 24,6 ⋅ 7,8  38,39 −   = 0,0035 V ⋅ mA . 4 5 . Po podstawieniu obliczonych wielkoci do wzoru (2.14), znajdujemy. rV , I =. sV , I sV sI. =. 0,0035 V ⋅ mA = 0,3669 . 0,0837 V ⋅ 0,1140 mA. Podobnie obliczamy pozosta³e dwa wspó³czynniki korelacji rV,φ = 0,3273 oraz rI,φ = 0,8540. Zapisane w postaci macierzy. rV ,V   rI ,V  rφ ,V . rV , I rI , I rφ , I. 0,37 0,33 rV ,φ   1   1 0,85 rI ,φ  = 0,37 1  rφ ,φ  0,33 0,85. tworz¹ one tzw. macierz korelacji (z próby). Wszystkie omówione tutaj wielkoci rednia arytmetyczna, wariancja, odchylenie standardowe i korelacja (z próby) maj¹ pewn¹ wa¿n¹ w³asnoæ, mianowicie, stabilizuj¹1 siê wokó³ pewnych liczb, gdy liczba wykonanych pomiarów, na podstawie których je obliczono, ronie. W tabeli 2.4 podano rednie arytmetyczne, odchyTabela 2.4 n x. 1U¿yte. 22. 10 3,7138. 20 3,7149. 100. 200. 3,7173. 3,7173. sx. (×105). 10,084. 10,791. 9,167. 8,953. sx. (×105). 3,189. 2,413. 0,917. 0,633. tutaj stwierdzenie stabilizuj¹ siê nale¿y rozumieæ w sensie zmierzaj¹ do, d¹¿¹ do..

(23) lenia standardowe oraz odchylenia standardowe redniej dla n = 10, 20, 100 i 200 pomiarów tej samej wielkoci fizycznej wykonanych w stabilnych warunkach. Zwiêkszenie liczby pomiarów powinno tylko nieznacznie zmieniæ wartoæ redniej arytmetycznej x i odchylenia standarowego sx obliczonych na podstawie n = 200 pomiarów. Natomiast odchylenie standardowe redniej sx bêdzie zbli¿aæ siê do zera wraz ze wzrostem wielkoci próby.. 2.2.3. Histogramy Jeli wyników pomiarów w próbie wielkoci X jest wiele, wygodnie jest je pogrupowaæ. W tym celu wyznaczamy najpierw najmniejsz¹ xmin oraz najwiêksz¹ xmax wartoæ zmierzon¹, które okrelaj¹ przedzia³ ⟨ x min , x max ⟩ , w którym le¿¹ wszystkie pozosta³e wyniki pomiarów. Nastêpnie dzielimy przedzia³ ⟨ x min , x max ⟩ na k > 1 podprzedzia³ów (zazwyczaj o jednakowej d³ugoci) i znajdujemy liczby pomiarów nale¿¹cych do poszczególnych podprzedzia³ów. Liczbê k dobiera siê tak, aby w ka¿dym przedziale zawiera³o siê kilkanacie pomiarów. Uzyskane wyniki przyjêto przedstawiaæ w tabeli (patrz tabela 2.5). Przyk³ad 3 W jednakowych warunkach zmierzono 200 razy czas opadania ciê¿arka, przy ustalonym momencie bezw³adnoci, krzy¿a Oberbecka. Uzyskane wyniki pomiarów (przedstawione w ca³oci w tabelach 20 i 21) pogrupowane w k = 11 klasach (podprzedzia³ach) przedstawione s¹ w tabeli 2.5. Liczby zawarte w trzeciej kolumnie, nazywane zaobserwowanymi czêstociami tworz¹ tzw. szereg rozdzielczy, a w czwartej kolumnie skumulowany szereg rozdzielczy. Tabela 2.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. Górne granice klas. Czêstoci zaobserwowane. Czêstoci skumulowane. 3,695 3,700 3,705 3,710 3,715 3,720 3,725 3,730 3,735 3,740 +∞. 1 6 12 29 36 42 37 23 8 5 1. 1 7 19 48 84 128 163 186 194 199 200. 23.

(24) Zazwyczaj czêstoci te przedstawia siê graficznie w postaci histogramów (zwanych histogramami empirycznymi. Histogram czêstoci zaobserwowanych skonstruowany jest w ten sposób, ¿e nad ka¿dym przedzia³em wykrelamy prostok¹t o wysokoci równej liczbie zawartych w nim obserwacji. Histogram czêstoci skumulowanych ró¿ni siê od poprzedniego tylko tym, ¿e wysokoci prostok¹tów s¹ równe skumulowanym czêstociom. Rysunek 2.2 przedstawia histogram, a rys. 2.3 skumulowany histogram danych z tabeli 2.5.. granice klas. Rys. 2.2. Histogram danych zawartych w tabeli 2.5. granice klas. Rys. 2.3. Skumulowany histogram danych zawartych w tabeli 2.5 24.

(25) 2.2.4. Gêstoæ rozk³adu prawdopodobieñstwa Histogramy maj¹ podobn¹ w³asnoæ jak rednie arytmetyczne i wariancje z próby. Stabilizuj¹ siê, jeli liczba pomiarów wzrasta2. Ponadto, jeli liczba ró¿nych pod wzglêdem wartoci pomiarów ronie, to mo¿emy zwiêkszaæ liczbê przedzia³ów, na które dzielimy przedzia³ zawieraj¹cy wszystkie obserwacje, a w konsekwencji otrzymywaæ coraz g³adszy histogram. Funkcjê, do której zbli¿a siê histogram zaobserwowanych czêstoci (unormowany tak, aby suma pól wszystkich prostok¹tów by³a równa 1), nazywamy gêstoci¹ prawdopodobieñstwa. Gêstoci¹ mo¿e byæ ka¿da funkcja f(x) okrelona na zbiorze liczb rzeczywistych R, która spe³nia nastêpuj¹ce dwa warunki: 1. f(x) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ R. +∞. 2.. ∫ f ( x)dx = 1.. (2.16). −∞. Jeli wynik pomiaru mierzonej wielkoci podlega rozk³adowi o gêstoci f(x), to prawdopodobieñstwo tego, ¿e bêdzie on zawarty w przedziale (a,b) wyra¿a siê ca³k¹ b. P(( a, b)) = ∫ f ( x)dx .. (2.17). a. Geometrycznie prawdopodobieñstwo P((a, b)) przedstawia pole obszaru nad przedzia³em (a, b) pod wykresem funkcji f(x). Jeli x reprezentuje wynik pomiaru jaki uzyska eksperymentator, gdy wykona pomiar, to zamiast symbolu P((a,b)), oznaczaj¹cego prawdopodobieñstwo, ¿e znajdzie siê on w przedziale (a,b), bêdziemy pisaæ P(a < x < b). Wzór (2.17) przyjmuje wówczas postaæ b. P( a < x < b) = ∫ f ( x′)dx′. a. (2.18). Interpretacja czêstociowa prawdopodobieñstwa P(a < x < b) jest nastêpuj¹ca: Jeli wyniki pomiaru mierzonej wielkoci podlegaj¹ rozk³adowi o gêstoci f(x) i jeli wykonamy seriê n niezale¿nych pomiarów, to oczekujemy, ¿e w przybli¿eniu P(a < X < b)·100% wyników pomiarów wpadnie do przedzia³u (a,b). Liczbê nP(a < X < b) nazywamy oczekiwan¹ liczb¹ obserwacji w przedziale (a,b) w próbie o liczebnoci n. 2Ponownie. u¿yty zwrot stabilizuj¹ siê oznacza, ¿e przy wzrocie liczby n pomiarów d¹¿¹ one do granicznej funkcji zwanej gêstoci¹ prawdopodobieñstwa. 25.

(26) W bardzo wielu sytuacjach, jako gêstoæ prawdopodobieñstwa mo¿na przyj¹æ funkcjê Gaussa (zale¿n¹ od dwóch parametrów µ ∈ R i σ ∈ R+) okrelon¹ dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem. 1. 1  exp − (x − µ )2  . (2.19) 2  2σ σ 2π  Mo¿na pokazaæ, ¿e spe³nia ona warunki (2.16) dla podanych wartoci paramef ( x) =. trów µ i σ. Maksimum, wynosz¹ce 1 (σ 2π ) , osi¹ga w punkcie x = µ; jest symetryczna wzglêdem prostej x = µ, tzn. f(µ ∆x) = f(µ + ∆x). (2.20). dla wszystkich ∆x > 0. Jeli gêstoæ prawdopodobieñstwa ma postaæ (2.19), to mówimy o rozk³adzie normalnym. Oznacza siê go symbolem N(µ,σ2). Rysunek 2.4 przedstawia wykres gêstoci prawdopodobieñstwa rozk³adu normalnego N(10,1). Zakrelone pole przedstawia prawdopodobieñstwo pojawienia siê wyniku obserwacji w przedziale (8,9).. Rys. 2.4. Gêstoæ rozk³adu normalnego N(10, 1). Czêsto odpowiednim rozk³adem prawdopodobieñstwa jest te¿ rozk³ad o gêstoci postaci. λ exp( −λx), gdy x > 0, f ( x) =  (2.21) 0, gdy x ≤ 0,  gdzie λ > 0 jest parametrem rozk³adu. Rozk³ad ten nazywamy rozk³adem wyk³adniczym i oznaczamy go symbolem E(λ). Rysunek 2.5 przedstawia wykres gêstoci prawdopodobieñstwa rozk³adu wyk³adniczego E(2). Zakrelone pole przedstawia prawdopodobieñstwo pojawienia siê obserwacji w przedziale (0,5, 1). 26.

(27) Rys. 2.5. Gêstoæ rozk³adu wyk³adniczego E(2). 2.2.5. Wykres normalny Rozk³ad normalny jest czêsto bardzo dogodnym opisem wyników pomiarów. W zwi¹zku z tym opracowano wiele metod, które wskazuj¹, czy za³o¿enie o normalnoci mo¿emy przyj¹æ. Jedn¹ z nich jest metoda graficzna, polegaj¹ca na skonstruowaniu tzw. wykresu normalnego. Tworz¹ go punkty o wspó³rzêdnych.   3i − 1    x (i ) , Φ −1    , (2.22)  3n + 1    gdzie n jest wielkoci¹ próby, a x(i) jest i-t¹ co do wielkoci obserwacj¹ w próbie. Symbol Φ 1 oznacza funkcjê odwrotn¹ wzglêdem funkcji Φ( x ) =. 1. x.  1. ∫ exp− 2 t. 2π − ∞. 2. dt , . x ∈ R.. (2.23). Jeli naniesione punkty nie uk³adaj¹ siê wzd³u¿ prostej, to przyjêcie za³o¿enia o normalnoci rozk³adu nie jest wskazane. Przyk³ad 4 Na rysunku 2.6 podano wykres normalny punktów o wspó³rzêdnych (2.22) dla 20 pierwszych wyników pomiarów czasu opadania ciê¿arka krzy¿a Oberbecka zamieszczonych w tabelach 20 i 21. Wypisano je, po uporz¹dkowaniu wed³ug wielkoci, w drugiej kolumnie w tabeli 2.6. Poniewa¿ otrzymane punkty uk³adaj¹ siê wzd³u¿ prostej, za³o¿enie o normalnoci nie powinno budziæ w tym przypadku w¹tpliwoci. 27.

(28) Rys. 2.6. Wykres normalny pomiarów x(i) zamieszczonych w tabeli 2.6 Tabela 2.6. 28. i. x(i).  3i − 1  Φ −1   61 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20. 3,696 3,701 3,707 3,709 3,709 3,712 3,714 3,714 3,717 3,717 3,719 3,719 3,719 3,721 3,721 3,723 3,723 3,725 3,730 3,733. 1,841 1,392 1,121 0,914 0,740 0,587 0,446 0,313 0,186 0,062 0,062 0,186 0,313 0,446 0,587 0,740 0,914 1,121 1,392 1,841.

(29) Warto pamiêtaæ o tym, ¿e rozk³ad normalny stanowi tylko przybli¿enie rozk³adów, jakim podlegaj¹ wyniki pomiarów. Trudno na przyk³ad wyobraziæ sobie, aby wynik pomiaru odleg³oci by³ ujemny, gdy tymczasem konsekwencj¹ ka¿dego rozk³adu normalnego jest dodatnie prawdopodobieñstwo pojawienia siê wyniku pomiaru z przedzia³u (∞, 0). Prawdopodobieñstwo to jest jednak¿e zazwyczaj tak ma³e, ¿e mo¿na je zignorowaæ.. 2.2.6. Wartoæ rednia i wariancja Jeli unormowany histogram pomiarów stabilizuje siê wokó³ gêstoci prawdopodobieñstwa f(x), to: rednia arytmetyczna x tych pomiarów stabilizuje siê wokó³ liczby okrelonej przez ca³kê. µ=. +∞. ∫ x′f ( x′)dx′,. (2.24). −∞. zwan¹ wartoci¹ redni¹, wariancja (z próby) s2 stabilizuje siê wokó³ liczby okrelonej przez ca³kê +∞. σ 2 = ∫ ( x′ − µ ) 2 f ( x′)dx′, −∞. (2.25). zwan¹ wariancj¹, odchylenie standardowe (z próby) s stabilizuje siê wokó³ pierwiastka kwadratowego z wariancji σ, zwanego odchyleniem standardowym. Zak³adamy, ¿e obie ca³ki (2.24) i (2.25) istniej¹. Za ocenê wartoci redniej µ mo¿emy wiêc przyj¹æ redni¹ arytmetyczn¹ x, za ocenê wariancji σ 2, wariancjê (z próby) s2, a za ocenê odchylenia standardowego σ, odchylenie standardowe (z próby) s. Im wiêksza bêdzie liczba pomiarów, tym dok³adniejsze bêd¹ te oceny. Wynika to z podanych w³asnoci wartoci redniej i wariancji. Jeli obliczymy ca³ki (2.24) i (2.25) dla gêstoci rozk³adu normalnego N(µ,σ 2), to oka¿e siê, ¿e wartoci¹ redni¹ tego rozk³adu jest parametr µ, a wariancj¹ parametr σ 2 (t³umaczy to u¿yte oznaczenia). Natomiast wartoæ rednia i wariancja w rozk³adzie wyk³adniczym E(λ) s¹ odpowiednio równe µ = 1/λ i σ 2 = 1/λ2.. 2.2.7. Dystrybuanta rozk³adu prawdopodobieñstwa Jeli za³o¿ymy, ze wynik pomiaru mierzonej wielkoci podlega rozk³adowi normalnemu, mo¿emy obliczyæ wielkoci przydatne do charakteryzowania niepewnoci otrzymanego wyniku pomiaru. Potrzebne bêd¹ do tego pewne nowe pojêcia i wzory, z którymi siê teraz zapoznamy. 29.

(30) Funkcjê rzeczywist¹ okrelon¹ dla ka¿dego x ∈ R wzorem. F ( x) =. x. ∫ f (t )dt ,. (2.26). −∞. gdzie f(x) jest gêstoci¹ prawdopodobieñstwa, nazywamy dystrybuant¹. Z w³asnoci (2.16) gêstoci prawdopodobieñstwa wynika, ¿e 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. F(x) jest funkcj¹ niemalej¹c¹. 3. F(∞) = 0, F(+∞) = 1.. (2.27). Wartoci¹ dystrybuanty F(x) w punkcie x ∈ R jest prawdopodobieñstwo otrzymania wyniku pomiaru nale¿¹cego do przedzia³u (∞, x). Prawdopodobieñstwo, ¿e wynik pomiaru x znajdzie siê w przedziale (a, b), mo¿emy za pomoc¹ dystrybuanty zapisaæ w nastêpuj¹cej postaci P(a < x < b) = F(b) F(a).. (2.28). Jeli histogram zaobserwowanych czêstoci stabilizuje siê po unormowaniu wokó³ gêstoci prawdopodobieñstwa f(x), to histogram skumulowanych czêstoci stabilizuje siê wokó³ dystrybuanty F(x) okrelonej wzorem (2.26). Dystrybuanta rozk³adu normalnego N(µ,σ2) wyra¿a siê wzorem. F ( x) =. 1. σ 2π. x. . 1. ∫ exp − 2σ 2 (t − µ ). −∞. 2. dt , . (2.29). a dystrybuanta rozk³adu wyk³adniczego wzorem. 0, gdy x ≤ 0 ,  F ( x) =  1 − exp( −λx), gdy x > 0.. (2.30). Wykres dystrybuanty rozk³adu normalnego N(10, 1) przedstawiono na rys. 2.7, a rozk³adu wyk³adniczego E(2) na rys. 2.8.. 2.2.8. Standaryzowany rozk³ad normalny Rozk³ad normalny z parametrem µ = 0 oraz parametrem σ = 1, czyli rozk³ad N(0, 1), nazywamy standaryzowanym rozk³adem normalnym. Gêstoæ standaryzowanego rozk³adu normalnego (oznaczana symbolem φ(x)) ma postaæ.  1  exp − x 2  2π  2  a dystrybuanta (oznaczana symbolem Φ(x)) postaæ. φ ( x) =. 30. 1. (2.31).

(31) Rys. 2.7. Dystrybuanta rozk³adu normalnego N(10, 1). Rys. 2.8. Dystrybuanta rozk³adu wyk³adniczego E(2). Φ ( x) =. 1 2π. x.  1. ∫ exp− 2 t. −∞. 2. dt . (2.32). Z symetrii wynika, ¿e Φ(x) + Φ(x) = 1, a st¹d. Φ(x) = 1 Φ(x).. (2.33) 31.

(32) Jeli wyniki x pomiaru X podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu N(µ,σ 2), to unormowane wyniki pomiaru. x−µ (2.34) σ podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu N(0,1). Jeli F(x) jest dystrybuant¹ dowolnego rozk³adu normalnego N(µ,σ 2), to ³atwo pokazaæ, ¿e z=. x−µ F ( x) = Φ  . (2.35)  σ  Jeli dysponujemy algorytmem obliczaj¹cym wartoci dystrybuanty standaryzowanego rozk³adu normalnego lub tablicami jej wartoci, to korzystaj¹c ze wzoru (2.35) mo¿emy w prosty sposób obliczyæ wartoci dystrybuanty dowolnego rozk³adu normalnego. Wartoci dystrybuanty standaryzowanego rozk³adu normalnego podane s¹ w tabeli 2 dodatku. Przyk³ad 5 (cd. przyk³adu 3) W przyk³adzie 3 zosta³ skonstruowany histogram i skumulowany histogram 200 wyników pomiarów pogrupowanych w 11 klasach (tabela 2.5). Otrzymany histogram (rys. 2.2) sugeruje, ¿e wyniki pomiarów mog¹ podlegaæ rozk³adowi normalnemu. Aby znaleæ najlepiej dopasowan¹ do niego gêstoæ rozk³adu normalnego, za ocenê watoci redniej µ przyjmujemy redni¹ arytmetyczn¹ x = 3,717 (dok³adniejsza wartoæ x = 3,717395), a za ocenê odchylenia standardowego σ odchylenie standardowe (z próby) s = 0,009111. Wykres gêstoci normalnej z takimi parametrami zosta³ na³o¿ony na histogram, a wykres dystrybuanty, te¿ z takimi parametrami, na skumulowany histogram (patrz rys. 2.9 i rys. 2.10). Aby przekonaæ siê, jak dobrze rozk³ad normalny z wartoci¹ redni¹ x = 3,717 i odchyleniem standardowym s = 0,009111 pasuje do wyników pomiarów, powinno siê te¿ obliczyæ odpowiednie oczekiwane czêstoci dla ka¿dej z 11 dobranych klas. Oczekiwan¹ liczbê obserwacji w dowolnym przedziale (a,b] obliczamy wed³ug wzoru.   b − 3,717   a − 3,717  200P ((a, b)) = 200Φ   − Φ   .  0,009111    0,009111  Na przyk³ad, jeli a = 3,720 oraz b = 3,725, to.   3,725 − 3,717   3,720 − 3,717   − Φ   = 200[Φ (0,835) − Φ (0, 26)] 200Φ   0,009111    0,009111  = 200[0,798 − 0,613] = 200 ⋅ 0,186 = 37,105. 32.

(33) jest oczekiwan¹ liczb¹ pomiarów w przedziale (3,720, 3,725]. Oczekiwane czêstoci i oczekiwane skumulowane czêstoci zapisano w dwóch ostatnich kolumnach w tabeli 2.7. Zarówno wykres normalny przedstawiony na rys. 2.6 jak i tabela 2.7 wskazuj¹ na to, ¿e wyniki pomiarów czasu opadania ciê¿arka krzy¿a Oberbecka podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu. Tabela 2.7 Czêstoæ zaobserwowana. 3,695 3,700 3,705 3,710 3,715 3,720 3,725 3,730 3,735 3,740 +∞. 1 6 12 29 36 42 37 23 8 5 1. Czêstoæ Czêstoæ Czêstoæ skumulowana oczekiwana skumulowana zaobserwowana oczekiwana 1 7 19 48 84 126 163 186 194 199 200. 1,40 4,23 11,75 24,33 37,57 43,24 37,11 23,74 11,32 4,02 1,31. 1,40 5,62 17,37 41,70 79,27 122,51 159,61 183,35 194,67 198,69 200,00. liczba obserwacji. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. Górna granica klasy. górne granice klas. Rys. 2.9. Histogram danych z tabeli 2.5 wraz z gêstoci¹ dopasowania rozk³adu normalnego 33.

(34) liczba obserwacji. górne granice klas. Rys. 2.10. Skumulowany histogram danych z tabeli 2.5 wraz z dystrybuant¹ dopasowanego rozk³adu normalnego. 2.2.9. Obliczanie prawdopodobieñstw P(µ kσ, µ + kσ) dla rozk³adu normalnego Jeli w eksperymencie wyniki pomiarów podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu N(µ,σ 2), to prawdopodobieñstwo tego, ¿e pojedynczy wynik pomiaru X znajdzie siê w przedziale (µ kσ, µ + kσ), gdzie k > 0, obliczamy korzystaj¹c ze wzorów (2.33) i (2.35), w nastêpuj¹cy sposób:. P(µ − kσ < X < µ + kσ ) = F (µ + kσ ) − F (µ − kσ )  µ + kσ − µ   µ − kσ − µ  =Φ  −Φ  = 2Φ (k ) − 1. σ σ     Z (2.36) i z tabeli 2 przedstawionej w dodatku otrzymujemy, ¿e P((µ σ, µ + σ)) = 0,6827, P((µ 2σ, µ + 2σ)) = 0,9545, P((µ 3σ, µ + 3σ)) = 0,9973.. (2.36). (2.37). Ze wzorów tych wynika, ¿e w przypadku, gdy wynik pomiaru X podlega rozk³adowi normalnemu N(µ,σ2), to z prawdopodobieñstwem w przybli¿eniu równym 0,68 znajdzie siê on w przedziale (µ σ, µ + σ), z prawdopodobieñstwem 0,95 w przedziale (µ 2σ, µ + 2σ) oraz z prawdopodobieñstwem 0,0997 w przedziale (µ 3σ, µ + 3σ). A zatem, jeli n-krotnie powtórzamy pomiar, którego wynik podlega pewnemu 34.

(35) rozk³adowi normalnemu, i jeli n jest du¿e, to mo¿emy oczekiwaæ, ¿e w przybli¿eniu 68% pomiarów znajdzie siê w przedziale (x sx, x + sx), 95 % w przedziale (x 2sx, x + 2sx) oraz 99,7% w przedziale (x 3sx, x + 3sx). Przyk³ad 6 Jeli wyniki pomiarów czasu opadania ciê¿arka, przy ustalonym momencie bezw³adnoci, krzy¿a Oberbecka podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu, to procent pomiarów w przedzia³ach (x s, x + s) = (3,7083; 3,7265), (x 2s, x + 2s) = (3,6992; 3,7356) oraz (x 3s, x + 3s) = (3,6901; 3,7447) powinien byæ w przybli¿eniu odpowiednio równy wy¿ej podanym procentom (2.37). Z tabeli 21 odczytujemy, ¿e wynosz¹ one odpowiednio 66,5%, 95% oraz 100%. S¹ wiêc bardzo bliskie wielkociom oczekiwanym.. 2.2.10. Gêstoæ dwuwymiarowego rozk³adu prawdopodobieñstwa Dla dwuwymiarowych wyników pomiarów (wprowadzonych w podrozdziale 2.2.2; wtedy to dokonujemy jednoczesnego pomiaru wielkoci X i Y) nale¿y konstruowaæ dwuwymiarowy histogram. Jeli liczba n pomiarów w serii bêdzie wzrastaæ, to równie¿ taki dwuwymiarowy histogram bêdzie siê stabilizowaæ wokó³ pewnej dwuwymiarowej funkcji. Funkcjê tê nazywamy gêstoci¹ prawdopodobieñstwa i oznaczymy symbolem f(x, y). Jest ona okrelona dla wszystkich (x, y) ∈ R2 i ma nastêpuj¹ce w³asnoci 1. f(x,y) ≥ 0. +∞ +∞. 2.. ∫ ∫ f ( x, y )dydx = 1.. (2.38). −∞ −∞. Jeli zachodzi relacja f(x,y) = g(x)·h(y), gdzie g(x) jest gêstoci¹ prawdopodobieñstwa wielkoci X, a h(y) gêstoci prawdopodobieñstwa wielkoci Y, to mówimy, ¿e wielkoci X i Y s¹ niezale¿ne.. 2.2.11. Wspó³czynniki korelacji oraz macierz kowariancji i korelacji Wspó³czynnik korelacji rx,y równie¿ stabilizuje siê wokó³ pewnej liczby, zwanej korelacj¹. Jeli dwuwymiarowy histogram stabilizuje siê wokó³ gêstoci f(x,y), to wspó³czynnik korelacji rx,y stabilizuje siê wokó³ liczby σ xy , ρ x, y = (2.39) σ σ x. y. gdzie wyra¿enie w liczniku, nazywane kowariancj¹, okrelone jest wzorem. σ xy =. +∞ +∞. ∫ ∫ ( x − µ x )( y − µ y ) f ( x, y)dydx ,. (2.40). −∞ − ∞. 35.

(36) Wspó³czynnik korelacji przyjmuje wartoæ z przedzia³u [1,+1], jest niezmienniczy wzglêdem przekszta³ceñ liniowych oraz ρx,y = ρy,x, gdy¿ σxy = σyx. Wartoci +1 i 1 przyjmuje wtedy i tylko, gdy Y = aX + β, a ≠ 0. Wartoæ +1, gdy a > 0, oraz 1, gdy a < 0. Jeli X = Y, to σxy = σxx = σx2 oraz ρx,x = 1. Jeli wspó³czynnik ρx,y jest równy zero, to mówimy, ¿e wielkoci X i Y s¹ nieskorelowane. Zauwa¿my, ¿e niezale¿ne wielkoci X i Y s¹ nieskorelowane. Istotnie, jeli f(x,y) = g(x)·h(y), to σxy = 0 i wtedy korelacja ρx,y = 0. Parametry σx2, σy2, σxy oraz σyx zapisujemy w postaci macierzy.  σ x2  σ yx. σ xy  , σ 2y . (2.41). któr¹ nazywamy macierz¹ kowariancji, a parametry ρ x,x, ρ y,y , ρ x,y oraz ρ y,x w postaci macierzy.  ρ x, x ρ  y, x lub postaci. ρ x, y  ρ y , y . (2.42). ρ x, y   1 , ρ (2.43) 1   y, x gdy¿ ρx,x = ρy,y = 1. Tê macierz nazywamy macierz¹ korelacji. Jeli równoczenie mierzymy N wielkoci X1, X2, ..., XN, to mo¿emy okreliæ N(N 1) kowariancji oraz tyle samo wspó³czynników korelacji, bo tyle jest ró¿nych par (Xi, Xj), i ≠ j. Macierz kowariancji i macierz korelacji bêd¹ wtedy macierzami symetrycznymi o wymiarach N × N, np. macierz korelacji bêdzie mia³a postaæ  1   ρ X 2 , X1  ...   ρ X N , X 1. ρ X1, X 2 1 ... ρ X N ,X 2. ... ρ X 1 , X N  ... ρ X 2 , X N  ... ...  ,  ... 1 . (2.44). gdzie ρXi, Xj = ρXj, Xi. Macierz korelacji z próby jest ocen¹ macierzy korelacji. Wprowadzone tutaj pojêcia prawdopodobieñstwo, gêstoæ prawdopodobieñstwa, wartoæ rednia, wariancja i korelacja odnosz¹ siê do wyniku reprezentuj¹cego pomiar okrelonej wielkoci fizycznej. S¹ to pojêcia abstrakcyjne, podobnie jak np. punkt i odleg³oæ w geometrii. S¹ one bardzo po¿yteczne, pomimo ¿e nigdy nie bêdziemy znaæ ich dok³adnych wartoci. Mo¿emy je tylko oceniaæ na podstawie serii powtarzanych pomiarów lub zak³adaæ, ¿e maj¹ tak¹ lub inn¹ postaæ lub wartoæ.. 36.