Przestrzeń liniowa

(1)

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Przestrzeń linowa

ALEXANDER DENISJUK

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Ćwiczenie 1. Oblicz 2a1+ 5a2− a3dla a1= (4, 1, 3, −2), a2= (1, 2, −3, 2), a3= (16, 9, 1, −3). Ćwiczenie 2. Rozwiąż równanie

(1) a1+ 2a2+ 3a3+ 4x = 0, gdzie a1= (5, −8, −1, 2), a2= (2, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4).

(2) −3(a1− x) + 2(2a2− x) = 5(a3+ x), gdzie a1= (2, 5, 1, 3), a2= (0, 1, 5, 10), a3= (−3, 2, −5, 4).

(3) a1− 2a2− 3a3− 4x = 0, gdzie a1= (15, 8, 1, −2), a2= (2, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4).

(4) 3(a1− x) + 2(a2+ x) = 5(a3+ x), gdzie a1= (2, 5, 1, 3), a2= (10, 1, 5, 10), a3= (−3, 2, −5, 4). Ćwiczenie 3. Wyznacz, czy zbiór wektorów jest liniowo niezależnym:

(1) { (1, 2, 3), (3, 6, 7) }, (2) { (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3) }, (3) { (4, −2, 6), (6, −3, 9) }, (4) { (2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3) }, (5) { (4, −5, 2, 6), (2, −2, 1, 3), (6, −3, 3, 9), (4, −1, 5, 6) }, (6) { (1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2, −3, 4, 11, 12) }.

Ćwiczenie 4. Dany jest układ liniowo niezależnych wektorów a1, . . . , ak. Czy wektory b1, . . . , bn będą nie-zależne liniowo: (1)      b1= 3a1+ 2a2+ a3+ a4, b2= 2a1+ 5a2+ 3a3+ 2a4, b3= 3a1+ 4a2+ 2a3+ 3a4; (2)                    b1= a1+ a2, b2= a2+ a3, b3= a3+ a4, b4= a4+ a5, b5= a5+ a6, b6= a6+ a1; (3)      b1= 3a1+ 4a2− 5a3− 2a4+ 4a5, b1= 8a1+ 7a2− 2a3+ 5a4− 10a5, b1= 2a1− a2+ 8a3− a4+ 2a5; (4)                    b1= a1, b2= a1+ a2, b3= a1+ a2+ a3, b4= a1+ a2+ a3+ a4, b5= a1+ a2+ a3+ a4+ a5, b6= a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6; (5)                    b1= a1, b2= a1+ 2a2, b3= a1+ 2a2+ 3a3, b4= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4, b5= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4+ 5a5, b6= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4+ 5a5+ 6a6; (6)                    b1= a1+ a2, b2= a1+ a2+ a3, b3= a2+ a3+ a4, b4= a3+ a4+ a5, b5= a4+ a5+ a6, b6= a5+ a6; (7)                    b1= a1− a2, b2= a2− a3, b3= a3− a4, b4= a4− a5, b5= a5− a6, b6= a6− a1.

Ćwiczenie 5. Znajdź bazę powłoki układu wektorów oraz współrzędne danych wektorów w tej bazie:

(1) a1= (1, 2, 0, 0), a2= (1, 2, 3, 4), a3= (3, 6, 0, 0); (2) a1= (5, 2, −3, 1), a2= (4, 1, −2, 3), a3= (1, 1, −1, 2), a4= (3, 4, −1, 2), a5= (7, −6, −7, 0); (3) a1= (2, −1, 3, 5), a2= (4, −3, 1, 3), a3= (3, −2, 3, 4), a4= (4, −1, −15, 17); (4) a1= (1, 2, 3, −4), a2= (2, 3, −4, 1), a3= (2, −5, 8, −3), a4= (5, 26, −9, −12), a5= (3, −4, 1, 2); (5) a1= (2, 3, −4, −1), a2= (1, −2, 1, 3), a3= (5, −3, −1, 8), a4= (3, 8, −9, −5); (6) a1= (2, 2, 7, −1), a2= (3, −1, 2, 4), a3= (1, 1, 3, 1); 1

(2)

2 ALEXANDER DENISJUK (7) a1= (3, 2, −5, 4), a2= (3, −1, 3, −3), a3= (3, 5, −13, 11); (8) a1= (2, 1), a2= (3, 2), a3= (1, 1), a4= (2, 3); (9) a1= (2, 1, −3), a2= (3, 1, −5), a3= (4, 2, −1), a4= (1, 0, −7); (10) a1= (2, 3, 5, −4, 1), a2= (1, −1, 2, 3, 5), a3= (3, 7, 8, −11, −3), a4= (1, −1, 1, −2, 3); (11) a1= (2, −1, 3, 4, −1), a2= (1, 2, −3, 1, 2), a3= (5, −5, 12, −11, −5), a4= (1, −3, 6, 3, −3); (12) a1= (4, 3, −1, 1, −1), a2= (2, 1, −3, 2, −5), a3= (1, −3, 0, 1, −2), a4= (1, 5, 2, −2, 6).

E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brze-gi 55, 80-045 Gdańsk