Przestrzeń liniowa

Algebra

Przestrze´n wektorowa

Aleksandr Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Przestrze ´n wektorowa

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Definicja

Definicja 1. Przestrzeni ˛a wektorow ˛a (liniow ˛a) nad ciałem liczb

rzeczywistych

R

nazywa si ˛e zbiór

X

, w którym okre´slone s ˛a dwie operacje: dodawanie elementów zbioru

X

i mno˙zenie elementów zbioru

X

przez liczby rzeczywiste w taki sposób, ˙ze s ˛a spełnione własno´sci:

•

_{∀X, Y ∈}

X

_X

_{+ Y = Y + X}

_,

•

_{∀X, Y, Z ∈}

X

_{(X + Y ) + Z = X + (Y + Z)}

_,

•

_{∃0 ∈}

X

_,

_{takie ˙ze}

_{∀X ∈}

X

_X

_{+ 0 = 0 + X = X}

_,

•

_{∀X ∈}

X

_,

_{∃(−X) ∈}

X

_{takie ˙ze}

_X

_{+ (−X) = (−X) + X = 0}

_,

•

_{∀X ∈}

X

_{, α, β}

_∈

_R

_{(α)(βX) = (αβ)X}

_,

•

_{∀X ∈}

X

_{, α, β}

_∈

_R

_{(α + β)X = αX + βX}

_,

•

_{∀X, Y ∈}

X

_{, α}

_∈

_R

_α

_{(X + Y ) = αX + αY}

_,

•

_{∀X ∈}

X

_,

_{1 · X = X}

_.

Przykłady przestrzeni liniowych

•

_{przestrze ´n werkotrów na płaszczy´znie, w przestrzeni}

trójwymiarowej

•

_R

n

•

₍

_R

n

₎

_∗

_{= { (x}

1

, . . . , x

n

) }

•

_{wielomiany stopnia 4:}

_a

₀

_{+ a}

₁

_x

_{+ a}

₂

_x

2

_{+ a}

3

x

3

+ a

4

x

4

•

_{funkcje wymierne}

P(x) Q(x)

Elementarne własno´sci

•

_{0 · X = 0}

•

_α

_{· 0 = 0}

•

_{(−1) · X = −X}

Podprzestrze ´n liniowa

Definicja 2. Niech

X

b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Niepusty podzbiór

V

⊂

X

, który sam jest przestrzeni ˛a liniow ˛a, nazywa si ˛e podprzestrzeni ˛a

X

.

Twierdzenie 3.

V

jest podprzestrzeni ˛a

X

wtedy i tylko wtedy gdy 1.

∀α ∈

R

,

∀X ∈

V

⇒ αX ∈

V

2.

∀X, Y ∈

V

⇒ X + Y ∈

V

Lemat 4. Niech dane b ˛ed ˛a

V

₁

,

V

₂ — dwie podprzestrzenie liniowe

X

wtedy

V

₁

_∩

V

_{2 te˙z jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a}

X

_.

Kombinacja liniowa

Definicja 6. Niech

α

₁

, . . . , α

_k

∈

R

. Wektor

α

₁

X

₁

+ α

₂

X

₂

+ . . . α

k

X

k

nazywa si ˛e kombinacj ˛a liniow ˛a wektorów

X

₁

, . . . , X

_k

∈

X

.

Twierdzenie 7. Niech dany b ˛edzie podzbiór

L

⊂

X

. Zbiór wszystkich kombinaci liniowych elementów

L

jest podprzestrzeni ˛a

X

.

Definicja 8. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów

L

⊂ X

Przykłady

•

U

_m

₌

































































x

₁

..

.

x

m

0

..

.

0























| x

i

∈

R











































,

V

_m

₌

































































0

..

.

0

x

_m+1

..

.

x

n























|x

i

∈

R











































⊂

_R

n

◦

U

_m

_∩

V

_m

_{= { 0 }}

◦

_h

U

_m

_,

V

_m

_{i =}

_R

n

•

{ E

₁

= (1, 0, . . . , 0), E

₂

= (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , E

n

= (0, . . . , 0, 1) }

◦

_hE

₁

_{, . . . , E}

_n

_{i =}

_R

⋉

Liniowa niezale˙zno´s´c

Definicja 9. Układ wektorów

{X

₁

, . . . , X

_k

}

w przestrzeni liniowej

X

nazwiemy układem liniowo niezale˙znym, je˙zeli dla dowolnych współczynników

α

₁

, . . . α

_k

∈

_R

, nie równych zeru jednocze´snie

α

₁

X

₁

+ . . . α

_k

X

_k

6= 0

.

Definicja 10. Układ wektorów, który nie jest liniowo niezale˙znym, nazywa sie liniowo zale˙znym.

Liniowa niezale˙zno´s´c, cd

Twierdzenie 11. 1. Je˙zeli układ

{X

₁

, . . . , X

_k

}

ma liniowo zale˙zny podukład, to on te˙z jest liniowo zale˙znym

2. Ka˙zdy podukład niezale˙znego liniowo układu

{X

₁

, . . . , X

_k

}

jest liniowo niezale˙znym

3. Je˙zeli układ

{X

₁

, . . . , X

_k

}

jest liniowo zale˙znym, to przytnajmniej jeden z wektorów jest kombinacj ˛a liniow ˛a pozostałych

4. Je˙zeli jeden z wekotorów

{X

₁

, . . . , X

_k

}

jest liniow ˛a kombinacj ˛a pozostałych, to układ

{X

₁

, . . . , X

_k

}

jest liniowo zale˙znym.

5. Je˙zeli układ

{X

₁

, . . . , X

_k

}

jest liniowo niezale˙znym, a układ

{X

1

, . . . , X

k

, X

}

jest liniowo zale˙znym, to

X

jest kombinacj ˛a liniow ˛a

{X

₁

, . . . , X

_k

}

.

Baza przestrzeni liniowej

Definicja 12. Niech

X

b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Układ wektorów

{X

₁

, . . . , X

_n

} ∈

X

_przestrzeni

_X

_{nazywa si ˛e generuj ˛acym, je˙zeli}

hX

₁

, . . . , X

n

i =

X

.

Definicja 13. Niech

X

b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Układ wektorów

{X

₁

, . . . , X

_n

} ∈

X

_{nazywa si ˛e baz ˛a przestrzeni}

X

_{, je˙zeli jest on}

niezale˙znym liniowo oraz

hX

₁

, . . . , X

_n

i =

X

.

Przykład 14.

•

{E

₁

, . . . , E

_n

}

jest standardow ˛a baz ˛a w

R

n

•

_{{1, x, x}

2

_{, x}

3

_{, x}

4

_}

_{jest baz ˛a w przestrzeni wielomianów stopnia 4}

Lemat 15. Niech

{X

₁

, . . . , X

_n

}

b ˛edzie baz ˛a przestrzeni

X

. Wtedy ka˙zdy wektor

X

∈

X

mo˙ze by´c jednoznacznie zapisdany jako kombinacja liniowa

X

= x

₁

X

₁

+ · · · + x

n

X

n.

Definicja 16. Liczby

(x

₁

, . . . , x

_n

)

, okre´slone w lemacie 15, nazymawy

Wymiar przestrzeni liniowej

Lemat 17. Niech

X

b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a z baz ˛a

{X

₁

, . . . , X

_n

}

. Niech

{Y

₁

, . . . , Y

_s

}

b ˛edzie układem niezale˙znym liniowo. Wtedy

s

6

_n

.

Wniosek 18. Niech

X

b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a z baz ˛a

{X

₁

, . . . , X

_n

}

. Wtedy ka˙zda inna baza ma tyle samo elementów.

Definicja 19. Przestrze ´n, która ma baz ˛e sko ´nczon ˛a nazywamy sko ´nczenie

wymiarow ˛a, a ilo´s´c elementów bazy — wymiarem przestrzeni,

dim

X

Rz ˛

ad układu wektorów

Definicja 20. Rz ˛adem układu wektorów

{X

₁

, . . . , X

_n

}

nazywamy wymiar jego otoczki liniowej.