Granica funkcji

Analiza Matematyczna. Granica Funkci

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Granica Funkci

•Granica Funkci

•Definicja •Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Definicja Heinego

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Niech dana b ˛edzie funkcja

f (x)

okre´slona w s ˛asiedztwie punktu

a

. Definicja 1. Liczba

b

nazywa si ˛e granic ˛a funkcji

y = f (x)

w punkcie

a

, je˙zeli dla dowolnego ci ˛agu

{ a

_n

}

zbie˙znego do

a

i takiego, ˙ze

a

_n

6= a

dla

n = 1, 2, 3 . . .

ci ˛ag

{ f(a

_n

) }

jest zbie˙zny do

b

. Oznaczenie:

lim

Definicja Cauchy’ego

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Definicja 2. Liczba

b

nazywa si ˛e granic ˛a funkcji

y = f (x)

w punkcie

a

, je˙zeli dla dowolnej liczby rzeczywistej

ε > 0

istnieje liczba

δ > 0

, taka ˙ze

∀x : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε

. Definicja 3. Liczba

b

nazywa si ˛e granic ˛a funkcji

y = f (x)

w punkcie

a

, je˙zeli dla dowolnego otoczenia

V

punktu

b

istnieje takie s ˛asiedztwo

U

punktu

a

(i. e.

U = (a − δ, a) ∪ (a, a + δ)

), ˙ze

f (U ) ⊂ V

.

Równowa˙zno ´s ´c dwóch definicji

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Twierdzenie 5. Definicje 1 i 2 s ˛a równowa˙zne.

Dowód. •

⇐

•

⇒

Przykład 6. 1.

f (x) = c

2.

f (x) = x

3. Funkcja Dirichleta

D(x) =

(

1, x ∈ Q

0, x /

_{∈ Q}

Granice jednostronne

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Definicja 7 (Heine). Liczba

b

jest prawostronn ˛a (lewostronn ˛a)

granic ˛a funkcji

f (x)

w punkcie

a

, je˙zeli dla dowolnego ci ˛agu

{ a

_n

}

o wyrazach wi ˛ekszych (mniejszych) od

a

i zbie˙znego do

a

ci ˛ag

{ f(a

n

) }

jest zbie˙znym do

b

. Oznaczenie:

lim

x→a+

f (x) = b



lim

x→a−

f (x) = b



lub

f (x) →

x→a+

b



f (x) →

x→a−

b



.

Granice jednostronne

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Definicja 8 (Cauchy). Liczba

b

jest prawostronn ˛a (lewostronn ˛a) granic ˛a funkcji

f (x)

w punkcie

a

, je˙zeli dla dowolnej liczby

rzeczywistej

ε > 0

istnieje liczba

δ > 0

, taka ˙ze

∀x : a < x − a + δ ⇒ |f(x) − b| < ε

(

∀x : a − δ < x < a ⇒ |f(x) − b| < ε

).

Definicja 9 (Cauchy). Liczba

b

nazywa si ˛e prawostronn ˛a

(lewostronn ˛a) granic ˛a funkcji

y = f (x)

w punkcie

a

, je˙zeli dla dowolnego otoczenia

V

punktu

b

istnieje takie prawe (lewe) s ˛asiedztwo

U

punktu

a

(i. e.

U = (a, a + δ)

, odpowiednio

Równowa˙zno ´s ´c definicji

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Twierdzenie 10. Definicje 7 i 8 s ˛a równowa˙zne.

Przykład 11.

sign(x) =











1,

x > 0

0,

x = 0

−1, x < 0

1.

lim

x→0+

sign x = 1

, 2.

lim

x→0−

sign x = −1

.

Twierdzenie 12.

f (x)

ma granic ˛e w punkcie

a ⇐⇒

istniej ˛a i s ˛a równe sobie granice lewostronna i prawostronna.

Granice w otoczeniu niesko ´nczono ´sci

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Definicja 13 (Heine). Liczba

b

jest granic ˛a funkcji

f (x)

przy

x → ∞

, je˙zeli dla dowolnego niesko ´nczenie du˙zego ci ˛agu

{ a

_n

}

ci ˛ag

{ f(a

_n

) }

jest zbie˙znym do

b

. Oznaczenie:

lim

x→∞

f (x) = b

lub

f (x) →

x→∞

b.

Definicja 14 (Cauchy). Liczba

b

jest granic ˛a funkcji

f (x)

przy

x → ∞

, je˙zeli dla dowolnej liczby rzeczywistej

ε > 0

istnieje liczba

A > 0

, taka ˙ze

∀x : |x| > A ⇒ |f(x) − b| < ε

.

Definicja 15 (Cauchy). Liczba

b

nazywa si ˛e granic ˛a funkcji

f (x)

przy

x → ∞

, je˙zeli dla dowolnego otoczenia

V

punktu

b

istnieje takie otoczenie niesko ´nczono´sci

U

, ˙ze

f (U ) ⊂ V

.

Jednostronne granice w otoczeniu niesko ´nczono ´sci

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Definicja 17 (Heine). Liczba

b

jest granic ˛a funkcji

f (x)

przy

x → ±∞

, je˙zeli dla dowolnego niesko ´nczenie du˙zego ci ˛agu

{ a

_n

}

o wyrazach dodatnich (ujemnych) ci ˛ag

{ f(a

_n

) }

jest zbie˙znym do

b

. Oznaczenie:

lim

x→±∞

f (x) = b

lub

f (x) →

x→±∞

b.

Definicja 18 (Cauchy). Liczba

b

jest granic ˛a funkcji

f (x)

przy

x → ±∞

, je˙zeli dla dowolnej liczby rzeczywistej

ε > 0

istnieje liczba

A > 0

, taka ˙ze

∀x : x > A

(odpowiedno

x < −A

)

⇒ |f(x) − b| < ε

.

Definicja 19 (Cauchy). Liczba

b

nazywa si ˛e granic ˛a funkcji

f (x)

przy

x → ±∞

, je˙zeli dla dowolnego otoczenia

V

punktu

b

istnieje takie otoczenie plus niesko ´nczono´sci ( odpowienio minus

niesko ´nczono´sci)

U

, ˙ze

f (U ) ⊂ V

.

Przykłady

•Granica Funkci •Definicja •Rz ˛ad funkcji •Asymptoty Przykład 21. _•

lim

x→∞ 1 x

= 0

, •

lim

x→+∞

sign(x) = 1

, •

lim

x→−∞

sign(x) = −1

.

Kryterium Cauchy’ego

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Twierdzenie 22. Funkcja

f (x)

ma w punkcie

a

granic ˛e

⇐⇒

∀ε > 0 ∃δ > 0

, takie ˙ze

Działania a granicy

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Twierdzenie 23. Przy zało˙zeniu, ˙ze granice

lim f (x)

i

lim g(x)

istniej ˛a, maj ˛a miejsce wzory:

•

lim f (x) ± g(x)
= lim f (x) ± lim g(x)

,

•

lim f (x) · g(x)
= lim f (x) · lim g(x)

,

•

lim

f_g(x)(x)

=

lim f (x)_{lim g(x)}, o ile

lim g(x) 6= 0

,

•

f (x) 6 g(x) ⇒ lim f(x) 6 lim g(x)

,

•

f (x) 6 h(x) 6 g(x)

i

lim f (x) = lim g(x) ⇒ lim h(x) =

lim f (x) = lim g(x)

.

Wnioski

•Granica Funkci

•Definicja

•Rz ˛ad funkcji •Asymptoty

Wniosek 24. _• Niech

P (x)

b ˛edzie wielomianem. Wtedy

lim

x→a

P (x) = P (a)

.

• Niech

R(x) =

P_Q(x)(x) b ˛edzie funkcj ˛a wymiern ˛a, przy czym

Q(a) 6= 0

. Wtedy

lim

Funkcje niesko ´nczenie małe

•Granica Funkci •Definicja

•Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Definicja 25. Funkcja

α(x)

nazywa si ˛e niesko ´nczenie mał ˛a przy

x → a

, je˙zeli

lim

x→a

α(x) = 0

. Oznaczenie:

α(x) = o(1)

przy

x → a

.

Przykład 26. _•

(x − a)

n

= o(1)

przy

x → a

.

• Je˙zeli

lim

x→a

= b

, to funkcja

f (x) = b + o(1)

przy

x → a

.

Funkcje niesko ´nczenie du˙ze

•Granica Funkci •Definicja

•Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Definicja 28 (Heine). Funkcja

f (x)

nazywa si ˛e niesko ´nczenie du˙z ˛a przy

x → a

, je˙zeli dla dowolnego ci ˛agu

{ a

_n

}

o wyrazach ró˙znych od

a

ci ˛ag warto´sci funkcji

{ f(a

_n

) }

jest niesko ´nczenie du˙zym.

Oznaczenie:

lim

x→a

f (x) = ∞

.

Definicja 29 (Cauchy). Funkcja

f (x)

nazywa si ˛e niesko ´nczenie du˙z ˛a przy

x → a

, je˙zeli dla dowolnej liczby

N > 0

istnieje takie

δ > 0

, ˙ze

∀x : |x − a| < δ ⇒ |f(x)| > A

.

Definicja 30 (Cauchy). Funkcja

f (x)

nazywa si ˛e niesko ´nczenie du˙z ˛a przy

x → a

, je˙zeli dla dowolnego otoczenia niesko ´nczono´sci

V

istnieje takie s ˛asiedzstwo

U

punktu

a

, ˙ze

f (U ) ⊂ V

.

Funkcje niesko ´nczenie du˙ze. Cd

•Granica Funkci •Definicja •Rz ˛ad funkcji •Asymptoty •

lim

x→a

f (x) = ±∞

•

lim

x→a±

f (x) = ∞

•

lim

x→a±

f (x) = ±∞

•

lim

x→∞

f (x) = ∞

•

lim

x→∞

f (x) = ±∞

•

lim

x→±∞

f (x) = ∞

•

lim

x→±∞

f (x) = ±∞

Przykład 32. _•

lim

x→0− 1 x

= −∞

, •

lim

x→0+ 1 x

= +∞

.

Rz ˛

ad funkcji

•Granica Funkci •Definicja

•Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Definicja 33. Niech dane b ˛ed ˛a

α(x)

i

β(x)

— dwie funkcje okre´slone przy

x → a

. Wówczas

•

α(x) = o(β(x))

przy

x → a

, je˙zeli istnieje taka niesko ´nczenie mała przy

x → a

funkcja

ε(x)

, ˙ze

|α(x)| 6 ε(x)|β(x)|

przy

x → a

.

•

α(x) = O(β(x))

przy

x → a

, je˙zeli istnieje taka stała

C ∈ R

, ˙ze

|α(x)| 6 C|β(x)|

przy

x → a

.

•

α(x) ∼ β(x)

przy

x → a

, je˙zeli przy

x → a

jednocze´snie

α(x) = O(β(x))

i

β(x) = O(α(x))

.

Rz ˛

ad funkcji. Cd

•Granica Funkci •Definicja

•Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Twierdzenie 35. _• Je˙zeli

lim

x→a

α(x)

β(x)

= 0

, to

α(x) = o(β(x))

przy

x → a

.

• Je˙zeli istnieje

lim

x→a α(x) β(x)

= C

, to

α(x) = O(β(x))

przy

x → a

. Przykład 36. _•

x

3

− x

5

∼ 5x

3

+ x

7

∼ x

3 przy

x → 0

, • _x−15

∼

_x1 przy

x → +∞

, •

√

1 − x

2

= O(

√

_{1 − x)}

przy

x → 1−

.

Asymptoty pionowe

•Granica Funkci •Definicja •Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Definicja 37. Prosta

x = a

jest

1. (obustronn ˛a) pionow ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

x→x0

f (x) = ∞

2. lewostronn ˛a pionow ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

x→x0−

f (x) = ∞

3. prawostronn ˛a pionow ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

Asymptoty poziome

•Granica Funkci •Definicja •Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Definicja 38. Prosta

y = b

jest

1. (obustronn ˛a) poziom ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

x→∞

f (x) = b

2. lewostronn ˛a poziom ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

x→−∞

f (x) = b

3. prawostronn ˛a poziom ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

Asymptoty uko ´sne

•Granica Funkci •Definicja •Rz ˛ad funkcji

•Asymptoty

Definicja 39. Prosta

y = ax + b

jest

1. (obustronn ˛a) uko´sn ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

x→∞

f (x) − (ax + b)
= 0 ⇐⇒ f(x) = ax + b + o(1)

2. lewostronn ˛a uko´sn ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim

x→−∞

f (x) − (ax + b)
= 0 ⇐⇒ f(x) = ax + b + o(1)

3. prawostronn ˛a uko´sn ˛a asymptot ˛a funkcji

f (x)

, je˙zeli

lim