Algebra
Liczby Zespolone
Aleksandr Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Liczby Zespolone
Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Motywacja
• x2 + 1 = 0 • Ciało P = ( a b −b a ! ) • P ⊃ { λI|λ ∈ R} ∼= R • J = 0 1 −1 0 ! ∈ P, J2 + 1 = 0 Algebra – p. 3Płaszczyzna liczb zespolonych
• C = { (a, b) } = R2 • (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) • (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) • (a, b) ↔ a b −b a ! • z = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy • x = re z, y = im z Algebra – p. 4Sprz ˛e˙zenie
• z 7→ ¯z = x − iy ◦ (¯z) = z ◦ im z = 0 ⇐⇒ ¯z = z ◦ z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2 ◦ z1z2 = ¯z1 · ¯z2 ◦ im(z + ¯z) = 0 ◦ im(z · ¯z) = 0 Algebra – p. 5Sens geometryczny dodawania i mon˙zenia
• We współrz ˛ednych biegunowych z = (r, ϕ)
◦ r = |z| = √z ¯z = px2 + y2
◦ ϕ = arg z
◦ posta´c trygonometryczna: z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
• |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|
• |z1z2| = |z1||z2|
• arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
• |z1/z2| = |z1|/|z2|
• arg(z1/z2) = arg z1 − arg z2
Wzór Moivre’a
• (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ)
Twierdzenie 1. n √ z = pn |z| cos ϕ + 2πk n + i sin ϕ + 2πk n , gdzie k = 0, . . . , n − 1 Wniosek 2. n √ 1 = εk = cos 2πk n + i sin 2πk n , gdzie k = 0, . . . , n − 1 Algebra – p. 7
Zasadnicze twierdzenie algebry
Twierdzenie 3. Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia n > 0 ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (ka˙zdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotno´s´c).
