Pochodna funkcji jednej zmiennej

Analiza Matematyczna. Pochodna funkcji jednej zmiennej

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Pochodna funkcji jednej zmiennej

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Poj ˛ecie pochodnej

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Niech dana b ˛edzie funkcja

y

= f (x)

, okre´slona w otoczeniu

(a, b)

punktu

x

.

Definicja 1. 1. Liczba

∆x

, taka ˙ze

x

+ ∆x ∈ (a, b)

nazywa si ˛e

przyrostem zmiennej niezale˙znej

x

.

2. Liczba

∆y = f (x + ∆x) − f (x)

nazywa si ˛e przyrostem

funkcji

f

w punkcie

x

.

Lemat 2. Funkcja

y

= f (x)

jest ci ˛agła w punkcie

x

wtedy i tylko

wtedy, gdy przyrost funkcji w tym punkcie,

∆y = o(1)

przy

∆x → 0

.

Definicja 3. 1. Iloraz _∆x∆y nazywa si ˛e ilorazem ró˙zniczkowym

2. Granica (o ile istnieje)

f

′

(x) = lim

∆x→0 ∆y

∆x

= lim

_∆x→0

f(x+∆x) ∆x

nazywa si ˛e pochodn ˛a funkcji

f

w punkcie

x

.

3. Alternatywne oznaczenia:

f

′

_{(x) =}

df

Przykłady

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne} Przykład 4. 1.

f

(x) = const =⇒ f

′

_{(x) = 0}

_. 2.

f

(x) = x =⇒ f

′

_{(x) = 1}

_.

Sens geometryczny pochodnej funkcji w punkcie

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne} M P N x x+ ∆x ∆x f (x + ∆ x ) − f (x ) ϕ(∆x) ϕ(∆x) ϕ0

Komentarze do rysunku

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Definicja 5. Prosta, przechodz ˛aca przez punkty

M

i

P

nazywa si ˛e sieczn ˛a

• K ˛at pochylenia stycznej

M P

jest funkcj ˛a od

∆x

, oznaczmy jego

przez

ϕ(∆x)

.

• Z trójk ˛ata

M P N

wida´c, ˙ze

tg ϕ(∆x) =

_∆x∆y.

• W taki sposób, przy

∆x → 0

(

P

→ M

) istnieje poło˙zenie

graniczne stycznej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

f

′

_(x)

_.

Definicja 6. Prosta

y

= f (x

₀

) + f

′

_(x

0

)(x − x

0

)

jest styczn ˛a do

wykresu funkcji

y

= f (x)

w punkcie

x

₀.

Uwaga 7.

f

′

_(x)

_{zgadza si ˛e z tangensem k ˛ata pochylenia stycznej.}

Uwaga 8. Funkcja

y

= f (x)

, która ma pochodn ˛a nazywa si ˛e

Funkcje ró˙zniczkowalne

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Definicja 9. Funkcja

y

= f (x)

nazywa si ˛e ró˙zniczkowaln ˛a

w punkcie

x

, je˙zeli

∃A ∈ R

, takie ˙ze

∆y = A · ∆x + o(∆x)

przy

∆x → 0

.

Twierdzenie 10. Funkcja

y

= f (x)

jest ró˙zniczkowalna w punkcie

x

₀ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

f

′

(x

₀

)

. Dowód.

⇒

:

lim

∆x→0 ∆y ∆x

= lim

_∆x→0

A

+ o(1)
= A

.

⇐

:

lim

∆x→0 ∆y−f′ (x0)·∆x ∆x

= 0 =⇒ ∆y = f

′

(x

0

)∆x + o(∆x)

.

Wniosek 11. Liczba

A

w definicji 9 równa jest

f

′

(x

₀

)

.

Twierdzenie 12. Funkcja ró˙zniczkowalna w punkcie jest ci ˛agł ˛a w tym punkcie.

Ró˙zniczkowalnie funkcji zło˙zónej

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Twierdzenie 13. Niech funkcja

x

= ϕ(t)

b ˛edzie ró˙zniczkowaln ˛a

w punkcie

t

₀, za´s funkcja

y

= f (x)

b ˛edzie ró˙zniczkowaln ˛a

w punkcie

x

₀

= ϕ(t

0

)

. Wtedy funkcja zło˙zona

f

(ϕ(t))

b ˛edzie

ró˙zniczkowaln ˛a w punkcie

t

₀, przy czym

f ϕ(t

0

)



′

= f

′

ϕ(t

0

)
· ϕ

′

(t

0

)

Dowód. •

∆x = φ

′

_(t

0

)∆t + o(∆t)

. •

∆y = f

′

_(x

0

)∆x + o(∆x) = f

′

ϕ(t

0

)

ϕ

′

(t

0

)∆t +

o(∆t) + o(∆t) = f

′

_ϕ(t

0

)
ϕ

′

(t

0

)∆t + o(∆t)

.

Ró˙zniczkowalnie funkcji odwrotnej

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Twierdzenie 14. Niech

f

(x)

b ˛edzie funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a (malej ˛ac ˛a) i ci ˛agl ˛a w otoczeniu punktu

x

₀, oraz ró˙zniczkowaln ˛a w punkcie

x

₀ i

f

′

_{(x) 6= 0}

_{. Wtedy w otoczeniu punktu}

_y

0

= f (x

0

)

okre´slona jest funkcja odwrotna

x

= f

−1

(y)

, która jest rosn ˛ac ˛a (malej ˛ac ˛a) i ci ˛agł ˛a

w otoczeniu

y

₀ oraz ró˙zniczkowalna w punkcie

y

₀ i

f

−1

_(y

0

)



′

=

1

f

′

_(x

₀

₎

.

Dowód. • ∆x_∆y

=

∆y1 ∆x .

• Za moc ˛a ci ˛agło´sci

∆y → 0 ⇐⇒ ∆x → 0

.

• Wi ˛ec

lim

∆y→0 ∆x ∆y

=

1 lim ∆x→0 ∆y ∆x .

Sens geometryczny pochodnej funkcji odwrotnej

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne} x y α β

tg α =

_{tg β}1 , gdy

α

+ β =

π₂

Ró˙zniczkowanie sumy, ró˙znicy, iloczynu i ilorazu funkcji

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne}

Twierdzenie 15. Niech funkcje

u(x)

oraz

v(x)

b ˛ed ˛a

ró˙zniczkowalne w punkcie

x

. Wtedy suma, ró˙znica, iloczyn i iloraz

(iloraz w przypadku

v(x) 6= 0

) s ˛a ró˙zniczkowalne w punkcie

x

, przy

czym 1.

u(x) ± v(x)

′

= u

′

(x) ± v

′

(x)

, 2.

u(x) · v(x)

′

= u

′

(x) · v(x) + u(x) · v

′

(x)

, 3.

h

u(x) v(x)

i

′

=

u′(x)·v(x)−u(x)·v_v2 ′(x) (x) .

Pochodne funkcji elementarnych

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne} Twierdzenie 16. 1.

(log

_a

x)

′

₌

1 x

· log

a

e

, 2.

(ln

_a

x)

′

=

_x1, 3.

(a

x

)

′

= a

x

· ln a

, 4.

(e

x

)

′

= e

x, 5.

(x

a

)

′

= a · x

a−1, 6.

(sin x)

′

= cos x

, 7.

(cos x)

′

= − sin x

, 8.

(tg x)

′

=

_cos12 x, 9.

(ctg x)

′

= −

1 sin2 x, 10.

(arc sin x)

′

=

√ 1 1−x2, 11.

(arc cos x)

′

= −

√ 1 1−x2, 12.

(arctg x)

′

=

_1+x1 2, 13.

(arcctg x)

′

= −

_1+x1 2, 14.

(sinh x)

′

= cosh x

, 15.

(cosh x)

′

= sinh x

, 16.

(tgh x)

′

=

1 cosh2 x, 17.

(ctgh x)

′

=

1 sinh2x.

Dwód twierdzenia

16

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne} Dowód. 1 ∆ logax ∆x

=

log_{a(x+∆x)−loga}(x) ∆x

=

x1 x ∆x

log

a

(1 +

∆x_x

) =

1 x

log

a

h

1 +

∆x_x

∆xx

i

−→

∆x→0 1 x

log

a

e

. 3

(a

x

)

′

=

_(log1 ay) ′

=

1 1 y loga e

=

_logy a e

= a

x

· ln a

. 5

(x

a

)

′

= (e

aln x

)

′

= e

aln x

· (a ln x)

′

= x

a

· a

_x1

= ax

a−1.

6 ∆ sin x_∆x

=

sin(x+∆x)−sin x_∆x

=

2 cos x+

∆x 2

sin ∆x₂ ∆x

=

cos x +

∆x₂

sin ∆x 2 ∆x 2

−→

∆x→0

cos x

.

7

(cos x)

′

= sin(

π₂

− x)

′

= cos(

π₂

− x) · (

π₂

− x)

′

= − sin x

.

8

(tg x)

′

=



sin x cos x



′

=

(sin x)′cos x−sin x(cos x)_cos2 ′

x

=

cos2 x+sin2 x

cos2 _x

=

_cos12_x. –verte–

Dwód twierdzenia

16

, cd

•_{Pochodna funkcji} jednej zmiennej •_Definicja •_{Ró˙zniczkowalno´s´c} •_Reguły ró˙zniczkowania •_{Funkcje elementarne} Dowód. cd.

10

(arc sin x)

′

=

_{(sin y)}1 ′

=

1

cos y

=

cos arc sin x1

=

√_1−x1 2.

12

(arctg x)

′

=

_{(tg y)}1 ′

= cos

2

_y

_{= cos}

2

_{(arctg x) =}

1 1+x2. 14

(sinh x)

′

=



ex −e−x 2



′

=

ex+e₂ −x

= cosh x

.