ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Wektory
ALEKSANDER DENISIUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Oblicz (2a + b) · (a − 3b), jeżeli |a| = 1, |b| = 2, da, b = π 6
Ćwiczenie 2. Oblicz (a + 2b) · (3a − b), jeżeli |a| = 2, |b| = 3, da, b = 3π 3
Ćwiczenie 3. Trójkąt ABC jest równobocznym o długości boku 1. Oblicz −−→AB·−−→BC+−−→BC·−→CA+−→CA·−→AC. Ćwiczenie 4. Znajdź kąt między wektorami −−→ABi−→AC, jeżeli A(−1, 3, 5), B(2, 1, −1), C(0, 2, 1)
Ćwiczenie 5. Znajdź kąt między wektorami a i b, jeżeli |a| = 1, |b| = 2, da, b = π 4
Ćwiczenie 6. Oblicz (m + 2n) · (m − n), jeżeli m = 2a + b, n = a − 3b, |a| = |b| = 1, da, b = π 3. Ćwiczenie 7. Znajdź długość wektra 2m + n, jeżeli |m| =√2, |n| = 2, [m, n = 3π4.
Ćwiczenie 8. Udowodnij, że wektory (a · c)b − (b · c)a oraz c są prostopadłe. Ćwiczenie 9. Udowodnij, że przekątne rombu są prostopadłe.
Ćwiczenie 10. Znajdź kąt między bokiem a przekątną sześcianu.
Ćwiczenie 11. Znajdź kąt między przekątnymi płaszczyzn Oxy oraz Oyz kartezjańskiego układu współrzędnych. Ćwiczenie 12. Dane są punkty A(1, −2, 5), B(3, −1, 4), C(1, 2, 2) oraz D(−1, 1, 3). Udowodnij, że ABCD jest równole-głobokiem i znajdź jego kąty.
Ćwiczenie 13. Trzy wierzchołki równoległoboku położone są w punktach A(1, −2, 1), B(2, −2, 1−) oraz C(2, 0, 0). Znajdź czwarty wierzchołek oraz kąt między przekątnymi.
Ćwiczenie 14. Znajdź wektor jednostkowy, zgodnie kolinearny z wektorem a(2, 4, −4). Ćwiczenie 15. Dane są wektory a = 2i − j + k oraz b = i − 3j + 6k. Znajdź rzut pra(a + b)
Ćwiczenie 16. Przy jakim α wektory a = 2i − 3j − k oraz b = αi − 2j − 4k są prostopadłe? Ćwiczenie 17. Znajdź wektor b zgodnie kolinearny z wektorem a = 2i − j + k, taki że ab = 60. Ćwiczenie 18. Znajdź wektor b prostopadły do wektora a = i + 2j − kk, taki że bi = 3, bj = 2.
Ćwiczenie 19. Niech dany będzie uporządkowany dodatnio układ wektorów (a, b, c). Jak będzie uporządkowany układ
(1) (b, a, c), (2) (b, c, a), (3) (c, b, a)?
Ćwiczenie 20. Znajdź |a × b|, jeżeli |a| = 2, |b| = 3, da, b = π 6 Ćwiczenie 21. Uprościć: (1) (a + b) × (2c − a) + (b + 2c) × (a − b) (2) (a − b) × (a + b) (3) (a − 2b) × (c − 3a) − (b − 2c) × (a + b) (4) (a + b) × (a − b) Ćwiczenie 22.
Oblicz pole powierzchni równoległoboku
(1) wyznaczonego przez wektory a = 2m + 3n, b = m − 2n, gdzie |m| = |n| = 1, [m, n = π 4, (2) wyznaczonego przez wektory a oraz b, jeżeli |a| = 15, |b| = 8, ab = 96,
(3) o przekątnych a = 3m − n, oraz b = m + 5n, gdzie |m| = 2, |n| = 3, [m, n = π 6, (4) o bokach a = 2i + 3j − k oraz b = i − j + k.
Ćwiczenie 23. Oblicz długość wysokości AD trójkąta ABC (1) o bokach−−→AB= 2i − j + k oraz−→AC= 3i − 4j + k
2 ALEKSANDER DENISIUK
(2) o wierzchołkach B(4, 2, 5), A(0, 7, 2), C(0, 2, 7) (3) o bokach−−→AB= 2i − j + k oraz−−→BC= 3i − 4j + k
(4) o wierzchołkach A(4, 2, 5), B(0, 7, 2), C(0, 2, 7)
Ćwiczenie 24. Dane są wektory a = 2i + j − k, b = i − j + 3k, c = j + k. Oblicz
(1) (a × b) × c, (2) a × (b × c).
Ćwiczenie 25. Dane jest, że a + b + c = 0. Udowodnij, że a × b = b × c = c × a.
Ćwiczenie 26. Niech dane będą trzy wektory a, b oraz c takie, że a × b + b × c + c × a = 0. Udowodnij, że wektory a, b, c są komplanarne.
Ćwiczenie 27. Uprościć:
(1) (a + b, b + c, c), (2) (a + b + c, a − b + c, a − b − c).
Ćwiczenie 28. Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego przez dane trzy wektory (1) a = 2i + j − k, b = i + j + 3k, c = 3i − 4j + 2k,
(2) a = e1+ 2e2+ e3, b = e1+ 3e2, c = 2e1−5e2+ e3,
gdzie wektory e1, e2, e3są wzajemnie prostopadłe,
oraz |e1| = 1, |e2| = 2, |e3| = 5,
(3) a = −e1+2e2−e3, b = e1−3e3, c = 2e1−e2+e3, gdzie wektory e1, e2, e3 są wzajemnie prostopadłe, oraz |e1| = 3, |e2| = 2, |e3| = 1,
(4) a = 3i + 6j − 8k, b = −2i + 4j − 6k, c = 5i + 2j − k. Ćwiczenie 29. Sprawdź, czy cztery punkty należą do jednej płaszczyzny:
(1) A(0, 2, −1), B(3, 1, 1), C(2, −1, 0), D(−4, 1, 2) (2) A(3, 1, 4), B(−1, 1, 6), C(5, 2, 2), D(−1, 6, 1)
(3) A(5, 5, 4), B(3, 8, 4), C(3, 5, 10), D(5, 8, 2) (4) A(10, 2, −1), B(13, 1, 1), C(12, −1, 0), D(6, 1, 2) Ćwiczenie 30. Dla jakich wartości λ wektory są komplanarne:
(1) a = (1 + λ)i + 7j−3k, b = i+λj−k, c = 8i+3j−7k (2) a = i + λj + k, b = i + (1 + λ)j + k, c = i + λj − 7k (3) a = i − 2j + k, b = 7i + λj − 13k, c = 3i + j − 2k
(4) a = (1 −λ)i+7j−3k, b = i+λj−k, c = 8i+3j−7k
Ćwiczenie 31. Oblicz objętość piramidy ABCD, gdzie
(1) A(−1, 2, −4), B(5, 4, 1), C(2, 7, 1), D(0, 2, 1), (2) A(3, 5, 4), B(8, 7, 4), C(5, 10, 4), D(2, 8, −1). E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk
