1
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych - gradient i pochodna
kierunkowa
Z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej wiemy, że pochodna funkcji w pewnym punkcie oznacza prędkość zmiany wartości funkcji w tym punkcie. Podobnie jest dla funkcji dwóch (jak również większej liczby) zmiennych. Pochodne cząstkowe funkcji z f(x,y) w punkcie P0(x0,y0)oznaczają mianowicie prędkości zmiany wartości tej funkcji w punkcie P w kierunkach osi układu współrzędnych: osi Ox dla 0
pochodnej f xx′( 0,y0) oraz osi Oy dla pochodnej f x yy′( 0, 0).
Jednakże w wielu zagadnieniach istotne jest określenie prędkości zmiany wartości funkcji f w kierunkach różnych od kierunków osi układu współrzędnych. W takich przypadkach posługujemy się tzw. pochodną kierunkową. Kierunek obliczania takiej pochodnej może być określony poprzez równania parametryczne półprostej o początku w punkcie P0, ewentualnie poprzez wektor. W poniższych określeniach pochodnej kierunkowej słowo definicja ma charakter umowny – w ścisłych definicjach tego pojęcia posługujemy się granicą pewnego ilorazu różnicowego.
Niech p będzie półprostą o początku w punkcie P x0( 0,y0), tworzącą z osiami Ox i Oy odpowiednio kąty
i Zapiszmy równania parametryczne tej półprostej: 0 0 cos : , 0 cos x x t p t y y t = + ≥ = + α β .
Definicja. Pochodną kierunkową funkcji z= f x y( , ) w punkcie P x0( 0,y0) w kierunku półprostej p nazywamy wyrażenie postaci:
(1) f fx(x y0, 0) cos fy(x y0, 0) cos
p= ′ + ′
∂
α β
∂ .
Dla funkcji trzech zmiennych u= f x y z( , , ) oraz półprostej p o równaniach:
0 0 0 cos : cos , 0 cos x x t p y y t t z z t = + = + ≥ = + α β γ .
pochodna kierunkowa przyjmie postać:
(2) x( 0, 0, 0) cos y( 0, 0, 0) cos z( 0, 0, 0) cos
f f x y z f x y z f x y z p= ′ + ′ + ′ ∂ α β γ ∂ .
W przypadku, gdy kierunek określony jest poprzez wektor w=[wx,wy] (lub w=[wx,w wy, z]) pochodną kierunkową można wyznaczyć ze wzoru:
(3) ( ,0 0) x ( ,0 0) y x y w w f f x y f x y w= ′ w + ′ w ∂ ∂ lub (4) ( ,0 0, 0) x ( ,0 0, 0) y ( ,0 0, 0) z x y z w w w f f x y z f x y z f x y z w= ′ w + ′ w + ′ w ∂ ∂ ,
2
gdzie w oznacza długość wektora w, którą obliczamy ze wzoru 2 2
x y
w w w dla (3) lub
2 2 2
x y z
w w w w dla (4).
Definicja. Gradientem funkcji z= f x y( , ) w punkcie P x0( 0,y0) nazywamy wektor (5) grad ( ,f x y0 0)= f x yx′( ,0 0) , f x yy′( ,0 0) .
Analogicznie, dla funkcji u= f x y z( , , ) trzech zmiennych mamy:
(6) grad ( ,f x y z0 0, 0)= f x y zx′( ,0 0, 0) , f x y zy′( ,0 0, 0), f x y zz′( ,0 0, 0) .
Uwaga. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. Dlatego też jest on szeroko wykorzystywany w zagadnieniach praktycznych. Znalazł on między innymi zastosowanie w gradientowych metodach optymalizacji, w których wskazuje on kierunek poszukiwań lokalnego maksimum (lub minimum) funkcji.
Przykład. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji 3 2 ( , ) 2
z= f x y = x +y w punkcie P0(1,1) w kierunku
osi p wyznaczonej przez kąty: 6 =π α , 3 =π β .
Rozwiązanie. Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu oraz wartości tych pochodnych w punkcie 0(1,1) P : 2 ( , ) 6 x f′ x y = x , to fx′(x0,y0)= fx′(1,1)= , 6 f x yy′( , )=2y, to fy′(x y0, 0)= fy′(1,1)= . 2 Stąd 0 0 0 0 3 1
( , ) cos ( , ) cos (1,1) cos (1,1) cos 6 2 3 3 1
6 3 2 2 x y x y f f x y f x y f f p= ′ + ′ = ′ + ′ = ⋅ + ⋅ = + ∂ π π α β ∂
Przykład. Pole temperatur w każdym punkcie ciała
{( , , ) : 0 , 0 , 0 }
V = x y z < <x π < <y π < <z π określone jest funkcją
( , , ) 4sin( ) cos(2 )
T x y z = x−z + y+z .
Znaleźć kierunek najszybszego wzrostu temperatury w punkcie , , 2 2 6 π π π .
Rozwiązanie. Kierunek najszybszego wzrostu temperatury wskaże nam gradient funkcji T w punkcie
0 , , 2 2 6 T
π π π
. Posłużymy się zatem następującym wzorem:
grad , , , , , , , , , ,
2 2 6 x 2 2 6 y 2 2 6 z 2 2 6
Tπ π π=T′π π π T′π π π T′π π π
. Obliczamy pochodne cząstkowe funkcji T oraz wartości tych pochodnych w punkcie T : 0
( , , ) 4 cos( )
x
T x y z′ = x−z , stąd
3 1
, , 4 cos 4 cos 4 cos 4 2
2 2 6 2 6 6 6 3 2 x T′π π π= π−π= π−π= π= ⋅ = . ( , , ) sin(2 ) 2 2 sin(2 ) y T x y z′ = − y+z ⋅ = − y+z , stąd , , 2sin 2 2 sin 2 2 6 2 6 6 y T′ = − ⋅ + = − + = π π π π π π π
3 = wzór redukcyjny : sin(π+α)= −sinα 1 2sin 2 1 6 2 = π= ⋅ = .
( , , ) 4 cos( ) ( 1) [ sin(2 )] 4 cos( ) sin(2 )
z T x y z′ = x−z ⋅ − + − y+z = − x−z − y+z , stąd , , 4 cos sin 2 2 2 6 2 6 2 6 z T′ = − − − ⋅ + = π π π π π π π
4 cos 3 sin 4 cos sin
6 6 6 3 6 = − − − + = − + = π π π π π π 4 1 1 2 1 3 2 2 2 2 = − ⋅ + = − + = − . Zatem 3 grad , , 2, 1, 2 2 6 2 T = − π π π . Przykład. Obliczyć gradient funkcji 2
ln( )
u= x −yz w punkcie P0( 2 , 1, 3)− oraz pochodną kierunkową tej funkcji w kierunku gradientu.
Rozwiązanie. Wyznaczamy wartości pochodnych cząstkowych w punkcie P : 0
2 2 1 2 2 x x u x x yz x yz ′ = ⋅ = − − , to 0 0 0 4 ( , , ) ( 2,1,3) 4 4 3 x x u x y z′ =u′ − = − = − − . 2 2 1 ( ) y z u z x yz x yz ′ = ⋅ − = − − − , to 0 0 0 3 ( , , ) ( 2,1,3) 3 4 3 y y u x y z′ =u′ − = − = − − . 2 2 1 ( ) z y u y x yz x yz ′ = ⋅ − = − − − , to 0 0 0 1 ( , , ) ( 2,1,3) 1 4 3 z z u x y z′ =u′ − = − = − − . Zatem
grad u x
(
o,
y z
o,
o)
[
4
,
3 1
,
]
. Aby obliczyć pochodną kierunkową wyznaczamy najpierw długość wektora w:2 2 2 [ 4, 3, 1] ( 4) ( 3) ( 1) 26 w= − − − ⇒ w= − + − + − = . Stąd ( ,0 0, 0) x ( ,0 0, 0) y ( 0, 0, 0) z x y z w w w u f x y z f x y z f x y z w= ′ w + ′ w + ′ w = ∂ ∂ 4 3 1 26 4 ( 3) ( 1) 26 26 26 26 26 − − − = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = = .
4
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Obliczyć gradient funkcji:
38. f x y( , )= x2+y2 w punkcie 0(3, 4) P , 39. ( , )f x y lny x = w punkcie P0(1,1), 40. ( , )f x y =xsiny w punkcie P0(2, 0), 41. 2 3 ( , , ) f x y z =xy z w punkcie P0(1, 1, 2)− . Znaleźć pochodną kierunkową funkcji:
42. 2
( , )
f x y =x +yx w punkcie P0(3 , 5), w kierunku wektora w=[4, 3]− ,
43. ( , )f x y =arctgxy w punkcie P0(1 ,1), w kierunku wektora w=[ 5 , 2],
44. 2 2 2
( , , )
f x y z =x +y +z w punkcie P0(2, 2,1)− , w kierunku gradientu w tym punkcie.
Opracowanie: dr Igor Kierkosz
