Krzywe stożkowe

Algebra

Krzywe sto˙zkowe

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Krzywe sto˙zkowe

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Współrz ˛edne biegunowe

g ρ O A θ • O — biegun • O´s biegunowa g

• Kierunek odliczania k ˛atów

• (ρ, θ) współrz ˛edne biegunowe

Równanie krzywej we współrz ˛ednych biegunowych

• ϕ(ρ, θ) = 0

Przykład 1 (Okr ˛ag). ρ = 2R cos θ

O

A

A0

θ

Współrz ˛edne biegunowe a kartezja ´nskie

Równanie prostej we współrz ˛ednych biegunowych

• ax + by + c = 0, c < 0 • _{ρ cos(α − θ) = ρ0}, gdzie ◦ cos α = √ a a2_+b2, ◦ sin α = √ b a2_+b2, ◦ ρ_{0 = −}√ c a2_+b2, Algebra – p. 6/24

Krzywa sto˙zkowa

• Krzyw ˛a sto˙zkow ˛a nazywa si ˛e krzywa, powstała na przeci ˛eciu sto˙zka i płaszczyzny.

Ogniska i kierownice

• Ka˙zda krzyw ˛a sto˙zkow ˛a, oprócz okr ˛egu, jest miejscem geometrycznym punktów, maj ˛acych stały stosunek

odległo´sci od pewnego punktu F i pewnej prostej δ

• Punkt F nazywa si ˛e ogniskiem krzywej

• Prosta δ nazywa si ˛e kierownic ˛a krzywej

Ogniska i kierownice, cd

• F M = BM, • AM = h/ sin α, BM = h/ sin β • F M AM = BM AM = sin α sin β = λ

Klasyfikacja krzywych sto˙zkowych

• W zale˙zno´sci od mimo´srodu λ, krzywa sto˙zkowa nazywa si ˛e

◦ elipsa λ < 1

◦ parabola λ = 1

◦ hyperbola λ > 1 — składa si ˛e z dwóch gał ˛ezi

Równanie we współrz ˛ednych biegunowych

• Niech biegun pokrywa si ˛e z ogniskiem krzywej, a o´s biegunowa b ˛edzie przecinała prostopadle kierownic ˛e

• Niech p b ˛edzie odległo´sci ˛a ogniska od kierownicy

• W przypadku elipsy i paraboli _{p−ρ cos θ}ρ = λ

• W przypadku hiperboli _{p−ρ cos θ}ρ _{= ±λ}

• W postaci rozwi ˛azanej wzgl ˛eden ρ:

◦ W przypadku elipsy i paraboli ρ = _{1+λ cos θ}λp

Równanie we współrz ˛ednych kartezja ´nskich

• ρ2 = λ2_{(p − ρ cos θ)}2 • x2 + y2 = λ2_{(p − x)}2 • _{(1 − λ)}2_x2 _{+ 2pλ}2_{x + y}2 _{− λ}2_p2 _{= 0} • _{λ 6= 1} ◦ _{(1 − λ}2₎_{x +} pλ2 1−λ2 2 + y2 _{− 1−λ}p2λ22 = 0 ◦ Nowe współrz ˛edne: x′ = x + _1−λpλ22, y′ = y • Elipsa: x_a′22 + y′2 b2 = 1 • Hiperbola: x_a′22 − y′2 b2 = 1 ◦ gdzie a2 = _(1−λλ2p22₎2, b 2 ₌ λ2 p2 |1−λ2 | — półosie ◦ równanie kanoniczne Algebra – p. 12/24

Równanie kanoniczne paraboli

• _{(1 − λ)}2_x2 _{+ 2pλ}2_{x + y}2 _{− λ}2_p2 _{= 0} • λ = 1 ◦ 2px + y2 _{− p}2 = 0 ◦ y2 _{− 2p −x +} p₂
= 0 ◦ Nowe współrz ˛edne: x′ _{= −x +} p₂, y′ = y ◦ y′2 _{− 2px}′ = 0

Wła´sciwo´sci elipsy

• x2

a2 +

y2

b2 = 1, a > b > 0

• Symetria wzgl ˛edem osi i ´srodka układu współrz ˛ednych

• Elipsa zawarta jest wewn ˛atrz prostok ˛atu _|x| 6 a, |y| 6 b

• a nazywa si ˛e wi ˛eksz ˛a półosi ˛a, b — mniejsz ˛a półosi ˛a.

• Punkty _{(±a, 0)}, _{(0, ±b)} — wierzchołki elipsy

Elipsa a okr ˛

ag

• Elipsa mo˙ze zosta´c otzrymana z okr ˛egu x_a22 +

y2

b2 = 1 poprzez

Wła´sciwo´sci hiperboli

• x2

a2 −

y2

b2 = 1, a, b > 0

• Symetria wzgl ˛edem osi i ´srodka układu współrz ˛ednych

• Hiperbola znajduje si ˛e na zewn ˛atrz od prostok ˛atu

|x| 6 a, |y| 6 b

• Hiperbola jest poło˙zona poza k ˛atem |x|_a < |y|_b

• a nazywa si ˛e rzeczywist ˛a półosi ˛a, b — półosi ˛a urojon ˛a.

• Punkty _{(±a, 0)} — wierzchołki hiperboli

Asymptoty hiperboli

• Proste x_{a ±} y_b = 0 s ˛a asymptotami hiperboli

• Odległo´s´c od punktów hiperboli do asymptot d ˛azy do ˙zera przy x2 + y2 _{→ ∞}

◦ Niech punkt (x, y) le˙zy na hiperboli

◦ Liczby x_a + y_b   oraz  x_a − y_b   s ˛a proporcjonalne do odległo´sci ◦  x_a + y b   ·  x_a − y b   = 1

◦ Załó˙zmy, ˙ze odległo´sci nie d ˛az ˛a do zera, wtedy istnieje taka liczba ε > 0, ˙ze dla wszystkich punktów (x, y)

hiperboli spełniono x_a + y_b   > ε oraz  x_a − y_b   > ε ◦ A wi ˛ec x_a + y_b   < 1_ε oraz  x_a − y_b   < 1_ε ◦ Czyli x_aa2 + y2 b2 < 1

ε2, co jest sprzeczne z tym, ˙ze

Hiperbola sprz ˛e˙zona

• Hiperbola x_a22 −

y2

b2 = −1 nazywa si ˛e sprz ˛e˙zon ˛a do hiperboli

x2

a2 −

y2

b2 = 1

◦ Hiperbola i hiperbola do niej sprz ˛e˙zona maj ˛a wspólne asymptoty

◦ Hiperbola sprz ˛e˙zona znajduje si ˛e w k ˛atach uzupełniaj ˛acych

Parabola

• y2 = 2px

◦ Parabola jest symetryczna wzgl ˛edem osi Ox

◦ O´s symetrii nazywa si ˛e osi ˛a paraboli

◦ Przeci ˛ecie osi z parabol ˛a nazywa si ˛e wierzchołkiem paraboli

Równania parametryczne

• parabola ( x = _2pt2 , y = t • elipsa ( x = a cos t, y = b sin t • hiperbola ( x = a cosh t, y = b sinh t

◦ cosh t = et+e₂ −t , sinh t = et−e₂ −t

Styczna do krzywej w punkcie

(x

₀

, y

₀

)

• Styczn ˛a do krzywej sto˙zkowej (x₀, y₀) nazywa si ˛e prosta, która ma z ni ˛a dokładnie jeden punkt przeci ˛ecia (i nie jest równoległa do osi dla paraboli)

• Sens geometryczny stycznej: graniczne poło˙zenie

siecznych przechodz ˛acych przez punkty (x₀, y₀) i (x₁, y₁)

gdy punkt (x₁, y₁) d ˛a˙zy do (x₀, y₀)

• Mo˙zna podstawi´c równanie parametryczne prostej, wychodz ˛acej z punktu (x₀, y₀) do równania krzywej:

◦ styczna do paraboli yy₀ = p(x + x₀) ◦ styczna do elipsy xx0 a2 + yy0 b2 = 1 ◦ styczna do hiperboli xx0 a2 − yy0 b2 = 1

Wła´sciwo´sci ogniskowe

• Elipsa i hiperbola maj ˛a drugie ognisko i drug ˛a kierownic ˛e

• Suma odległo´sci punktów elipsy od ognisk jest stała

• Ró˙znica odległo´sci punktów hiperboli od ognisk jest stała

• Ogniska elipsy maj ˛a współrz ˛edne _{(0, ±c)}, c = √a2 _{− b}2

• Ogniska hiperboli maj ˛a współrz ˛edne _{(0, ±c)}, c = √a2 + b2

• Promie ´n ´swietlny wychodz ˛acy z jednego ogniska elipsy po odbiciu od kraw ˛edzi przejdzie przez drugie ognisko

• Promie ´n ´swietlny wychodz ˛acy z jednego ogniska hierboli po odbiciu od kraw ˛edzi b ˛edzie pokrywał si ˛e z promieniem,

wychodz ˛acycm z drugiego ogniska

• Promie ´n ´swietlny wychodz ˛acy z ogniska paraboli po odbiciu od kraw ˛edzi b ˛edzie równoległy do jej osi

´

Srednice krzywej sto˙zkowe

• Srednic ˛´ a elipsy (hiperboli) nazywamy odcinek, przechodz ˛acy przez jej ´srodek

• Srednic ˛´ a paraboli jest prosta, równoległa do jej osi.

• Srodki równoległych siecznych znajduj ˛´ a si ˛e na ´srednicy 1. Sieczna jest równoległa do osi współrz ˛ednych

2. _{y = kx + b, k 6= 0}, elipsa (hiperbola) αx2 + βy2 = 1

◦ yc = −_βkα xc

◦ ´srednica _{y = −βk}α x jest sprz ˛e˙zona do ´srednicy y = kx

3. _{y = kx + b, k 6= 0}, parabola

Krzywe drugiego stopnia

• a₁₁x2 + 2a₁₂xy + a₂₂y2 + 2a₁x + 2a₂y + a = 0, przynajmniej jeden ze współczynników a₁₁, a₁₂, a₂₂ jest niezerowy.

• Niepusta krzywa drugiego stopnia:

◦ krzywa sto˙zkowa

◦ dwie proste (by´c mo˙ze pokrywaj ˛ace si ˛e)

◦ punkt

• Przykład

3x2 + 3y3 _{+ 10xy + 14x − 2y − 13 = 0}