f(t, T ) = F(t, T ). Wycena kontraktów futures: Twierdzenie 6.1 Jeśli stopa procentowa jest stała to: Dowód.

Wycena kontraktów futures:

Twierdzenie 6.1

Jeśli stopa procentowa jest stała to:

. Dowód.

Wystarczy wykazać, że .

Dla uproszczenia załóżmy, że dla kontraktu futures operacja „marking to market” jest wykonywana jedynie dwukrotnie w momentach i , gdzie . Pokażemy, że strategię polegającą na:

W momencie 0

i) otwarciu pozycji długiej na kontrakcie forward oraz

ii) ulokowaniu kwoty wg stopy wolnej od ryzyka i w momencie T

iii) zakupu akcji S za i iv) sprzedaży akcji S za ,

(czyli w momencie 0 wydajemy i momencie T otrzymujemy można zreplikować przy pomocy kontraktu futures.

f(t, T ) = F(t, T )

f(0,T ) = F(0,T )

t₁ t₂ 0 < t₁ < t₂ < T

e^−rTF(0,T ) F(0,T )

S(T )

e^−rTF(0,T ) S(T ))

Ta strategia replikująca wygląda następująco:

w momencie 0:

i) ulokowanie kwoty wg stopy wolnej od ryzyka

ii) otwarcie długiej pozycji na części kontraktu futures w wysokości kontraktu jednostkowego w momencie

iii) otrzymujemy z tytułu „marking to market” (płacimy jeśli kwota jest ujemna) iv) lokujemy (lub pożyczamy) kwotę z punktu iii)

v) zwiększamy pozycję do kontaktu jednostkowego.

(na koncie wolnym od ryzyka mamy po tych operacjach ) w momencie

vi) otrzymujemy z tytułu „marking to market” (płacimy jeśli kwota jest ujemna)

vii) ) lokujemy (lub pożyczamy) kwotę z punktu vi)

viii) zwiększamy długą pozycję na kontrakcie futures do 1 w momencie T

ix) zamykamy lokatę otrzymując

x) zamykamy pozycję na kontrakcie futures otrzymując .

Podsumowując: W momencie 0 zainwestowaliśmy , a zamykając inwestycję w momencie T

otrzymujemy . Argument braku możliwości arbitrażu pokazuje , że zainwestowane kwoty muszą być równe:

e^−rTf(0,T )

e^−r(T−t1) t₁

e^{−r(T − t1)}( f(t1, T) − f(0,T )) e^−r(T−t2)

e^{−r(T − t1)}f(t¹, T) t₂

e^{−r(T − t2)}( f(t2, T) − f(t1, T))

f(t², T)

S(T ) − f(t2, T) e^−rTf(0,T )

S(T )

e^−rTf(0,T ) = e^−rTF(0,T ) .

Strategie zabezpieczające (hedging) z użyciem kontraktów „futures”

Przykład 6.2

Załóżmy, że mamy sprzedać akcję S za 3 miesiące i chcielibyśmy się zabezpieczyć przed zmianą ceny. W tym celu

otwieramy krótką pozycję na kontrakcie futures na tę akcję wygasającym za 3 miesiące. Załóżmy, że stopa procentowa (kapitalizacja ciągłą) wynosi 8% i że kontrakty są „marked to market” co miesiąc. Poniżej dwa scenariusze. Rachunki nie obejmują kosztu utrzymania depozytu zabezpieczającego.

Spadek kursu akcji:

Wzrost kursu akcji:

n S(n) f(n,T) m2m Odsetki:

0 100 102,02

1 99 100,33 1,69 0,02

2 101 101,68 -1,35 -0,01

3 96 96 5,68 0

Total: 6,02 0,01

Wynik: 102,03

n S(n) f(n,T) m2m Odsetki:

0 100 102,02

1 99 100,33 1,69 0,02

2 106 106,71 -6,38 -0,04

3 104 104 2,71 0

Total: -1,98 -0,02

Wynik: 102

Dla odmiany załóżmy że chcemy kupić akcję S za 2 miesiące, a dostępne są jedynie 3 miesięczne kontrakty

„futures” na tę akcję. Otwieramy długą pozycję na kontrakcie. Po dwóch miesiącach zamykamy pozycję i kupujemy akcję. Obliczenia przy tych samych danych wyglądają teraz tak:

Wzrost kursu akcji:

Spadek kursu akcji:

S(n) f(n,T) m2m Odsetki

100 102,02

99 100,33 -1,69 -0,01

106 106,71 6,38 0

Total: 4,69 -0,01

Wynik: 102,03

S(n) f(n,T) m2m Odsetki

100 102,02

99 100,33 -1,69 -0,01

96 96,64 -3,69 0

Total: -5,38 -0,01

Wynik: 102,03

Różnica miedzy ceną „spot” i ceną kontraktu futures (lub forward) nazywana jest bazą:

Baza dąży do zera, gdy . Gdy stopa procentowa jest stała to

(zatem .

Przypuśćmy, że w momencie 0 chcemy zabezpieczyć cenę sprzedaży dobra bazowego S w momencie poprzez otwarcie krótkiej pozycji na kontrakcie futures na dobro S wygasającym w momencie , . Jeśli w momencie sprzedamy S i zamkniemy pozycję na kontrakcie, to otrzymamy

.

Wartość jest znana w momencie 0, więc cała niepewność odnosi się do nieznanej w momencie 0 wartości bazy w momencie . Ta z kolei wynika z niepewności co do ryzyka stóp procentowych.

S(t)

b(t, T ) = S(t) − f(t, T ) t → T

b(t, T ) = S(t)(1 − e

t T 0 < t < T t

S(t)+ f(0,T ) −  f(t, T ) = f(0,T ) + b(t, T ) f(0,T )

t

Aby zminimalizować to ryzyko zmody\ikujmy nieco sposób zabezpieczenie otwierając krótką pozycję nie na jednym, ale na kontraktach terminowych futures, gdzie jest tak dobrane, aby ryzyko bazy było jak najmniejsze.

Baza:

Wariancja bazy (chcemy ją zminimalizować):

To wyrażenie osiąga wartości minimalną, gdy . Jest to tzw. „optimal hedge ratio”

Gdy stopa procentowa jest stała i równa , to , skąd oraz

. Dlatego .

Najbardziej popularnymi i szeroko stosowanymi na rynkach kapitałowych kontraktami futures są kontrakty na indeksy giełdowe.

N N

b_N(t, T) = S(t) − Nf(t, T)

Var(b_N(t, T)) = σ²_S(t) + N²σ²_f(t,T)− 2Nσ_S(t)σ_f(t,T)ρS(t),f(t,T)

N = ρS(t),f(t,T) σ_S(t) σ_f(t,T)

r f(t, T) = S(t)e^r(T−t) ρS(t),f(t,T) = 1 σ_f(t,T) = e^r(T−t)σ_S(t) N = e^−r(T−t)

Przykład 6.2 , , - wszystkie wartości dla okresu 3-miesięcznego. Kontrakt futures na okres co najmniej 3-miesięczny. Wtedy “optimal hedge ratio”

(często oznaczane przez ). Oznacza, że aby zabezpieczyć na trzy miesiące pozycję o łącznej wartości $1 000 000 należy zająć (również na trzy miesiące) pozycję na kontraktach futures na łączną cenę $642 000.

Przykłady zastosowań

1.Rynek towarowy (commodities market).

Przykłady aktywów będących instrumentami bazowymi dla kontraktów futures:

produkty rolnicze: Live Cattle, Lean Hogs, Feeder Cattle, Class III Milk, Nonfat Dry Milk Powder, Dry Whey, Cheese, Butter, and Random Length Lumber, Cocoa, Coffee, FCOJ,Sugar, Wheat, Soybean Oil , Corn, itp.

surowce: Brent Crude LD, Crude OIL, Heating Oil, Natural Gas, Platinum, Palladium, ultra low sulfur diesel fuel (ULSD)

Większość kontraktów futures na towary jest rozliczana w gotówce. Dzięki temu specy\ikacja

kontraktu jest relatywnie prosta (np. https://www.cmegroup.com/trading/energy/crude-oil/brent- crude-oil-last-day_contract_speci\ications.html). Cena rozliczenia oparta na cenach spot towarów (przykład specy\ikacji https://www.cmegroup.com/tools-information/lookups/advisories/ser/

\iles/SER-7552.pdf) notowanych na giełdach towarowych.

σ_S = 0,65 σ_F = 0,81 ρ = 0,8

N = ρ σ_S

σ_F = 0,8 ⋅ 0,650,81 = 0,642 h*

Przykład obliczeniowy 6.3. (“cross hedging”)

Producent generatorów podpisuje właśnie umowę na dostawę partii generatorów za pół roku. Do wytworzenia zamówionych generatorów będzie potrzebował za trzy miesiące dostawy kabli miedzianych o bieżącej wartości $1 000 000, które będzie musiał kupić

wtedy na rynku po aktualnych cenach. Ceny kabli są mocno skorelowane z cenami miedzi, które z kolei są bardzo zmienne. Do zabezpieczenia ceny zakupu zamierza wykorzystać kontrakty futures na miedź. Aktualnie nie dostępne są kontrakty futures na miedź z

terminem rozliczenia za trzy miesiące, lecz dostępne są kontrakty z terminem rozliczenia za pięć miesięcy. Trzymiesięczna zmienność cen kabli, to , trzymiesięczna

zmienność cen kontraktów to . Współczynnik korelacji pomiędzy

trzymiesięcznym zwrotami z cen kabli, a trzymiesięcznym zwrotami z cen kontraktów futures na miedź to . Aktualna cena miedzi w kontraktach futures z terminem rozliczenia za pięć miesięcy, to $2,819 za funt, przy czym wielkość kontraktu to 25 000 funtów.

Wg wykonanych wcześniej obliczeń należy kupić kontraktów o łacznej cenie $642 000.

Cena jednego kontraktu to . Zatem

.


σ

= 0,65 σ

= 0,81

ρ = 0,8

F = 25000 ⋅ $2,819 = $70475

N = 642000 70475 = 9,11 ≈ 9

Możliwy scenariusz. W ciągu następnych 3 miesięcy ceny miedzi wzrastają o 16,4%.

Ceny kontraktów zakupionych przez producenta kabli wzrastają o 15% do wartości

$3,242 za funt. Ceny kabli, które ma zakupić producent w tym czasie rosną średnio o 10%.

Łączny koszt producenta przy zakupie kabli uwzględniając zabezpieczenie to:

Koszt samych kabli ………..…………..$1000000 x 1,1 = $1100000 minus

Wynik \inansowy po zamknięciu kontraktów .9 x ($3,242-$2,819) x 25000 = $95175 czyli……….……… ..$1004825.

Jest to o $4825 więcej niż gdyby zakupiono kable od razu, ale o $95175 mniej niż

gdyby transakcja nie była zabezpieczona.

2. Rynek kapitałowy.

Na rynku giełdowym powszechnie stosuje się zabezpieczenie portfela akcji

transakcjami na kontraktach futures na indeks giełdowy. Index jest utożsamiany z portfelem rynkowym z CAPM. W konsekwencji za bety akcji przyjmuje się

estymowane bety kursów akcji względem indeksu rynku, na którym akcje są notowane.

Uwaga. Przy załażeniu stałej stopy procentowej , a przy dodatkowym założeniu, że aktywo z przynosi stały dochód proporcjonalny do wartości ceny S z intensywnością (zad. 1 lista Z8) .

Przykład 6.4 Zarządzający funduszem replikującym indeks dochodowy otrzymuje od nowych klientów wpłatę do funduszu niemożliwą do zainwestowania w krótkim czasie. Postanawia rozłożyć zakupy akcji w czasie. W międzyczasie zabezpiecza

portfel przed ucieczką indeksu zajmując długie pozycje na kontraktach futures na indeks. Np. $1000000 do zainwestowania za trzy miesiące zabezpiecza otwierając długą pozycję na kontraktach na indeks pierwszej serii wygasającej najwcześniej w momencie planowanego momentu zakupu koszyka akcji i o łącznej cenie

.

f(t, T) = S(t)e

d f(t, T) = S(t)e

$1000000 ⋅ e

Przykład 6.5 (“beta hedging”) Zauważmy, że proporcję “optimal hedge ratio” można wyrazić

następująco: , gdzie jest betą aktywa

względem aktywa dla danego okresy inwestycji. Jeśli jest kontraktem futures na indeks giełdowy, to zwroty z są bardzo zbliżone do zwrotów z indeksu. Dlatego dla zabezpieczania portfeli akcji stosuje się nieco uproszczone podejście.

Inwestor posiadający dziś (6.05.2019) portfel akcji na GPW o bieżącej wartości PLN 5000000 i wspólczynikiu beta (względem WIG20) równym 1,5 obawia się spadków na giełdzie w ciągu najbliższych dwóch miesięcy. Ponieważ sprzedaż portfela w krótkim okresie nie pozwala na uzyskanie dobrych cen i generuje koszty transakcyjne inwestor użyje kontraktów futures na WIG20. Użyje do tego kotraktów serii FW20U1920 wygasających 20.09.2019. Bieżąca kurs kontraktów to 2320, mnożnik to PLN20.

Aby uczynić portfel beta neutralnym inwestor powinien sprzedać kontrakty w wartości:

=7 504 167,82. Liczba kontraktów

i odkupić je po upływie dwóch miesięcy.

W rzeczywistości ze względu na małą płynność kontraktów wygasających w 09/2019 inwestor będzie musiał sprzedać kontrakty serii FW20M1920 wygasające w 21.06.2019 i na krótko

przed terminem ich wygaśnięcia zamienić je na kontrakty serii FW20U192 (kupić FW20M1920 i sprzedać FW20U1920).

h* = ρ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Cov(K

Var(K

β S

f f

f

PLN5000000 ⋅ 1,5 ⋅ e

7504167,82/(20 ⋅ 2320) = 161,73 ≈ 162