Iloczyn skalarny. , który nie musi mieć nawet postaci Jordana.

Klasyfikacja wszystkich endomorfizmów (nad ciałem algebraicznie domkni ˛etym) w j ˛ezyku postaci Jordana mimo niew ˛atpliwego uroku ma te ˙z swoje wady – wiemy wprawdzie co´s o geometrii ka ˙zdego endomorfizmu z osobna, ale nie rozumiemy zbyt dobrze „struktury algebraicznej" stoj ˛acej za tym opisem geometrycznym. Mówi ˛ac pro´sciej:

maj ˛ac dwa endomorfizmy φ, ψ przestrzeni V, na przykład nad ciałem C, mo˙zemy wyznaczy´c bazy (i postaci) JordanaJ₁,J₂ka ˙zdego z tych endomorfizmów. Uzyskamy informacj ˛e geometryczn ˛a o ka ˙zdym z nich.

Ale nie wiemy za bardzo czym jest z geometrycznego punktu widzenia φ◦ψ. Jego macierz ˛a nie musi by´c przecie ˙z iloczyn macierzy w posta- ci Jordana M(ψ)^J_J²

2·M(φ)^J_J¹

1, który nie musi mie´c nawet postaci Jordana.

Wiemy, ˙ze dla przestrzeni V wymiaru n nad K struktura End(V) to tak naprawd ˛e struktura macierzy Mn×n(K), ale jest tak tylko wtedy, gdy ka ˙zdemu przekształceniu przypiszemy macierz w tej samej bazie.

Wtedy zło ˙zeniu przekształce ´n odpowiada iloczyn macierzy. A wi ˛ec musieliby´smy napisa´c M(ψ)^J_J¹

1·M(φ)^J_J¹

1 lub M(ψ)^J_J²

2·M(φ)^J_J²

2, albo nie- stety M(ψ)^J_J ·M(φ)^J_J, dla jakiej´s bazyJ. Takie podej´scie niestety nie zadziała. Aby spełni´c powy ˙zsze wymagania przyjrzymy si ˛e za jaki´s czas mo ˙zliwo´sci „rozkładania" przekształce ´n na pewne „przekształce- nia podstawowe". Musimy te ˙z okre´sli´c nowy rodzaj baz, wymagaj ˛acy rozwa ˙zania dodatkowej struktury na przestrzeni liniowej. Struktura ta pozwala na mówienie o prostopadło´sci wektorów, i to nie tylko w kon- tek´scie geometrycznym.

Przez kilka wykładów zajmowa´c si ˛e b ˛edziemy jedynie przestrzeniami liniowymi nad ciałem liczb rzeczywistych. Dlaczego? Dla ilustracji roz- maitych zagadnie ´n potrzebujemy odró ˙znia´c skalary dodatnie od ujem- nych. Pó´zniej przyjrzymy si ˛e analogicznym strukturom definiowanym nad dowolnymi ciałami. Poprowadzi nas to do pi ˛eknych i gł ˛ebokich rezultatów. Sama za´s prostopadło´s´c, jak si ˛e oka ˙ze w trakcie całych Pa ´n- stwa studiów, jest poj ˛eciem absolutnie fundamentalnym dla rozumienia wielu struktur matematycznych.

Definicja 47. Niech V b˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a nad ciałemR. Funkcj˛e:

h,i: V×V→R

nazywamy iloczynem skalarnym na przestrzeni V, je´sli dla ka˙z- dych α, β, γ, δ∈V i a, b, c, d∈R zachodzi:

(1) haα+bβ, γi =ahα, γi +bhβ, γi liniowo´s´c wzgl˛edem pierwszej zmiennej, (2) hα,cγ+dδi =chα, γi +dhα, δi liniowo´s´c wzgl˛edem drugiej zmiennej, (3) hα, βi = hβ, αi symetria,

(4) α6=0⇒ hα, αi >0 dodatnia okre´slono´s´c.

Odnotujmy kilka trywialnych własno´sci dowolnego iloczynu skalarne- goh,ina przestrzeni rzeczywistej.

• ha·α, b·βi =abhα, βi, dla dowolnych , a, b∈R oraz α, β∈V,

• hα, 0i = hα, α−αi = hα, αi − hα, αi =0, dla dowolnego α∈V.

• hα+β, α+βi = hα, α+βi + hβ, α+βi = hα, αi +2hα, βi + hβ, βi dla dowolnych α, β∈V.

Mo ˙zliwych iloczynów skalarnych na danej przestrzeni jest całkiem sporo. Zobaczmy kilka przykładów dotycz ˛acych przestrzeni V=_R³. Zacznijmy od fundamentalnego.

• Definiujemy f :Rⁿ×_Rⁿ →_{R wzorem:}

h (x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i =x1y1+x2y2+. . .+xnyn

zadaje iloczyn skalarny na przestrzeniRⁿ, który nazywa´c b ˛edzie- my standardowym iloczynem skalarnym i oznaczamy jako h,i_st. Dzi ˛eki (standardowemu) iloczynowi skalarnemu odczytamy w nowym j ˛ezyku wiele poznanych wcze´sniej konfiguracji. Jest to równie ˙z podstawowy obiekt w elementarnej geometrii analitycznej, cho´c niestety ju ˙z nie geometrii uczonej w szkole (patrzhttps://www.

mimuw.edu.pl/~krych/chemia/2016-2017/ch10-11_geoman.pdf).

Rozwa ˙zmy układ równa ´n o współczynnikach rzeczywistych postaci:











a11x1+ a12x2+. . .+ a1nxn =b1

· · ·

a_m1x₁+am2x2+. . .+amnxn=bm.

(4)

Przyjmijmy, ˙ze v= (x₁, . . . , xn)_{oraz αi} = (α_i1, . . . , αin)_{s ˛}a elementa- miRⁿ, dla 1≤i≤m. Wówczas powy ˙zszy układ równa ´n liniowych zapisa´c mo ˙zemy w postaci układu warunków:

hα₁, vi_st=b1, . . . ,hα_n, vi_st=bn.

Zauwa ˙zmy, ˙ze je´sli e₁, . . . , en jest baz ˛a standardow ˛a przestrzeniRⁿ, to mamy:

he_i, eji =







1, dla i= j, 0, dla i6= j .

To powinno rodzi´c skojarzenia z baz ˛a dualn ˛a. I rzeczywi´scie jest tu bardzo istotny zwi ˛azek z przestrzeni ˛a sprz ˛e ˙zon ˛a. Ka ˙zdemu wektoro- wi α= (a₁, . . . , an)przypisa´c mo ˙zemy funkcjonał f_α ∈ (_Rⁿ)^∗ dany wzorem:

fα(x1, . . . , xn) =a1x1+. . .+anxn= hα, xi,

gdzie x= (x1, . . . , xn). Powy ˙zsze przyporz ˛adkowanie jest bijekcj ˛a, ilustruj ˛ac ˛a izomorfizm pomi ˛edzy V oraz V^∗, gdy dim V<∞.

• Funkcjah,i:R³×_R³→R dana wzorem

h (x1, x2, x3),(y1, y2, y3)i =x1y1+2x1y2+2x2y1+9x2y2+4x3y3 (†) jest iloczynem skalarnym. Sprawdzenie warunków (1)-(3) wykonamy poni ˙zej w bardziej ogólnym kontek´scie. Warunek (4) jest spełniony, bo wyra ˙zenieh (x₁, x2, x3)_,(x₁, x2, x3)izapisuje si ˛e jako:

x²₁+2x₁x₂+2x₂x₁+9x²₂+4x₃²= (x₁+2x₂)²+5x²₂+4x²₃.

• Funkcja f :R³×R³→R dana wzorem

f((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1+4x1y2+4x2y1+5x2y2

spełnia (1)-(3), ale

f((1,−1, 0),(1,−1, 0)) =1·1+4·1· (−1) +4· (−1) ·1+5· (−1) · (−1) = −2, wi ˛ec nie jest ona iloczynem skalarnym naR³.

Fakt 61. Ka˙zdy iloczyn skalarny naRⁿ zadany jest wzorem:

h (x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i =

∑

1≤i,j≤n

aijxiyj,

dla pewnych a_ij ∈ R spełniaj ˛acych aij = a_ji. Co wi˛ecej, dla ka˙zdych liczb aij spełniaj ˛acych aij = aji dla i, j = 1, . . . , n powy˙zszy wzór zadaje funkcj˛e h,i:Rⁿ×Rⁿ→R spełniaj ˛ac ˛a warunki (1)-(3).

Dowód. Niechh,i:Rⁿ×Rⁿ →R b˛edzie iloczynem skalarnym oraz niech(e₁, e2, . . . , en)b ˛edzie baz ˛a standardow ˛aRⁿ. Dla ka ˙zdych i, j= 1, 2, . . . , n okre´slamy aij= he_i, eji. Wówczas warto´s´ch (x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i to:

= hx₁e₁+x₂e₂+_{. . .}+xnen,y₁e₁+y₂e₂+_{. . .}+yneni =

(1)

= x1he₁,y1e₁+y2e₂+. . .+yne_ni +. . .+ xnhe_n,y1e₁+y2e₂+. . .+yne_ni =

(2)

=x₁y₁he₁, e₁i +. . .+x₁ynhe₁, eni +. . .+xny₁hen, e₁i +. . .+xnynhen, eni =

=a11x1y1+a12x1y2+. . .+a1nx1yn+. . .+an1xny1+an2xny2+. . .+annxnyn.

Druga cz ˛e´s´c dowodu wynika z nast ˛epuj ˛acej obserwacji, b ˛ed ˛acej przy okazji bardzo wygodnym narz ˛edziem do obliczania warto´sci iloczynów skalarnych, zwłaszcza niestandardowych, naRⁿ. Mianowie mamy:

 ∑

1≤i,j≤n

a_ijx_iy_j

=^hx₁ x₂ . . . xn

i·













a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ... . .. ... an1 an2 . . . ann













·











 y1

y2

... yn











 .

A zatem to, ˙ze funkcja zadana wzorem wy ˙zej spełnia (1) i (2) wyni- ka łatwo z rozdzielno´sci mno ˙zenia macierzy wzgl ˛edem dodawania.

Natomiast łatwo wida´c, ˙ze je´sli aij=aji, to funkcja ta spełnia (3).

Powy ˙zsza uwaga daje nam dwie informacje: po pierwsze iloczynów skalarnych wRⁿ jest całkiem sporo, a po drugie nie wiemy na starcie do ko ´nca jak je opisa´c, bo nie wiemy jak dobra´c współczynniki a_ij tak, by spełniały warunek (4). B ˛edzie to tre´sci ˛a kryterium Sylvestera, które poznamy za kilka wykładów.

Iloczyny skalarne pełni ˛a fundamentaln ˛a rol ˛e w badaniu wa ˙znych klas przestrzeni niesko ´nczonego wymiaru. Ograniczmy si ˛e w tym miejscu do podania dwóch przykładów ze skryptu.

• W przestrzeniR^∞rozpatrujemy podprzestrze ´n l²zło ˙zon ˛a ze wszyst- kich ci ˛agów(x_i)takich, ˙ze

∑

x²_i <_∞.

Wówczas (i to trzeba udowodni´c) funkcja h,i : l²×l² →R dana wzorem

h (x_i),(y_i)i =

∑

x_iy_i

jest iloczynem skalarnym na l².

• Niech C[a, b]oznacza przestrze ´n wszystkich funkcji ci ˛agłych[a, b] → _R.

Funkcjah,i: C[a, b] ×C[a, b] →R dana wzorem hf , gi =

Z b

a f(x)g(x)dx jest iloczynem skalarnym na przestrzeni C[a, b].

Widzimy, ˙ze w obydwu przypadkach wprowadzenie iloczynu skalar- nego wymaga nietrywialnych definicji i faktów analitycznych (i nie tylko). St ˛ad tez rozwa ˙zania na temat niesko ´nczenie wymiarowych prze- strzeni liniowych (m.in) z iloczynem skalarnym stanowi ˛a przedmiot semestralnego wykładu na wy ˙zszych latach.

Definicja 48. Par˛e(V,h,i)gdzie V jest sko ´nczenie wymiarow ˛a przestrzeni ˛a liniow ˛a nadR ah,ijest iloczynem skalarnym na V nazywamy przestrze- n i ˛a e u k l i d e s o w ˛a l i n i o w ˛a.

Definicja 49. Niechh,ib˛edzie iloczynem skalarnym na przestrzeni V. Dłu- g o ´s c i ˛a(albo norm ˛a) wektora α∈V nazywamy liczb˛ekak =^phα, αi. Norma zale ˙zy od wyboru iloczynu skalarnego. Wektor(3, 4)ma:

• norm ˛e√

3²+4²=5, je´slih,ito standardowy iloczyn skalarny,

• norm ˛ep3²+ (₂·4)²=√

73, je´slih (x₁, x2)_,(y₁, y2)i =x₁y₁+_2x2y₂. Nowo zdefiniowana funkcja „zachowuje" si ˛e jak znana ze szkoły dłu- go´s´c, co wyra ˙zaj ˛a nast ˛epuj ˛ace „znane" fakty.

Fakt 62. Niechh,ib˛edzie iloczynem skalarnym na przestrzeni V. Wówczas dla ka˙zdych α, β∈V zachodzi:

• nierówno´s´c Schwarza:|hα, βi| ≤ kαk · kβk,

• nierówno´s´c trójk ˛ata:kα+βk ≤ kαk + kβk,

• twierdzenie Pitagorasa:

hα, βi =0 =⇒ kαk²+ kβk²= kα+βk².

Dowód. Dowód (1). Je´sli α=0, to obie strony nierówno´sci s ˛a zerami.

W przypadku, gdy α 6= 0 rozwa ˙zamy funkcj ˛e f : R → R zadan ˛a wzorem f(t) = ktα+βk². Zatem

f(t) = htα+β, tα+βi =

=thα, tα+βi + hβ, tα+βi =

=t²hα, αi +thα, βi +thβ, αi + hβ, βi =

=t²kαk²+2thα, βi + kβk².

Na mocy warunku (4) z definicji iloczynu skalarnego dla ka ˙zdego t ∈ R mamy f(t) ≥ 0, a zatem wyró ˙znik trójmianu kwadratowego t²kαk²+2hα, βit+ kβk²musi by´c niedodatni, tj.∆≤0, gdzie

∆= (2hα, βi)²−4kαk²kβk²=4hα, βi²−4kαk²kβk².

St ˛ad wynika (1). Do dowodu (2) i (3) wykorzystujemy przydatn ˛a w ra- chunkach to ˙zsamo´s´c, wynikaj ˛ac ˛a z naszych wcze´sniejszych obserwacji.

kα+βk²= kαk²+2hα, βi + kβk²,

któr ˛a wyprowadza si ˛e jak powy ˙zej. Wówczas na mocy (1) mamy:

kα+βk²≤ kαk²+2kαk · kβk + kβk²= (kαk + kβk)².

Z nierówno´sci Schwarza wynika natychmiast, ˙ze dla ka ˙zdej pary nieze- rowych wektorów α, β∈V mamy:

−1≤ hα, βi kαk · kβk ≤1.

Dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej r∈ [−1, 1]istnieje dokładnie jedna liczba θ∈ [0, π], ˙ze cos θ=r.

Definicja 50. Niechh,ib˛edzie iloczynem skalarnym na przestrzeni V. Niech α, β b˛ed ˛a niezerowymi wektorami przestrzeni V. Liczb˛e θ ∈ [0, π]tak ˛a, ˙ze

hα, βi

kαk · kβk =cos θ

nazywamy (niezorientowanym) k ˛at e m m i ˛e d z y w e k t o r a m i α i β.

Fakt 63. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnymh,i dla ka˙zdych niezerowych α, β mamy:hα, βi = kαk · kβkcos θ, gdzie θ jest k ˛atem pomi˛e- dzy wektorami α i β.

Zobaczmy przykład rachunków zwi ˛azanych z wprowadzonymi poj ˛e- ciami rozwi ˛azuj ˛ac nast ˛epuj ˛ace zadanie.

Fakt 64. Niech α, β b˛ed ˛a liniowo niezale˙znymi wektorami w przestrzeni li-

niowej V z iloczynem skalarnym takimi, ˙zekαk = kβk =1. Pokaza´c, ˙ze dla Jaka jest geometryczna interpretacja tego

´cwiczenia?

ka˙zdego t∈ (0, 1)zachodzi nierówno´s´c

k(1−t)α+tβk <1.

Rozwi ˛azanie. Dowód 1. Korzystamy z nierówno´sci trójk ˛ata, która jest ostra dla wektorów liniowo niezale ˙znych (dlaczego?):

k(1−t)α+tβk < k(1−t)αk + ktβk =1−t+t=1.

Ostatni krok jest OK, bo 1−t>_{0 i t}>_0.

Dowód 2. Skorzystamy z wniosku z nierówno´sci Schwarza:

hv, wi<kvkkwk,

dla wektorów liniowo niezale ˙znych (dlaczego?) u, v∈V. Rozpisujemy k(1−t)α+tβk²= h (1−t)α+tβ,(1−t)α+tβii dalej:

h (1−t)α+tβ,(1−t)α+tβi = h (1−t)²hα, αi +t²hβ, βi + (1−t)thα, βi +t(1−t)hβ, αi =

= h (1−t)²kαk²+t²kβk²+2(1−t)thα, βi

<(1−t)²kαk²+t²kβk²+2(1−t)tkαkkβk

= (1−t)²+t²+2t(1−t) = (1−t+t)²=1