Archiv der Mathematik und Physik : mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten.

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A rchiv

der

Mathematik und Physik

mit besondercr Riicksicht

auf die Bedürfiiisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten.

Herausgegeben

Johann August Grunert,

Professor tn Greifswald.

cV v' ;

Dreiunddreissigster Theil.

Mit zwei lithographirten Tafeln.

Greifswald.

C. A. Koch’s Verlagsbuchhandlung, Th. Kunike.

PRACOWNIA ZŁOTNICZA Piotr Zimny

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' 48-100 GŁUBCZYCE/

1859.

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Inhaltsverzeichniss des dreiunddreissigsten Theils.

Nr. der Abhandlung.

I.

IV.

V.

VII.

vm.

Arithmetik.

Heft. Seite.

Zerlegung der Gleichung a:a— in Fnktoren. Von Herrn Professor Dr. König nni Kneipliöf’schen Gyinnasium zu Königsberg

i. Pr... I. 1 Zur Auflösung der Gleichung 3:a-|-ya = Sa in

ganzen Zahlen. Von Herrn J. B. Sturm in

Regensburg...I. 92 Zur Theorie der periodischen Decimalbrüche.

Von Herrn J. B. Sturm in Regensburg . I. 94 Ueber das RationalmachendesNenners inBrüchen

von der Form

Z ____ ___ _

«i -jf- + •••• + Vßn Von Herrn Franz Unferdinger, Łehrer der Mathemntik in der k. k. österreichischen Kriegs- Marinę, eingeschifft anf Sr. Maj. Propeller Fre-

gatte Donau... .1. 104 Ueber eine Eigenschaft der geometrischen Pro-

gression 1, 3, 9, 27,.... Von Herrn Franz Unferdinger, Łehrer der Mathematik in der k. k. ósterreichischen Kriegs-Marine, eingeschifft

anf Sr.Maj. Propeller-Frcgatte Donau ... I. 106

II

Nr. der

Abhandlung. Heft. Seite.

X. Notę über Diflerenz- und Diflerential-Quotienten von allgemeiner Ordnungszahl. Von Ilerrn Si­

mon Spitzer, Professor an der Handel»-Aka-

XI.

demie zuWien...

Notę zur Integration einer linearen Differential- gleichung der Form

y(«) = \xmy" 4- Bxm~1 y' -j- Cxm—'1y.

Von Herm Simon Spitzer, Profegsoran der

I. 116

XIV.

Handel» - Akademie zn Wien... . Integration derpartiellen Differentialgleichnngen erster und zweiter Ordnung. Von Herrn Doctor A. Weiler, Lehrer der Mathematik an der

I. 11S

höheren Bürgerschule zu Mannheim . . . II. j1 171

XVIII. Sur la transformation des fonctions elliptiqne«

de la première espèce. Par Monsieur Dr. G. F.

iii. ii 249

XIX.

W. BachrâGroningue . ...

Einiges ńber Kettenbrüche. Von Herrn Dr. J.

F. König, Professor am Kneipliöf’schen Gym-

ni. 354

XXI.

nasio zu Königsberg i. Pr...

Integration der linearen Diflerentialgleichung a:2ny(n) = ^xy' | By.

Von Herrn Simon Spitzer, Professor an der

IV. 369

XXII.

Handels-Akademie zu Wien...

Notę bezüglich eines zwischen Differenzenglei- chungen und Diflerentialgleicliungen stattfln- dendenReciprocitätsgesetzes. Von Herrn Simon Spitzer, Professor an der Handels-Akademie

IV. 413

XXIII.

zu W i e n...

Notę über unendliche Kettenbrüche. Von Herrn Simon Spitzer, Professor an der Handels-

IV. 415

XXVII.

Akademie zu Wien...

Zur Aufliisung biqiiadratischer Gleichungen.

Von Herrn Dr. Carl Spitz, Lehrer am Poły-

IV. 418

XXVIII.

technikum zu Carlsruhe...

Ueber periodische Kettenbrüclie. Von Herrn Dr. 0. Simon, ordentlichem Lehrer am königl.

IV. 442

Joacliimstharschen Gymnasio zu Berlin . . IV. 448

III

Nr. der

Abbandlung. Heft.

XXIX. Integration der Gleichung '

(“* + h + c)^ +a^

Von Berrn Simon Spitzer, Professor an der Handels-Akademie zu Wien ... IV.

XXXI. Darstellung des unendlichen Kettenbruchs y(x) = n (23>+1) |--- -- --- ---

«<2"+3> + ^+5)+^

in gesclilossener Form. Von Herrn Simon Spitzer, Professor an der Handels-Akademie zuWien. , ... . . . . ■ IV.

XXXII. Integration der partiellen Differentialgleichung

<a;+^’S+OT^a;+2')£ + ”,^a:+y)S+”S==0-

Von Herrn Simon Spitzer, Professor an der Handels - Akademie zn Wien ... IV.

XXXIV. Ueber den Werth von ««+*«. Von Herrn Pro­

fessor Doctor J. Dienger am Polytechnikum in Karlsruhe ... ... .... IV.

Geometrie.

IX. Ueber einige Sätze der hóheren Geometrie. Von Herrn Doctor Otto Böklen zu Snlz a. N. in Wńrtemberg... I.

XII. Zur Bestiiumung der Rauminhalte und Schwer- punkte von Körpern zwisclien zwei Parallel-Ebe- nen und einer zusaminenhängenden Umfläche.

Von Herrn Dr. Wilh. Matzka, Professor der Matbematik an der Hochsclmle in Prag . . II.

XIII. Ueber die Construction der Tangenten gewisser ebener Curven. Von Herrn Doctor Wiegers zu Berlin... II.

XV. Ueber den Kreis, der durcli die Aehnliclikeits- punkte zweier Kreise bestimint ist. Von Herrn Eduard Noeggorath, ordentlicliem Lelirer

Seite.

461

474

476

481

111

121

166

IV

Nr. der

Abhandlung. Heft.

fur mathematiache Wiaaenachaften an der Ktinigl.

Provinzial-Gewerbeschnle zu Saarbrucken . III.

XVII. Zusätzo zu den in Theil XXXI. Heft 4. und in Theil XXXII. Heft 2. gegebenen Gränzverhält- nissen und Ableitung der Formę! für den Krüm- mnngaradiua. VonHerrn Doctor Völler, Leh- rer an der Realschule zuSaalfeld . . , . III.

XX. Einige Bemerkungen iiber die von den Krüm- mungalinien auf dem Ellipsoid gebildeten Vier- ecke. Von Herrn Doctor Plagemann zu Wiamar... .... IV.

XXIV. Zur Łehre vom Dreieck. Von Herrn Frań z Unferdinger, Łehror der Mathematik in der k. k. österreichiachen Kriega-Marinę, einge- achifft auf Sr. Maj. Propeller-Fregatte Donau IV.

XXX. Die Brennpunkte eines Kegelschnitta ais solche Punkte der Ebene aufgefaast, in welchen je zwei entsprechende Punkte zweier kreiavcrwandter Systeme vereinigt siad. Von Herrn Doctor II. Siebeck, Director der Provinzial-Gewer- beachule zu Łiegnitz ... IV.

XXXIII. Demonstratio theorematia Łambertini de aecto- ribusparabolicisquadrandis. Auctore Dra. Chri- stiano Fr. Lindman, Lect. Strengne- aenai. ... IV.

XXXVI. Beweis der Construction der mittleren Propor- tionaie von Gonzy. Von Herrn Doctor Zin- ken, gen. Sommer, in Braunachweig . . IV.

Trygonometrie.

II. Das spliärische Dreieck dargestellt in aeinen Beziehnngen zum Kreia. (Fortaetzung der Ab­

handlung in Theil XXIX. S. 479.). Von Herrn FranzUnferdinger, Łehrer der Mathematik in der k. k. öatcrreichiachen Kriega-Marinę, eingcachifTt auf Sr. Maj. Propclier-Fregntte Donau... I.

Seite.

329

350

390

420

462

478

488

1l

V

Nr. der Abhandlung.

III.

XVI.

XXV.

XXVI.

III.

Heft. Seife.

Neuer Beweis des von Herm Grunert in der Abhandlung:

Daa sphfirische Dreieck, mit seinem Sehnen- dreieck verglichen, mitbesonderer Rüeksicht auf Geodäsie. Neuer merkwürdiger Lehr- satz. Archiv. Thl. XXV. S. 197.

gegebenen Theorems. Von Herrn Franz Un- ferdinger, Lclirer der Mathematik in der k. k.

österreichischen Kriegs-Marine, eingeschifft auf

Sr. Maj. Propeller-Fregatte Donau .... 1. 89 Ueber einige goniometrische Formeln. Von

Herrn Doctor Wiegerszu Berlin . . . . III. 338 Einfache Begründung der ebenen Trigonometrie.

Von Herrn Franz Unferdinger, Łehrer der Mathematik in der k. k. iisterreichischen Kriegs- Marine, eingeschifft auf Sr. Maj. Propeller-

Fregatte Donau...IV. 429 Bestimmung der Quadraturen sämmtlicher Ke-

gelschnitte mittelst jenes in Theił XXXI. S. 449 hewiesenen allgemeinen Satzes von den Curven.

Von Herrn Doctor Völler, Łehrer an derReal-

schule zu Saalfeld... ... IV. 433

G e o d ä s i e.

Neuer Beweis des von Herrn Grunert in der Abhandlung:

Das sphärische Dreieck, mit seinem Sehnen- dreieck Terglichen, mit besonderer Rücksicht auf Geodäsie. Neuer merkwürdiger Łehr- satz. Archiv. Thl. XXV. S. 197.

gegebenen Theorems. Von Herrn Franz Un­

ferdinger, Łehrer der Mathematik in der k. k.

ósterreichischen Kriegs-Marine, eingeschifft auf

Sr. Maj. Propeller-Fregatte Donau .... I. 89 Ueber die Bestimmung jener drei Gleichungen,

welche dienen, aus gemachten Ablesungen am Łimbns eines Winkelinstrumentes die Excentri- VI.

VI

Nr. der

Abhandlung. Heft. Seite.

citätdesselbenzu berechnen. Von Ilerrn Theo­

dor Andres, k.k. Hauptmann im 16ten Łinien-

Infanterie-Regimentu zu Prag...1. 95

Uebungsaufgaben fiir Schiller.

XXXV. Geometrische Aufgabe. Von Ilerrn Doctor Lind-

man zu S tren gna a in Schweden...IV. 486e XXXV. Zu beweisende Relation aus der sphärischen

Trigonometrie:

sinösinC-|-cosd cosCcos 4 = sin Z? sinC— cos B cos C cos a von Cayley... IV. 487 XXXV. Zwei zu beweisende Łehrsatze. Von Ilerrn Doc­

tor II. Siebeck, Director der Provinzial-Ge-

werbeschulc zu Łiegnitz... IV. 487

Łiterarische Berichte *).

•) Jede einzelne Nummer der Literarischeu Berichte isl fiir sieli be- sonders paginirt von Seite 1 aik

CXXIX... I. 1 CXXX...II. I CXXXI... III. 1 CXXXII... IV. 1

r,.’Łi

I.

Zerlegung der Gleichung

i1 *n Fa^toren )•

.) Au.zug ... einem von mi' ge.chriebenen Schulprogramme. K.

Theil XXXIII. 1

Von

Herm Professor Dr. König

am Kneiphöf’sclien Gymna.iuin iu Königsberg i. P

§. 1.

Setzt man die Gleichung

x1—fgy't='1 gleich dem Produkte der 4 Faktoren:

a + b Vf+ c + d ~ A ’ a—bVf— cVg + <lVfg=B, a-\-bVf—cVg — d^f9— C’

a—bvf+cVg—d^fff—D<

so lassen sich zur Berechnung der Zahlenwerthe von a, b, c, d allgemeine Formeln auffinden, die hier nebst kurzer Angabe ihrer Ableitung fol gen miigen.

Zunächst ist:

M. 2? = (a2 — fb* -gc9 + fgd^ + 2 (ad— bc)Vfg L <C.D= ...•••••“...

M c= (a2 + fb^—g^—fs^ + 2 (ab-gcd)

II. _

(2?.Z>= . • • • ...

4 .D=(a2 - fb2 + <7c2 —f9d^ +2(ac—fbd) Vg

B. Ć7— •••••* ’*

I"

2 h'önig: Zerlegung der Gleichung und ivenn man

1) «a— fb2—gc2fgd2=4^m, 2(ad — bc) —+n, 2) a2 + fb* -gc2—fgd*=±m', 2(ab-gcd)=+n', 3) a2—/&> + .ęca-/<7d2=±»n", 2(ac-fbd) = + n"

’) Der Prof. C. G. J. Jacnbi, der mir oltige Zerlcgung mittlieiltc, wünsc.hte ana den Gleichungen

, , . m + m' a2—gc2=+ —’

, ri*_ 1 m + m"

a2—fb2=±---- ’ 2)4-3) «®-/’<7<Z®=±’^"-

fńr a, b, C, d, wofâr er dtuna!« allgemeine Forineln niclit kannie, einige Wertbe dtirch Versuchen bereebnct zn erhalten. Nachdem ich ihin zn seiner Ueberraschung meine Formeln gczeigl hatte, mus« er «icli eigene

setzt:

1. A.B.C.D=m2 -fgn2 = l j

II ...-m'a-/n'a = l J (A) III ... —m"2-gn"2—l )

Da die m (und n) aus diesen Gleichungen gefunden werden kön- nen, so hat man die Unbekannten a, b, c, d nun durch sie aus- zudrücken, wofiir ich zwei Auflösungen gefunden Irabe*).

§• 2.

Erste Auflösung.

Setzt roan 4) tfl4- fb2 4- ęc®4- fgd? = z und nimmt die mvor- läufig positiv an, so erhält nian durcb Verbindung der Gleichun­

gen I) bis 4):

4a® = m 4- m' 4- mn 4- z,

- f

4fb2 =—in4-»<'—wj" 4-4 — 4qa — 2 (m 4- »»")>

4<;c® =—m—m'+ tn"-f-z=4a2—2(m + m'), 4fgd2— m —w’ — m" 4- s=4a® —2(m' 4- m");

hat also nur noch z zu bestimmen.

D+2)

D+3)

J-*—/kv’=+l in Faktoren. 3 Entwickelt man A. B. C. D= 1, ferner z2, m2, m'2, m"2, so ist:

i« - (ni2 + m'2 + m"2) + 2 A. B. C. D,

<1. h.

z2—(m2 + ,„'2 + ,n"S) + 2 - lßfy a. b. c. d.

Entwickelt man auch (A. B. C.D)2 — 1, mm'm"z, m2m'2, mW2, m'2m"2, so „ird auch:

2mm'm"z — (m2/»'2 4- m2m"2 4- m'2m"2) 4- (A. B. C. D)2, d. h.

2mm'm"z — (in2m'2 4- m2m"2 4- in'2m"2) 4-1 = 10/jr. abcd.

Durch Gleichsetzung beider Werthe ergiebt sich:

z — inm'm" + V(m2— 1) (m'2 — 1) (m"a — 1)

= mm'ni" ±fgnn'n", also:

4a2=m 4- m' 4-’”" 4«”«'»»" +V(m2—l)(m'2 — l)(m"2—1).

§• 3.

Z w e i t e A u f 1 <“> su ng.

Dasselbe Resultat erhält man durch eine ungleich einfachere Rechnung auf folgende Weise. Es ist

4a = J + B + C+Z), also:

16«2=/l’+B2^ C2+ß2+2 (J. J3 + J. C+J. D+2?. C4 B • Z>+C. JD), oder, da

A2=A.CxA.DxA.B, B2=B.DxB.CxA.B, C2 = A.CxB.CxC.D, D2—A.DxB.DxC.D:

W=A.C{A.BxA.D{B.CxC.D)iB.D(A.BxB.CiA.DxC.D) + 2(A.B+ A.C+ A.D+ B.C+B.D + C.D).

1»

entwickelt linben, denn er schrieb mir: „Meine Formeln unterscheiden sieli von den lhrigen dadnrch, dass fr. />, C, d auch llalbe und bisweilen Viertel werden.“ Die ineinigen geben imnier ganze Zalden; die «einigen

kenne ich nicht.

-i Köniy: Zerlegung .der Gleichung Nun ist aber

A.B + C.D = 2m,

A.B—C.D = ±2nVfff=±2\Z(m2—]);

also:

A.B — m + V(m2 —1)> C. D=m \/(m2 — 1);

eben so:

A.C—m1 + V0«'2—1), Z?.O=m'TV(m'2-l);

A. D=m" ± V(m"2 - 1), B. C= m" + V(w"2— l) 5

welche Werthe in 16«a substituirt ohigen Ausdruck fur 4a2 geben.

b, c, d am bequenisten aus (B) §. 2.

§• 4.

Die gefundenen Ausdriicke fur 4«2 u. s. w. lassen sich noth unter eine bequemere Form bringen. Da nämlich:

. „ ”<|1 .w«' + l .m"+l . m — 1 .m'— 1 .m"— 1 m-f-m -j-m £ mm m =---q---1---5---,

2

. , ,, m-ł-l.m'—l.m"4-l m—1 .m'£ 11

—m£m'—m'£mm m'= ———5---F--- ---2 2 , , , „ , , „ m£l m'£l1 . m—

—m—m^m''-Ymin'm'— ---5---|---—---—

2

, „ m — 1 ,m" ł 1 , ro-f-l.m'— 1. m"—1 m—m —m-j mm'm' =--- ---— 1-------- ---;2 soerhaltman, wenn mannoch m£l=2», nt'-J l=2t>', m"+l=2c"setzt:

a2= cv'v" £ (» — 1) (»' — !)(»"— 1) + 2 Vvv'v" {y - 1) (»' — I) (t>" — I), a - + Vi-v'a" £ V(v — 1) (c' — 1) (»"— 1),

u. s. w.

Da die negativen Werthe nur die Zeichen von A, B, C, D andern, so kiinnen die negativen Zeichen von den ersten oder zweiten Gliedern fortbleiben. Znei positive und zwei negative würden die Faktoren nur vertausehen, oder, wenn a unter den negativen, vertauschen und zugleich die Zeichen ändern. Drei positive und eine negatire oder umgekehrt kiinnen nicht zusam- mengehiiren, indem dadurch die absoluten Werthe der n geändert

—/£y’=+i in Faktorem. 5 werden, während die derm2 fii'r jede Verbindüng der Zeiehen von a,b, c, d sieli gleich hieiben, was gegen die Pell’schen Gleichun- gen (A) streitet. Will nian also bloss die kleinern Werthe von a, b, c, d haben, so kann nian aueh vor einem der Glieder das positive Zeiehen f'ortlassen, wo dann die sich et«a ergebenden negativen Zahlen positiv zu nchinen sind. Es ist also:

(C)

/ f

s

/ (® —l)(o' —l)o" }

/ 9

1

’l

/ (c — l)p'l>"

4

1 f9

5

oder auch, da

f= 4»'(cz—1)

2 “ n'» ’

ist:

m®—1 4c(o —1)

2 ~ n®

-V(c-l)(Pz-l)(p"-l), a = Vvv'o"

4/ (v- 1) (»"-!);

V

V

’

A n merkung. 1. Der Ausdruek für a löst auch die Aufgabe:

Drei Zahlen zu suchen, so dass sowohl ihr Produkt, wio audi das der uni 1 kleinern (oder grösseren) vollständige Quadrate werden, z. B.:

2.5.10 = 10®, 2.8.64 = 32®, 4.-II.— 99 =66®, 1.4. 9= 6®, 1.7.63=21®, 3.-12.-100=60®.

Diese Zahlen und die um 1 kleiueren (oder grösseren) haben aucli, wie die letzten Ausdriicke fiir b. c, d zeigen, die Eigensehaft, dass das Produkt je zweier durch die dritte ein vollständiges Qua- drat ist.

6 KOuig: Zerlegung der Cleichung

i. Die Ausdriicke fur b, c, d der Gleicbungen (C) liisen die Aufgabe:

Drei Żabien zu suchen, die so beschaffen sind, dass ihr Pro­

dukt und auch das der Zahlen, die man erhiilt, wenn man die eine derselben um 1 verkleiuert (oder vergrössert), die beiden andern um 1 vergrössert (oder verkleinert), gleich, und zwar gegebene Vielfache von Quadraten werden. Z. B.;

2.4. 9=2.6a, 1.5 . 9 = 5.32, 4. —12.— 99=33.12a, 1.5.10=2.52, 2.4.10=5.42, 3. - 11.-100 = 33.102.

§. 5.

Die Zeichen der m anlangend, sieht man, dass, da x=«2+/,62 +i/c2 + /!zd2

positiv sein muss, also mirdnd' wegen

z=łnznW'4: V(nia— 1) (m'a —l)(m"a-l)

nur positiv sein kann, die m alle positiv sein miissen, odei das eine positiv, die beiden andern negativ.

Uin die kleinsten Werthe zu erhalten, beginne man die Rech- uung nach den Formeln (C) ani bequemsten mit den positiven m, und sehe zu, falis a irrational irird, ob -—■=—, oder---oder

, „ t U

~t9~ tlU vol,ständiSe8 Quadrai> ist, wo dann im ersten Falle b, im zweiten c, im dritten d rational gefunden wird, und im ersten Falle wt und m“, im zweiten w< und rn', im dritten nd und m“ ne- gativ zu nebmen sind (vergl. (B)). Dass aber immer rationale Werthe vorhanden sind, zeigt entschieden die rationale Form, welchi die allgemeinen Ausdriicke annehmen, wenn man im Kettenbruche bis ans Ende der zweiten Periode geht, d. h. wenn man 2ma—1, 2//i/a—1, 2,n"2—I fur m, nd, m", also ni2, nt/a, zn'/a für v, v1, setzt und noch fgn?, fid‘ł, gid12 fur zzia — I, nd2— 1, zzi//a — 1 schreibt.

Dadurch entsteht, wenn man die entsprecbenden Bucbstaben mit Accenten versieht:

id— uindnd' — fgnn'n“, b‘ = mnd'n“—gndnid.', (d = mndn“ —fnd'nn', d—ndnd'n —midtd1;

x* - l» Faktoren. 7 welche Foriueln fur jecie nur statthafte Zeichenverbindung dieselben absoluten Werthe fiir a', b‘, c‘, d‘ und inimer eine Auflösung in rationalen ganzen Żabien geben.

Naeh (C) und (D) ist Tal’. I. berechnet.

§• 6.

Nimnit nian in (C) nur eineWurzel positiv, die andere negativ, dann ist tur dieselben /?<:<?>«, c' > c, Nandich:

a‘ — mm'iii11 — fgnn'n"

==z=U*+fb*+gc* + fgd*>a. (§.2.)

Quadrirt nian den Ausdruck fiir 6Z und setzt für die n? die Werthe durch die m aus den Gleichungen (A), so erhält nian : fb‘* — ininihn11 (mm1 m11—fgnn'n“) 4- n?2 (ma — 1) (mzza— 1)

—m9m'W'a--»łW'a

= 1mm'm“z—(m*m n f mam//a + m'a/nz/a) + w?a

= löfgabcd 4- n?a— 1 (§. 2) . — ldfgabcd—fnn,

also:

b^=z^gabcd-n‘‘\

und da nach §. 1. n‘ = 2(a6—gcd), so ist:

b^ — Sgabcd 4- 4a26a 4- 4f72c2<Za

=4(a64-^cd)a, endlich 6z=2(a6 + ^c«Z)>ó.

Durch dieselbe Rechnung findet nian:

c‘ = 2 (ac 4- f(>d) > c d‘ — 2 (ad 4- bc) > d.

Aus dieser Relation zwischen den aus denselben m erhaltenen gestrichenen und ungestrichenen Buchstaben folgt auch, dass, wenn nian die sich aus a‘, b‘, c‘, d ergebenden, den Faktoren zl> B, C, D entsprechenden Faktoren mit A‘, B‘, C‘, D‘ bezeicbnet, Az = 4a, B‘ = B\ !)•=]& ist. Näiulich:

Kóntg: Zerlegung der Gleichung

8 / ^fA-cV9 + dVr<7)’=(«a+/®a + ^ + ^d’)+2(fl& *9Cd) Vf

(a + + 2(ac + fbd) Vg + 2 (ad + bc) Vfg

= a‘ + b'Vf+ c'Vg + d'Vfg,

d-h- A’-=A‘.

Fiir /=2, <7=3 ist a=6 = d = l, «=0; az=9, b‘=2, cz=4, d" = 2, und in der That ist:

(14-V2+V6)2=9 +2V2+4V3 + 2V6.

7.

Bei der Zerlegung der Gleichung a?a—/#ya= —1

in Faktoren von derselben Form erhält nian naeh der ersten Auf- lösung §. 2.

(OTa -|- mza + mzzz) —2 = m2mza + rf»«f — mmWz — 1

= \fjfg abcd, woraus

z= — mm'm" + V(zna 4-1) (mza + 1) (mzza +1) = — rnm'mf' + W

= — mm'in11 + fgnn'n“,

und dann dieselben Formeln (B) §. 2.

Da z positiv sein muss, so darf die Wurzelgriisse nicht ne- gativ genonimen werden. Dieses ist weniger einleuchtend nach der zweiten Liisung §. 3., die übrigens dasselbe 4aa u. s. w. giebt.

§• 8.

Die den Werthen fiir a, b, c, d des §. 4. analogen Ausdriicke erscheinen hier unter imaginärer Form. Es ist niinilich, wenn V —l=i gesetzt wird:

w

* Fmz4-mzz—m/nzmz/—• (w+0("'z+«)(mzz4-j) (m—i)(mz—t)(mzz-j) 2

(m 4<)(mz-»)(»?'p/j

2

(in—ł)("’z+0(mzz-i)

2 2

(m+i)(mz+t)(mzz_,-) (m—i)(/nz—i)(mzz-|-i)

2 2

m wz—zn7'—. («-i)(mz+i)(mzz ( /) (m+?X;nz-f)(mzz-i) 2 ~--- 2

z*—/57Ji*=+l in Fakloren. 9 also , nenii man

m4-« = 2», j/i'4 i = 2v', m"-j-i=2v"

setzt:

fl=| Vvv'v"— v(» — i) (»'—0 (»"—

6=iV

c= IV

•HV

<7 (v — i) r'e"

fT~

oder fur f, g, fg die Werthe durch die n gesetzt:

a—

n

b=2* v‘ — i

v — i

Da aa rational ist, so müssen ve'o" und (v — i)(v‘ — i)(v" — i) conjugirte imaginäre Ausdrücke sein; wirklich ist:

Sov'v" — {mm'rn" — m—m' — m") -J- (mm' f- inni" + m'm" — 1) i, 8(»—j)(o/—0(®/y—i)=(minltn"—m—m'—m")—(nim'-{mm"-Ymlni"—\)i.

§. 9.

Hier sind die Zeichen der wi nicht dadurch bedingt, dass mmhn" positiv werdeti rnuss, wie das bei der Gleichung .z2—fgyt^l der Fali war, vieltnehr können säinintlicbe ZeichenverbitHlungen stattfuiden. Wie viele derselben nun geben rationale Werthe?

Ist für eino Zeichenverbinduug der m, z. B. wenn alle positiv sind:

\a1=fgnn‘n" 4- m"—mm'm"),

so ist für die entgegengesetzten m (der dem a enfsprechende Werth mit a' bezeichnet):

10 Köniy: 'Aerleyuny der Gleichuny 4a'2—fgnn'n"— (zn -f- m‘ -f- ni"— mm'm“), vvoraus:

4aaz= mm'-f-mm" 4- m‘m“ — 1;

a und a' sind also zugleich rational oder irrational.

Es gebe nun etwa —m, + m', 4-m" ein vollstKndiges Quadrat fiir 4«2 (also auch m, —m', —m“ ein vollständiges Quadrat für 4a/2), so ist z. B. für —m, + m', —m11, d. h. wenn nur ein m, hier m", das Zeichen ändert, und die entsprechenden Werthe niit a, ß, y, <5 bezeichnet werden:

4a2 =—m -J- m‘ 4- m“ + mnßm'14- IV, 4a2 = — m 4- m1—m11 — mm'n" 4- IV, 4</y2 = 4a2 — 2(— m 4- m')

= m—m‘ — m“—nun'm“ 4- IV

=4a'2, folglich

nur rational für g gleich eineni Quadrate gegen die dritte der Pell’schen Gleichnngen (A) (wenn man rechts —1 setzt).

Aenderte man das Zeichen von m' oder m", so müsste resp.

f oder fg ein Quadrat sein. Aendern zwei /« das Zeichen, z. B.

m' und m“, so ist:

4a2— — nt — m' — m“ 4- mm'm" 4- IV, 4 fgS2 = — m— m' — m" 4- mm'm" 4- IV

=4a2—2(— wt'—m")

= -i» 4 »*' 4- m" 4- mm'm" 4- IV

= 4«2, also:

x— aS-vTg

Sollten m und wr" oder m und m' die Zeichen ändern, so miissten

x‘—in Fakloren. 11 resp. f oder y Quadrate sein. Sind also iiberhaupt rationale Wertlie fiir a, b, c, d vorhanden, so können nur zwei von den 8 Zeichenverbiridungen der m solche geben, und zivar sind die Zeichen der einen denen der andern entgegengesetzt. Z. B. ist fur f=1, g=5:

m== — 3, m'=l, m"=2:a =2, bc=l, d='f

= 3, = —1, =—2:a'=l, 6' = J, c'=0, d' = \.

Dass tibrigens fiir «, b, c, d nicht laufer ganze Zahlen her- auskomnien künnen, folgt aus den Gleiehungen 2(arZ—bc) — n u. s. w. (§. 1.), da in dieseni Falle nur ungerade n die Pell’schen Gleiehungen Ibsen, a und b oder a und c werden ganze Zalden, wena resp. g oder f gerade Zahlen sind; d dagegen kann nicht ganz werden. Dieses folgt aus den Relationen:

nn'n"

<Za | <Z'a =

§. 2. (B), wenn man fiir z den Werth aus §. 7. setzt.

12 h'önig: Zerlegung der Glelchung Taf. I.

- /kya = * •

*7 a

6

/ ’

2 3 1 1 0 1 5 10 8 1 I 1

7 5 4 3 11 18 6 5 2

9 2 4 2 13 37 14 10 4

6 2 1 2 14 285 60 36 34

54 38 31 2*2 15 17 14 8 2

5 4 1 1 1 17 461 118 64 50

16 11 7 5 18 2 1 1 0

38 17 9 4

7 11 5 4 2 19 218 61 50 44

53 37 20 14 6 7 9 2 4 1

10 13 7 3 3 8 9 2 1 1

11 41 29 12 9 10 65 22 18 8

13 40 • 25 11 7 11 19 7 6 2

15 12 2 1 2 12 1 1 1 0

17 7 5 2 1 17 7 5 2

19 279 231 64 53

20 33 18 6 5 13 30 11 9 3

3 5 1 2 2 0 14 93 30 20 10

31 18 14 8 15 20 .2 1 2

6 1 2 1 0 17 11 3 2 1

17 10 7 4 18 31 7 4 3

7 12 6 5 2 19 1229 497 282 114

10 23 4 6 2 7 8 1 0 3 1

11 6 7 2 2 24 7 6 3

13 22 7 6 2 10 276 141 118 33

14 2 1 1 0 11 6 4 5 0

26 15 7 4 360 30 24 41

15 377 196 88 56 12 12 5 3 1

17 43 38 16 6 13 1431 804 590 150

18 7 10 4 1 14 120 25 18 12

19 414 218 95 50 15 52 12 8 5

5 6 15 4 2 2 17 87 56 36 8

7 9 6 4 2 18 21 7 4

I 2

8 6 9 7 1 19 121 Jfc 4797 | 2790 1 1050

a-* — fol/' =+l in Faktoren. 13 Taf. II.

«a-/<Z^2=-l

f' 9 a b c d f 9

1 a

1 1

0 1

50 79

10 19

2 5 2 2 5 30 25 10

3 1 1

53 505 231 71 31

2 —

2 2 2 2 2 2

3 2

1 2

3 1

13 4 I 58 11 4 2

2

26 39 7

65 5 3

2

1 1

29 2 5

2 2 2 10

37 4 9

2 1 1

2 73 935

2 417

2

109 2

4J 2

41 6 7

1 1

85 155 69 17 37

2 2 2 2 2 10

53 273 391

2 38 53

2 89 739

2 333

2 79

2 35

2 61 164 289

2 21 37

2 10 13 5 5

2 2 1

2

65 6 11

2 1 1

2 29 6 5

2 1 1

2

5 10 0 1 1 I 53 15 7

4 1

2 10 2 2

5 2 3

2 7

10 13 26 13 4 3

2 19 26

13 5

2

3 1 1

37 1601 22’ 131 73

2 2 2 2 2 2 2

17 9

2

13 7 1

41 115 9 5 5

2 2 2 2 2 2 2

26 6 1 1 1

2 65 65 47 21 29

2 2 2 1 26

29 17 2

5 2

3 2

1

2 17 37 25

2 31 2

21 2

- 1 2

37 13 3 1 1

41 25 5 3 1

2 2 2 2 2 2 2 2

J4 l'nferdinger: Das sphärische Dreieck

II.

Das sphärische Dreieck dargestellt in seinen Bezie- hungen zum Kreis. (Fortsetzung der Abhandlung in

Thl.XXIX. S.479.)

Von

Herm Frani Unferdinger,

Lelirer der Matheniatik in der k. k. öeterreichischen Krieg«-Marinę, eingeechilTt anf Sr. Maj. Propeiler-Fregatte Don a u.

E i n 1 e i t u n g.

Der Inlialt dieser Abhandlung schliesst sieli an die oben ci- tirte an nnd ist ais ein weiterer Verl’olg der dort gepflogenen LJn- tersuchungen nur in Verbiudung mit dieser verständlich, da der- selbe in allen seinen Theilen sieli aut’ dort gefundene Relationen und Sätze stiitzt, nas ich hier ani Eingange ausdriicklich bemerke, um dem Leser den Standpunkt zu bezeichnen, welchen er ein- nehmen muss, die hier und dort gewonnenen Resultate mit Ver- ständniss und im Zusammenhange zu iiberblicken, Resultate, welche zum griisseren Tlieile in der kurzeń und ausdrucksvollen mathe- matischen Zeichensprache gegeben worden sind und auch hier in dieser gegeben werden, und welche, sobald man die durch die erhaltenen Formeln detinirten allgemeinen geometrischen Eigen- schaften des sphiirischen Dreieeks in die gewiihnlicbe Wortsprache übersetzt, eine Reihe von Lehrsätzen ergeben, welche von einer kfinftig zu bearbeitenden sphiirischen Geometrie einen Theil aus- machen. Ich bin keineswegs der Ansicht, dass mit, dem hier Ge- botenen die Beziehungen des sphäriscben Dreieeks zum Kreis oder wohl gar die allgemeinen Eigenschaften des sphärischen

(targestellt in seinen Reziehungen zum Kreis. 15 Dreieckes iiberliaupt erschiipft seien, sondern meineUntersuchungen haben mich friihzeitig ron dem Reicbtbum des hier betretenen Gebietes iiberzeugt und wir wollen daher den in diese Richtung einschlagenden Studien mit Eifer obliegen und das bereits Gewon- nene weniger ais eine wirkliche Vermehrung unserer Kenntnisse der Gesetze dieser Raunigestalten, denn ais ein Formeldepot zur Erleichterung kiinftiger Forschungen betrachten.

§. 31.

Fali t man vom Mittelpunkt des einem sphärischen Dreieck ein- geschriebenen Kreises auf die drei Seiten Perpendikel, so werden die Seiten desselben in Abschnitte getheilt, welclie paarweise ein- ander gleich sind. Bezeichnet man die an den Wiokeln A, B, C liegenden Segmente der Reibe naeb mit u, v, u, so ist naeli §.3.:

(67) w = J(6-|-c — a), + c — 6), w = ś(a4-6 — c), u 4- t + w = J(a 1> 4- c).

Verbindet man den Mittelpunkt des einem sphäriscben Dreieck umschriebenen Kreises mit den drei Ecken, so werden die Dreiecks- winkel A, B, C je in zwei Theile getheilt, von welchen sechs Winkeln wieder zwei und zwei einander gleich sind. Sind uit r1; irt die drei an den Seiten a, b, c liegenden Winkelsegmente, so ist, wenn der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises innerhalb des Dreieckes liegt, nach §. 19.:

(68)

Ml = K»4-C-J), vv^AA-C-B), Wl=\(A B-O,

«i 4- »i 4- "j = 1(^ + ß + G-

Liegt der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ausser dem Dreieck, und dem Winkel A gegeniiber, so ist

(69)

Wl = -i(Z?4-C-J), th = K44-C-G, w1=1M4-Z?-G.

— ui 4- »i 4-w, = i(A 4- B 4- C), so dass also —Wj an die Stelle von »Zj tritt.

Da die Sinus, Cosinus und Tangentcn dieser acht Griissen in unseren tJntersuchungen eine wichtige Rolle spielen und häufig vorkommen, so wollen wir uns mit der Berechnung derselben be- sonders beschäftigen.

16 inferdinyer : Das sphârische Dreteck

§. 32.

Aus §. 15. folgt zunächst:

(70)

Sin ’(a + b + c) = 2ShUJŚi„'BŚinrC’

B'

Sin ’(6 + c~ —2Sin UCos łBCos *C’

Sin J(a 4 c — b)- 2 Sin iB Cos iA Cos . C’H' Sin J(« + 6 - c) = 2 s^ 4CC08 U Cos 4B ’

U*

und mit Hiife der in §. 16. aufgestellten Relationen erhält man bieraus dnrch den Uebergang auf das Polardreieck:

I Cos t(A + B 4- O) 2Cos łaCos jó Cos ic *

! //

I Cos i(B 4- C — J) = 2 Cos Jn Sin 46 Sin Je’

i Cos 4(^4 4- C—B) = 2 Cos 46 Sin Ja Sinic ’

Cos4(J 4- ß - C) = 2Cos JcSin 4a Sin J6’

Wenn man bedenkt, dass nach §. 15. auch:

.. ____

(31) —Sin/lSiiiBSinC’

so erhält man aus dem System (71) mit Leichtigkeit:

(

//’

Cos i« Cos 46 Cos 4c — Sin A sin B Sin c Co8 . (j + B+C)>

H‘2

Cos U Sin 46Sin 4c- Sin A Sin B Sinć.Cos 1 (^+ C—24)’

(72) (

Cos ib Sin ’aSin ’c= sin j sinBSÄ C Cos‘2(zl 4-C-B) ’

i jjt

(Cos \c Sin 1« Sm 16 = sin A Sin B Sin C. Cos > (C) ’ setzt man der Kiirze halber

dargestelll in selnenBeiiehungen m Kreis. 17 i

A ‘ —

\b

A"

\c,

(a)

' A'"

\c,

so ist bekanntlich:

z Cos J(« +

b

A lr,

1 CosJ(6 1-c —a) = z/'—z/" + z/"' + z/^,

\ Cos J(a + c-

b) — A'

b — c) =

A"

Alf ;

un<l man findet daher durch Anwendnung der Gleichungen (7‘2):

(73)

Cos j(a+6+c) _____,_______77'2 f______1_______

Sin

A

B

C

B + C)

1 1 I

+ Cos

lAß+C — A)

i(A-f-C-B)

II 1 1 )

+ Cos |(74+

C-A)

^AĄ-B —C)

Cos’(«+<?

b) — SiaASinBS- inC ]Cosi(A + B+Q

. ___ 1_________ 1_________ Ł___(

+ Cosi(A+C-B) Cosi(B+C-A)

77'a ( 1 Cosi(«+6-c)=—sin^sinBSin Cl Cos £(J+7?+

C)

.______J______________

1___ _____ L__ i.

+ Cos 4(zl+B— C) Cos i(B+

C-A) Cos i(A + C— B)

und durch den Uebergang auf das Polardreieck, mit Anwendung der Relationen des §.16.:

Theil XXXIII. 2

18 Unferdinger: Das »phiiriscne Dreieck (74)

ii^n >14*- |____ 1____________ 1

i i _______L___ ?.

+ Cos|(^4--B-0 Cos’(ß4-C-J) CosiOHC— Br

*( + + 7 SinaSinftSinc ( Sini(6-f-c—a) Sin «(a-f-c 6)

.___ 1________ L __ i

TSin’(a+6-c) «in;(«+6fc)j ’

Z/ia | 1 ]

Sin4(ß-|-C A) SinaSintSinc ( Sin4(a-|-6-|-c) Sini(a4^è^6)

L__ _ i. >

Sinj(a4-6—c) Sin .((64c—a) ( ’

// i 2 I 1 1

Sin 2(A-f-C B) — sinaSinó Sin c ( Sin J(«+6+c) + Sin i(6+c—aj

. ___ 1________ 1 __ )

xbiiU(a + 6-c) Sin‘(« + c—6)f ’ Sin 2(A-j-B C) Sin aSfti 6Śiuc / Sin.f(«4-6^pcj Sin i(^4-c-—a)

. ___ L ____ L>

TSin 'Aa+c—b) Sin 4(«4-6—c) | ’ Diese Gleichungen hätte man auch aus dem System (70) auf ähnliche Art finden können, wie die Gleichungen (73) aus deni System (71) abgeleitet wurden. Werden die Gleichungen (73) der Reihe nach durcli jene (70) und die Gleichungen (74) der Reihe nach durch jene (71) dividirt, so folgt:

(75)

ctg l(a + b4 c) _ 4Co8 ijCosiÄ€o«jC $ €os *(^+S+f) 111, + Cosl(ß+C-zl) + CosiM+T2-^)+ CosiM+Ä—Cj' ’

H‘ $ 1

ctgś(A 1- c—«) - — 4 Cos Sin > Sin [C ? Cos KA+B+C)

.___ J__ _ _____ Ł__ . _____ L___ »

H Cos A) CosJ(J4-C-Ä) Cosi(^+Ä-C)V ctgK«4-c—6)-—4CosißSinijSin>c ^Cos4(J4-«4-C)

1 1 1 , + Cos|(A4-C-B) Cos l(ß+C—A) Cos i(A±B- C) < ’

77 s *

ctgi(a4-6-c) =—4CosiCSinU Sin£ß « Cos {(A+B+C)

dargestellt tn sétnen Beziehungen zum Kreis. 19 (76)

1 4Sin>a _6Sin\c Sin4(6-f-c—a)

._____1______________i______>

T Sin J(a+c—6) * Sin£(a-f6—c) Sin}(a-f 04-c) »’

A c i

tga(^4 C A) 4Sin’aCos46Coslc ? Sin|(a4-6+c)

______1___ __ l____ 1

^Sin^a-J-c—6) SinJ(a-|-6—c)"~ Sin£(6-J-c—a)’’

tgłGI+C -ß) 4Sin,6Cos JaCoslc^ Sin4(a-|-6-|-c)

1 l

Sin i(6+c—a) Sin J(«4-6—c) Sin J(a-|-c—6) i ’

IgsC^ + 'ß C) 4Sjn icCos’aCosjé ? Sin 4(a-f-6-|-c)

. J____ .____ 1 _________ 1 ,

’ Sin i(64-c—a) ' Sin£(a-|-c—b) Sin i(«+6—c) ’"

5. 33.

Die Gleichungen (47) des §.20. geben:

(47)

H' H'

Cos HJ + ß 4- C)= ~ctgr’ Cos \(ß + C—A) = ctgr» ’ u-s-w<

Da ferner

(31) H' Ht

SinA Sin B Sin C ~‘iH'’

1

(48) V tgrtgrj tgr2tgr3 ;

so ist auch

Sin/lSinBSin C ~ 2"1 ’ *&' ‘S'i‘5'2‘s'3’

und wenn man die Gleichungen (56) mit einander multiplicirt und dabei auf die Gleichung (13) Rticksicht nimmt:

2

20 Vnf er ding er: Das sphärische Dreieck (78)

7^2 = (t8ri + fgr2 + fgr3 ~ tgr) (tgr + tgr2 + tgr3 — tgrt) ,

X (tgr + tg r, + tg r3 — tg r2) (tg r 4- tg rx 4- tg r2 - tg r3);

setzt man nun die Werthe aus (47) und (77) in die Gleichungen (73), so gehen dieselben iiber in folgende:

(79) Cos ^(«-|-6 4- c)

= — l Hi Vtg r tg rj tg r2 tg r3 (ctg r, 4- ctg r2 4- ctg r3 — ctg r), Cosi (6 4-o—«)

= UA Vtgr tgrj tgr2tgr3 (ctgr f ctgr2 4- ctgr3 —ctgrj, Cos 2 (a 4- c — 6)

= V tgrtgrjtg r2 tg r3 (ctg r 4- ctg 4- ctg r3 — ctg r2), Cos i (a + 6 — c)

_________‘ ‘\ •

= Vtgrtgr, tgr2tgr3 (ctgr 4- ctgr, 4-ctgr2—ctgr3), wobei Ui aus der Gleichung (78) zu nehmen ist, so dass die zweiten Theile ais reine Functionen der Radien r, rt, r2, r3 der dem Hauptdreieck und seinen Nebendreiecken umschriebenen Kreise zu betrachten sind.

§• 34.

Wenn man zur Abkiirzung

H = ctg pj 4- ctg p2 4- ctg p3 — ctg p,

= ctg p 4- ctg p2 4- ctg p3—ctg pj „

£ =ctgp4-ctgp14-ctgp3 — ctgp2,

® = ctg p 4- ctg p! 4- ctg p2 — ctg 3 setzt, so ist nach §. 22. (54):

tgr = JÄ, tgrx = 4», tgr2 = J£, tgr3 = ^>;

Vtgrtgrj tgr2tgr3 = iVICÖO und die Gleichungen (79) gehen iiber in:

dargestelli tn netnen Bntelmngen zum Kreis. 21 (80)

C08 ł (a + b + c) = -1 Ih VW ü + i + Ś ~ ’

Co8j(ó + c-a)= | + ,

Cosś(«4-c — b) —

Cos’(a + 6-c)= 4-l+|-^;

wobei der Werth von //, aus der Gleichung (13) und dieWerthe von £1, Ti, (f, T> ans (c) zu nehmen sind, so dass die zweiten Theile lediglich die Radien q, p1, p2, p3 der vier Beriihrungs- kreise enthalten. Ich mache hierbei aufmerksam, dass ich, weil die mit /Ą , £1, Ti, tf, bezeichneten Functionen in o, gt, o2, Qj

sehr einfach gebaut sind und sich dem Gedächtniss mit Leich- tigkeit einprägen, nicht imnier statt derselben ihre Werthe sub- stituiren werde. Wir betrachten eine Grösse ais durch p, q2, q3 ausgedriickt, wenn sie ausser diesen nur noch Hx, 11, 15, €, T>

enthält.

§. 35.

Den Gleichungen (12) des §. 10. zufolge ist (12)

Hi „ Ih

Sin J(rt ł-6 + c)- tg9’ Sin 4(6 4-c— a)~ tgPl’ U- S' W'5 ferner ist nach §. 15. und §. 20.:

(48)

//, _ zr

Sin a Sin 6 Sin c 2/Ą ’

folglich nach dem Obigen auch:

________1________.

V tgrtgritgr2tgr3’

(81)

und ^{f' ’ fł}

ZP = A —

22 Vnferdinger: Das sptiärische Dreieck

(82)

____ Lh _________

und vrenn man die Wertbe aus (12) und 82) in die Gleichungen (74) substituirt, so gehen selbe ilber in folgende:

Sin K4 + B + O =2(tgp‘ S-?j >

(83)

2(tgp+tgp2 + tge3-tgP1) Sin,(B + C-^) =--- -y--

Sin >( A + C—B) = + »

I Sin’M-l/? 1-n ąftgp-Hggi+tgPa—tggł) I S.n,(4+Ä-OÄ’---

§. 36.

Setzt man zur Abkürzung:

H, =tgri + tgra + tgrs —tg»-»

B1 = tgr 4- tgr2 + tgr3 —tg rt, (?i =tgr + tgrl 4-tgrs—tgr2>

=tgr-|-tgZj + tgr2 — tgr3>

so is t nach den Gleichungen (56) des §. 22.:

ctgp=ŚUł, ctgpt=p$j, Ctgpl = 4^1» ctgf3 — 2®1 oder

o 2 2 .___2 r

tge = jl’ ‘gc»=^’ tge®==^i’ tge3-Di’

da ferner na"ćh dem Obigen:

• # ■ ■' ‘ ‘

V Öif D = 4 V tgrtg H tg r2 tg r3

ist, so kaon man das System (83) des vorbergehenden Paragra phen auch in das folgende umwandeln:

dargesteltt in ielM* fieziehungen zum Kreis. 23

(84)

1111

«7 + rf7 +fv ~ .1

1 1 J 1_

Ę +gt+ I\ IS

wo der Werth von Ht aus der Gleichung (78) zu nehmen ist, so dass die zweiten Theile ais reine Functionen der Radien r, rlt r.it r3 der dem Hauptdreieck und seinen drei Nebendreiecken umschriebenen Kreise zu betrachten sind.

§. 37.

Die Gleichungen (12) und (47) geben mit Riicksicht auf jene (13) und (48) unmittelbar:

Si „!(« + 4+«) = ^SŁ,Ł^SAlS£..

tee

«• yJT ■ r M — e fg e» te Ps Sm£(rt + c —1>)=---•

tg 02

Sin U« + 6 —c) = ^^»l^te^

tg Pa und

(85)

24 Unferdinger: Das sphdrische Dreleck CosjM+zr+Q = -

i i- Cos’(ß + C—J) =

Cos \(A + C—B) =

Cosi(J+Z?— C) =

tgr

Vtgrtg^tgrjtgra’

tgn V tgrtgr^tgr2tgr3

■ >■ tg**

V tgrtgritgr8tgr3

♦gn>

Vfgrtgrt tgr2tgr3

Werden jefzt die Gleichungen (80) durch (85), dann auch die Gleichungen (84) durch (86) der Reihe nacli dividirt, so erhält man:

(87)

|tgę1V4)3£D j + £ + & —- j ctg.l(a + 64-c) = —ł

ctgl(6 4-c—«) = 9

ctgj(a + c —&) = Hg(?2VOO 9

+

■ 1_1

und

(88)

tg’(«+C-z4) =

tg’(J+€’-^) =

tg}(AiB-C) =

1 . 1

23t + £t + Pi 4t1 7Ą tgr ^{" 9}

1 1 1 1

£r+*i ‘

tgri ⁹

1 1 1 1

V _’£?

Jh

1 1 1 1

V»1 £1“■£?.

/A tgr3 ⁹

wo wieder der Werth von /Ą aus der Gleiehung (78) zu nehmen ist, so dass die zweiten Theile ais nur die Radien r, rx, r2, r3

dargestellt In seinen Beziehungen zum Kreis. 25 enthaltend zu betrachten sind. Wir bemerken hier, dass das System (88) auch aus dem vorhergehenden (87) abgeleitet wer- den kann, wenn nian dieses auf das Polardreieck anwendet und dann mittelst der Relationen des §. 16. zum Hauptdreieck zu- riickkehrt. Bezeichnet man das, vras aus U, 15, <£., T5> fur das Polardreieck wird, mit 11', 15', (£', T>', so ist offenbar mit Riick- sicht auf die Gleicbungen (53) des §. 21.: H'zxUj, = T5i, =

und Vr57B7<r©'= , woraus erhellet, dass auch die Umformung der zweiten Theile des Gleichungen- Systems (87) alsdann keinen weiteren Schwierigkeiten unterliegt.

- i 1• <\ I K; -*0 )

§. 38.

Weil

Sinł(a + 6+c) =^» Sin’(6 +«—«) = , u. s. w.

2 2

‘ge yj/ = u. s. w.

ist, so ist auch

Sin J(a + 6 + c) = IJMi, Sin >(6 + c—a) = u. s. w.

oder, wenn man für UIf ihre obigen Werthe setzt:

Sin ł(«+ b + c) = -l//l(tgr1+tgr2 + tgr3-tgr),i Sin 1(6 + c—a) = 17/1(tgr + tgr2 + tgr3 — tgrj), Sinl(a + c—6) = l^i(tgr + tgr, +tgr3 — tgr2), Sin l(a + 6 - c) = 1/Ą (tgr + tg rŁ + tg r2 - tgr3);

denkt man sich in den zweiten Theilen dieser vier Gleicbungen statt Hi denjenigen Werth gesetzt, welcher aus der Gleichung (78) hervorgeht, so sind dieselben ais reine Functionen der Ra- dien r, rx, r2, r3 zu betrachten.

Weil

CosJM + B+O — — Cosi(B+C+24) = tgrj.Z/', u. s. w.

tgr=lU, tgri—l15,u.s.w.

und

26 l nf erding er: U as tpMrische Dreieck

ist, bo wird

(81) H' 4 -

. 2»

C„iW+fi+C) = __^, C..1(B+

c- *> =

i ■ - a ?< ?• J- - <1iż * *’“l: t «’sr^ ' U. 8. W.

od er

. i ’ .Z .. i:. 1 u*).

I

Cosi(^+jB + C) =

Cosi(B+C— A) =

Cos’(^ + C—B) =

Cos l(A + B - C) =

2(ctg pt + ctg pa + ctg Pa — ctg p),

2(ctg p + ctg pa + ctg Pj - ctgpi)

2(ctgp + ctg Pi + ctg P3 ctg Pa), VilX^T

2(ctg p 4- ctg pi + ctg Pa ~~ctg Ps) OM>

Werden jetzt die Gleichungen (79) dnrch (89) und ebenso die Gleichungen (83) durch (90) der Reihe nach dividirt, so erhalt man schliesslich nocli folgende zwei Systeme von Gleichungen:

(91)

. .r .A . 1 4/-T—7---7---7--- ctgri+ctgra+ctgr3—ctgj- ctg ,(a+6 + c) =- \ tgrtgr, tgratgrs . tgn 1 tgr, Hgr8 - tgr ’

ctgj(6+c — a) = *z-7—--- 7---;----ctgrd ctgr2+ ctgr3 — ctgri Vtgrtgntg^tgra. tgr+igr2 + tgr>_-tgri »

ctg.l(/i|c<—6) — ^tr.----:---—7---ctgr+ctgri + etgr3 —ctgra Vtgrtgntgr^tgn,. fgr + tg-ri+7gr3-tgr2 ’

ctgi(a+6—c) = ^—1----7---;---- ctgr+ctgrj + ctgra-ctgrs.

V Ig, >gr, 'g^lgr, • + Igra_tg„ •

dargestellt in tetnen Bezlehunuen zum Kreix. 21

tgi(J+2?+C) = 1 tgPi 4-tgfa + tgPł—tg? t V^tg p tg Pi tgp2tgp3 ctgpl4-ctgp2+ctgp8 ctg0 tgi(/?+C'-^) = ... ...„J... .?ggt.te+ *gg3 .

V tg ? tg 9l tg (?2 tg p3 ctg g+ctg ?2+cts p3 -ctg pi tS',(A+C-B) =

tgju+ß-o =

________1________ tgp + tgg, + tg ?3—tgg2 tg?tgPi tg 0.tg03 ctg04-ctg0i4-ctg03 ctgp2 ________ 1___________tgp + tgpi 4-tgga — tgpa V^tgptgpj tgp2tgp3 ctgp4-ctgp14-ctgp2—-ctg03 Das letzte System kann auch wieder, wie man sogleich sieht, aus dem Vorhergehenden durch den Uebergang auf das Polar- dreieck gefunden werden; heide Systeme gehen überdiess mit Leichtigkeit aus den Gleichungen (75) und (76) hervor, worauf ich nur aufmerksam mache. Die Gleichungen (70), (73), (75) geben Sinus, Cosinus und Cotąngente der vier Bogen

l(« + 6+c), ł(6+c—a), i(a + c — b), ',(a-\-b — c) durch die drei Winkel A, B, C des sphSriscben Dreieckes, (85),

(80), (87) durch die Radien p, p,, p2, p3 der vier Berührungs- kreise desselben, (89), (79) ,-(91) durch die Radien r, rl , r2, rg der dem Hauptdreieck und seinen drei Nebendreiecken umschrie- benen Kreise. Die Gleichungen (74), (71), (76) geben Sinus, Co­

sinus und Tangente der vier Winkel

XA + B+ O), i(ß + C-A), l(A-ł-C-B), XA + B-C) durch die drei Seiten a, 6, c, (83), (90), (92) dtirch die Radien p, 0i, 0», 03, endlich (84), (86), (88) durch die Radien r, rłt r3, rs.

Bezeichnet « den sphärischen Excess, so ist bekanntlich:

Cos ’e = Sin + B + C), tg Je = — ctgi(A + B + C) und die ersten der Gleichungen (83) und (92) geben zur Bestim- niung des sphärischen Excesses aus den Bertihrungsradien p, pI(

p2, 03 folgende bemerkenswerthe Ausdrgpke:

Cos Je — 2(tgpt 4- tgp2 4- tg P3 — tg0) , MSW

tgł« = Vtgptgp1tgp2tgp3.Ctg Pi 4- ctg 0ł 4- ctg 0» - ct8 0

“tg^i 4-tg 0.4-tg 03—tg P (93)

(94)

28 Vnferdinger: bas sphürische breieck

§. 39.

Die zweiten Theilc der Gleichungen (73), (75) und (76) kön- nen auf eine einfachere Form gebracht werden, welche fiir un- sere nachfolgenden Untersuchungen von Nutzen sein wird, und mit diesen Transformationen wollen wir uns jetzt beschäftigen.

Wir haben in §. 32. gefunden :

B'2 1

Cosi(a + 6+c) =—SinjSi|ljBSirlC ł CosJM + B+Q

. 1,1.1?

+ Cos i(B + C- A) + Cos .■ (A + C— B) + Cos l(A + B- C) * ’

’ -i?*?- *. >t‘ :»?!•. ii- ; j yi;

um diesen Ausdruck zu vereinfachen, fassen wir die in der Kłam- mer enthaltenen Glieder paarweise zusammen und bringen jedes Paar fiir sich auf gemeinschaftlichen Nenner, so erhält man, wenn man bedenkt, dass

Cos l(A + B + C) + Cos J(B + C - A) = 2 Cos \A Cos \(B + C), Cos JM + C— B) + Cos i(A + B— C) = 2 Cos ’ A Cos ’(B- C) ist:

2CosJ/fCos.)(B4-C) 2 Cos M Cos >(B—C) Cos JM+B+C) Cos J(B+C-J)+ Cos JM4-Ć-B)Cos JM+B=C)5 nimmt man hier 2Cos.M ais gemeinschaftlichen Factor heraus und stellt jetzt alles auf den einen Nenner —H'2, so ist der Zäh- ler des Bruches:

Cos JM + C— B) Cos JM + B — C) Cos }(B + C) + Cos ’(A + B + C) Cos ’ (B 4- C— A) Cos l(B — C).

Setzt man fiir einen Augenblick:

« = Cos JM+ C— B) Cos JM + B— C), ß = Cos JM + B + C) Cos ł(B + C— A);

so ist obiger Zähler offenbar gieich

(a + ß) Cos JB Cos J C— («— ß) Sin J B Sin ’ C oder weil auch

dargestelll In sefnen Beziehungen zurn Krets. 29 a = J| Cos A + Cos (B— C)\,

ß = J(CosJ + Cos(B+C)|, folglich

-o«,. i

«4-^ = Cos A + Cos B Cos C, a — ß = Sin B Sin C ist, gleich

(Cos A Cos BCos C)Cos }B Cos 1C— Sin BSin C. Sin JBSin ‘ C

= Cos J BCos i C| Cos A 4- Cos B Cos C — 4 Sin 2i BSin2JC|

= Cos’BCosłC(l —2Sin2U4-(l — 2Sin21jB)(l— 2Sin2JC)

— 4Sin2lBSin2JC|

= Cos iBCos i C\ 2-- 2 Sin 2U — 2 Sin 2i B - 2 Sin 21C I

= 2CosiBCos>C|l-Sin2U—Sin2^B—Sin^CI oder auch gleich

Cos ł B Cos l C {Cos A 4- Cos B Cos C— (1 - Cos B)(l — Cos C) ]

= Cos J BCos łC(— 1 4- Cos.4 4-Cos B4- Cos Cl

= — Cos IB Cos J C{ 1 — Cos 4 — Cos B— Cos C|;

mithin ist

Cos i(a 4- 6 4- c) — — śhrJŚhBShTCB'2

4 Cos U Cos B CosC(1 — Sin 2.’ A — Sin 2iB — Sin 2i C)

X —Hi

oder v

CosK« + 6 4- e) = — Sin4SinßSin CB'2

— 2Cos ł4 Cos JBCoSzC(1 — Cos A — Cos B — Cos C)

X--- -B'2 ’

das ist

. , . x l-Sin2*J~Sin 2łB—Sin2JC CosJ(a4-'' + c) - 2 Sin U Sin JB Sin i C oder

1 — Cos A — Cos B—CosC Cos > (« 4- f> + c) — 4SinMSiniBSiniC *

30 Vnferdinger: bas sphdrfsche Dreieck

§. 40. ! Ebenso liaben wir in J. 32. gefunden:

Cosi(6 + c — a)

H"1 s 1 ___L_____ J

— SinJSinBSin C ' Cos>(A +'J?+ C) T Cos >(Ä+ C^A) _________1_________________L_ i.

Uos^A + C-B) Cosi^+BJrcp ’ um auch diesen Ansdruck zu vereinfachen, fassen wir wieder die in den Klammern enthaltenen Glieder paarweise zusammen und erhalten auf dieselbe Art wie früher:

2CosUCos‘(B + C) 2Cos’JCos’(B—C)

Cosl{A+B^C)Cosi(B^C—A) Cosi(A+C-B)Cosi{A+B—C)5 nimmt man auch hier wieder 2CosJzi als gemeinschaftlichen Factor heraus und stellt alsdann beide Glieder auf den gemein­

schaftlichen Nenner —H"1, so ist, mit Beibehaltung der Bedeutung der Buchstaben a und (3 der Zähler dieses Bruches gleich

(a — ß) Cos ißCos i C— (a -J- ß) Sin J A Sin £ B oder gleich

SinB Sin CCos\BCos JC— (Cos A + Cos B Cos C)Sin\BSin ’ C

= Sin â B Sin £ C14 Cos 2i B Cos 2i C — Cos A — Cos B Cos C1

= Sin iß Sin * C;4 Cos2.}ß Cos«łC—2Cos2U +1

—(2 Cos2iß-l)(2Cos2i C— 1) |

= Sin JBSin * C| 2 Cos2‘B + 2 Cos’l C— 2 Cos 2* J }

= 2Sin\B Sin 1 C| 1 + Sin *\A — Sin^B — Sin 21 C|

oder auch gleich

Sinjß SiniC’l (1 -f-Cos B)(l + Cos C) — Cos A — Cos B Cos Cl

= SinJjBSinśCl 1 —Cos A J- Cos B-|-Cos C};

mithin ist:

dargestelu in seiuen Betiehungen tum Kreis. 31

. W'2

( 08 i<6 + c — a)-“ŚkiJ Sin ÄSin C

1 4- Cos A 4- Cos.B—CosC.

4SinjCCosl.4CosłB ’ 4 Cos i A Sin\B Sin i C(1 + Sin 21J — Sin 2’ ß — Sin «1C) x --- ---—--- ■

oder

Cos 1(6 + c— «) = — sin21SlnjBSinC- 2 Cos U Sin 1B Sin 1 C(1 — Cos A + Cos B + Cos C) X --- -- ---_ //'2---- ---- - ---.

das ist

l~ł-Sin2lJ — Sin2)/? —Sin2łC Cos 2(6 + c — n) _ 2 Sin U Cos 1Ä Cos J C “ oder

Cos ,(6 + c — a) — 1 — Cos A + Cos B 4- Cos C 4 Sin 1A Cos i B Cos 1C

Fasst man das in dieseni und dem vorhergehenden Paragraphen Gefundene zusammen, so gelangt nian zu folgenden zwei Syste- men von Gleichnngen, welche mit jenem (73) gleichbedeutend, aber der Form nach einfacher sind:

(95)

r >/ .a. x l-Sin2M-Sin2lß-Sin«jC Cos2(«+6+c)_ aSinUSinlBSin’C _ x 1 |Sin214--Sin2]/?—Stn2)C Cosa(6+c—a)— 2SinlJCoslÄCos.lC” ’

_ l-Sin2M + Sin2JÄ—SinalC

( os 2(a+c—6) — ---’

2Sin\B Cos IA Cos 1C

„ X I—Sin’M-Sin’lÄ+Sin’lC

Cosl(«+0-Ä) = ŻSinlĆĆosUCosll?-^

ł

j CosJ(a4 6+c) —

Cos 1 (6-|-c—a) ==

CosJ(a-|c—6) =

Cosl(«-|-6—c) =

1 — Cos .4— Cos B~ Cos C 4 Si nl Sin J2? Sin 4 Ć * 1 — Cos A 4- Ces B 4- Cos C 4Sin4ziCosJjBCosłC ’ 1 4- Cos A —• Cos B 4- Cos C

4 Sin 1B Cos i A Cos J C (96)

32 linferdinger: Das sphärische Dreieck

und wenn man die Gleichungen des Systems (95) der Reihe nach durch die Gleichungen des Systems (70) dividirts

(97)

/

I ctgi(a+6fc) =

ir

t , l + Sin2.U —Sin*jB-Sin*. ’C ctg J(6+c-«) =---— ---,

H'

t ,, , n .1—Sin«U + Sin*łB-SinajC ctg ’(«+c-6) =.---,i>---— >

H'

ir

oder auch:

I

ctg’(a+6+c) = w/I j.JiiTwbgmuf ctgi(6+c—a) =

ctg J(a+c—b) —

ctęMa+b—c) =

1 — Cos A — Cos B — Cos C 1H'

1 — Cos A + Cos B + Cos C

2H' ’

1 + Cos.<4—‘Cos B + Cos C 2H'

1 4- Cos A + Cos B — Cos C

>11'

§• 41.

Wendet man die vorhin abgeleiteten Gleichungen (95), (96) auf das Polardreieck an und kehrt alsdann mit Zuhilfenahme der bekannten in §. 16. aufgeführten Relationen zum Hauptdreieck zu- riick, so erhält man mit Leichtigkeit die folgende Gruppe von Gleichungen, welche mit jenen (74) gleichbedeutend sind, sich jedoch durch grössere Einfachheit vor denselben auszeichnen: