Inleiding optimalisatie en beslissingsmodellen

790799

INLEIDING OPTIMALISATIE EN BESLISSINGSMODELLEN

R. Hamerslag

EVM/ü2/82.üS

LABORATORIUM VOOR VERKEERSKUNDE Technische Hogeschool Delft

Afdeling der Civiele Techniek Delft, Nederland

INLEIDING OPTIMALISATIE EN BESLISSINGSMODELLEN

R. Hamerslag

EVM/02/82.05

T.H. Delft, Laboratorium voor Verkeerskunde Afdeling der Civiele Techniek

Stevinweg I, 2628 CN Delfr Bibliotheek TU Delft

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\1\\\\\\

C 0003149034 t, me~ 1982

8516

631G

INLEIDING OPTIMALISATIE IN DE VERKEERSKUNDE

1.

2.

INLEIDING

Het vervoersysteem omvat wegennet met verkeer en het openbaar vervoer met vervoermiddelen en passagier.

Het vervoersysteem ondergaat voortdurend veranderingen op een bepaald moment bevindt zich het vervoersysteem in een bepaalde toestand. Men kan de toestand waarin een systeem zich bevindt trachten te beïnvloeden. Met behulp van wiskundige optimalise-ringsmodellen kan men de effectiviteit hiervan nagaan.

Een veel gebruikte methode is de veranderingen te berekenen in een aantal alternatieven. Men kan b.v. 3 verschillende openbaar vervoerstelsels met .e l ka a r vergelijken met behulp van bereke-ningen. Het aantal alternatieven dat moet worden doorgerekend wordt snel erg groot als het aantal alternatieven en hun onder-linge combinaties toeneemt. Men kan dan optimalisatie technieken toepassen. Indien optimalisatie model beïnvloedbare invloeds-grootheden heeft noemt men deze beslissingsmodellen.

Een normatief model of beslissingsmodel bevat een doel-stellingsfunctie, een of meer stuurvariabelen, meestal in-strument variabelen en nevenvoorwaarden.

DOELSTELLING EN DOELSTELLINGSFUNCTIE

De wiskundige vergelijking van de doelstellingsfunctie is: Y

=

F(x , x

2' x3 · )

Y noemtImen realisatie waarde of waarderingscriterium xl' x

2' x3 zijn de stuurvariabelen De xl' x

2' x3··· moeten op dusdanige wijze worden bepaald dat Y maximaal wordt.

De doelstellingsfunctie is de wiskundige specificatie van een doelstelling.

Doelstellingen worden bepaald door de positie waarin men zich bevindt. De overheid, gebruikers en vervoerondernemingen hebben ieder hun eigen doelstellingen. De overheid heeft de volgende doelstellingen t.a.v. het openbare vervoer [4J.

verminderen of beperken van de groei van het autogebruik effectief gebruik van de ruimte vooral op die plaatsen . waar de grond schaars is

vergroting of handhaving verplaatsingsmogelijkheden van degenen die geen auto kunnen gebruiken

bevordering van bereikbaarheid van bepaalde locaties zoals binnensteden etc.

De vervoersondernemer heeft als belangrijke doelstelling con-tinuering van het bedrijf. De verliezen zullen zo klein moge-lijk worden gehouden met als gevolg beperking van frequentie en maaswijdte van het openbaar vervoer.

Er is een aantal soms tegenstrijdige doelstellingen. Verschil-lende personen hebben verschiliende doelstellingen. Het met elkaar in verband brengen van deze doelstelling is niet een-voudig. Het formuleren van een doelstelling waarbij zoveel . mogelijk rekening wordt gehouden met afzonderlijke doelstel-lingen ligt voor de hand.

De gebruiker acht een openbaar vervoer optimaal dat snel en frequent is. Dat gebruikt kan worden zonder veel lopen en zonder behoeven te overstappen. Het dient betrouwbaar te zijn t .a.v. regelmaat van de diensten. Bovendien zal men comfor-tabele zitplaatsen willen hebben.

De doelstellingsfunctie specificeert de doelstellingen in een wiskundige vergelijking. Er zijn de volgende mogelijkheden: Optimaliseringsmodellen waarbij één rekengrootheid wordt

gebruikt zullen we aanduiden als enkelvoudige doelstellingsmo-dellen of ééndimensionale programmeringsmodoelstellingsmo-dellen.

Traditionele beslissingsmodellen gebruiken meestal de winst als optimaliseringscriterium. De voor- en nadelen van een bepaalde beslissing worden in geld uitgedrukt. Het alternatief dat de grootste winst geeft, wordt dan als optimaal aangemerkt. Het is ook mogelijk om in plaats van geld andere rekeneenheden

(b.v. tijd) te gebruiken. Vaak wordt in plaats van winst optimalisatie, een kosten minimalisatie toegepast. De vraag wordt dan gegeven beschouwd en als randvoorwaarde in het model gebracht.

In het algemeen zullen voor- en nadelen niet rechtstreeks in één rekengrootheid zijn uit te drukken. Men tracht nu toch tot één waarderingscriterium te komen. De oorspronkelijke indivi-duele doelstellingsfuncties worden door transformatie (weging) herleid tot één nieuwe doelstellingsfunctie.

Men herleid bijvoorbeeld tijden tot kosten door vermenigvuldi-ging met een fractie van het uurloon. Een reistijdverlies is dan dus uit te drukken in een geldbedrag. Men gebruikt dan in plaats van maatschappelijk kosten geld als rekeneenheid .. Baten komen in plaats van opbrengsten en lasten in plaats van kosten. In plaats van geld kan ook tijd als rekeneenheid gekozen worden.

De werkwijze waarbij een herleiding plaatsvindt van individu-ele doelstellingen tot één nieuwe doelstelling zullen we . aanduiden met herleide enkelvoudige doelstellingsmodellen of herleide ééndimensionale modellen.

Er Z1Jn met herleide enkelvoudige doelstellingsmodellen voor de praktijk tal van bruikbare resultaten bereikt. Indien het verschil tussen baten en lasten wordt geoptimaliseerd zullen we dit hier met surplus optimalisatie aanduiden. Indien de vraag als gegeven wordt beschouwd en de lasten worden gemini-maliseerd zal dit lastenminimalisatie worden genoemd.

Een probleem van de methode vormt de onderlinge afweging van de verschillende doelstellingen. Deze vindt endogeen d.w.z. binnen het model plaats.

Een doelstelling kan b.v. z1Jn het minimaliseren van reistijden van automobilisten. Een dergelijke doelstelling leidt tot hoge snelheden op een wegennet. Een andere doelstelling kan zijn het minimaliseren van het aantal ongevallen. Dit geeft een verlaging van de snelheid. Als beide doelstellingen worden herleid tot één herleide doelstelling dan wordt een optimale snelheid gevonden waarbij een aantal doden wordt afgewogen _

tegen reistijdverliezen. De beslissingen over verkeersdoden en reistijdverliezen worden binnen het model en derhalve voor het beleid op ondoorzichtige wijze genomen. Dit is inderdaad

minder acceptabel.

Er zijn naast de hier genoemde traditionele optimaliserings-modellen optimaliserings-modellen tot ontwikkeling gekomen waarbij meer cri-teria gebruikt worden. We zullen deze methode aanduiden met meerdimensionale programmeringsmodellen of meervoudige doel-stellingsmodellen.

Er zijn verschillende typen modellen ontwikkeld. In dit opzicht belangrijk zijn de ontwikkelde modellen waarbij men de af-wijking ten opzichte van een voor ieder criterium gewenste realisatie waarde van de individuele doelstellingsfunctie minimaliseert. Het is uiteraard mogelijk om voor de gewenste waarde de maximale waarde te kiezen die zou ontstaan indien men doelstellingsfunctie voor ieder van de criteria afzonder-lijk zou optimaliseren. Er wordt vervolgens een oplossing gezocht, die zo weinig mogelijk afwijkt van de optima van alternatieve doelstellingsfuncties. Een overzicht van deze methoden wordt gegeven door [2].

Men kan b.v. de som van de ge;ogen afwijkingen ten opzichte van de gewenste realisatie waarden minimaliseren. Een alterna-tief kan ook zijn om de gewenste realisatiewaarden op één na als extra nevenvoorwaarden aan het model toe te voegen. In plaats van een kwadratische afwijking, kan ook de lineaire afwijking van de gewenste realisatie waarde worden beschouwd: Positieve en negatieve afwijkingen worden afzonderlijk bezien. Een ander methode is een bepaalde hiërarchie in de onderscheiden doelstellingsfunctie aan te nemen.

3.

De hier genoemde modellen hebben het voordeel dat verschillen tussen optimale oplossingen ieder met hun eigen doelstellings-functie expliciet worden gemaakt. Bovendien heeft de oplossing het voordeel dat beter kan worden ingespeeld op veranderingen in één van de doelstellingen.

STUURVARIABELEN

Een wïskundig prognosemodel bevat een aantal variabelen. Eén of meer, van deze .va rLabeLen-kunnen worden beïnvloed door over-heid of bedrijf. Deze variabelen worden dan stuurvariabelen, beslisvariabelen of instrumentvariabelen genoemd.

Ten aanzien van stuurvariabelen kunnen de volgende eisen worden gesteld:

het verband tussen veranderingen in stuurvariabelen en ontwikkeling van het systeem moet bekend zijn

het moet mogelijk zijn om de ontwikkeling te beheersen men moet in staat zijn de waarden die de stuurvariabele kan aannemen (de speelruimte) aan te geven.

Met stuurvariabelen worden veranderingen in het systeem be-werkstelligd. Deze stuurvariabelen zijn een vertaling van de maatregelen die genomen kunnen worden om een gunstige ontwik-.

keling te kunnen bewerkstelligen.

Voorbeelden van stuurvariabelen zijn tarief, parkeerbeleid, het wel of niet aanleggen van wegen etc. geografische sprei-ding van activiteiten etc.

Niet iedere verklarende variabele is een stuurvariabele. Bovendien kan een verklarende variabele voor de ene persoon wel en voor de ander geen stuurvariabele zijn.

Een voorbeeld van een verklarende variabele die niet of slechts in zeer beperkte mate beïnvloedbaar is, is het autobezit. Deze verklarende variabele heeft een belangrijke invloed op de groei van het verkeer. Men kan het autobezit evenwel niet, of in zeer beperkte mate beïnvloeden. De ruimte waarin stuurvariabelen be-ïnvloedbaar zijn, is zeer klein. Dit geldt ook voor het inkomen. Bezien vanuit de verkeerskunde is de omvang van het inkomen vrijwel niet beïnvloedbaar.

Indien men evenwel te maken zou hebben met het loonbeleid is uiteraard de beïnvloeding in meerdere mate mogelijk, hoewel ook dan de speelruimte klein blijft.

Een voobeéld van een stuurvariabele die soms wel en soms niet in het model als stuurvariabele kan worden gebruikt is de geo-grafische spreiding van activiteiten.

Voor degenen die uitbreidingen moeten plannen kan de vestiging van bevolking en arbeidsplaatsen een stuurvariabele zijn waar-mee men tracht de omvang van het verkeer te beperken. In de verkeerskunde wordt evenwel veelal de ruimtelijke spreiding van activiteiten als gegeven beschouwd. Men vraagt dan bijvoor-beeld' om een optimaal wegennet te bepalen bij een gegeven ruim-telijke spreiding van activiteiten. Dit houdt dus in dat de speelruimte van een stuurvariabele in de praktijk vaak zal samenhangen met het doel van de studie en met de bevoegdhe-den van degenen die deze studies kunnen uitvoeren.

\

\

4

.

NEVENVOORWAARDEN

Gegeven de doelstellingsfunctie

Y

=

F (xl ' x_{2 '} x_{3' x4 ..} .).

Men kan hieraan een aantal nevenvoorwaarden (i e l ) toevoegen:

Gi (xl' _{x 2}' _{x3' x4} ) ~ Ri'

De nevenvoorwaarden omspannen de ruimte die men toegelaten ge-bied noemt. In een samenhangend toegelaten gege-bied kan men van het ene punt naar het andere punt komen. Een gebied is niet

samenhangend als dit niet mogelijk is.

Nevenvoorwaarden zijn te onderscheiden in randvoorwaarden (= teken) en grenswaarden (~) . Ze worden in het model geïntrodu-ceerd om de werkelijkheid beter te beschrijven. Bij optimal

i-sering van ne t we r ke n worden vaak de verplaatsingen als gegeven beschouwd en dan met randvoorwaarden in het optimaliserings-proces van het model gebracht.

Grenswaarden worden in het model gebruikt om aan te geven dat een bepaalde fysieke waarde niet kan worden overschreden. Een voorbeeld hiervan is b.v. het aantal inwoners van een bepaalde stad.

Ook kan een doelstelling vaak in de vorm van een grensvoor-waarde in het model worden gebracht. Een voorbeeld zou kunnen zijn de doelstelling dat een plaats groter is dan 10.000 in-woners maar kleiner moet blijven dan 20.000 inin-woners.

Randvoorwaarden en grenswaarden zijn exogeen d.w.z. buiten het model bepaald. In het rekenmodel zijn ze gegeven en ze kunnen derhalve niet worden beïnvloed door de uitkomsten van het re-kenproces. Dit kan een voor- en een nadeel zijn. Bijvoorbeeld zal als gevolg van gelimiteerde ruimte het aantal inwoners van een woonwijk niet groter worden dan een bepaald maximum. Over-schrijding geeft uitkomsten die weinig plausibel en derhalve onbruikbaar zijn. Het gebruik van grenswaarden is dan dus z

in-vol.

Een ander voorbeeld. De activiteiten in binnensteden z1Jn af-hankelijk van de bereikbaarheid en daarom een functie van de kwaliteit van het vervoersysteem.

Bij een exogeen bepaald gegeven activiteitenpatroon, dat als randvoorwaarde in het model wordt gebruikt, kan de invloed van verbeteringen van het vervoerstelsel op het activiteitenpa-troon niet worden bepaald.

5. OPTIMALISATIE IN DE VERKEERSKUNDE

Optimalisatie in de verkeerskunde past men toe bij:

het bepalen van de korte routes in een netwerk (lineaire programmering)

het bepalen van routes in zwaarbelaste autonetwerken (niet lineaire programmering)

het distributie-model kan worden opgevat als een niet lineair programmeringsprobleem

de schatting vergelijkingen die gebruikt worden voor de berekening van coëfficiënten in verkeerskundige modellen geschiedt met behulp van optimalisatie technieken

Bij de bovenstaande optimalisaties worden geen huurvariabelen gebruikt. Enkele voorbeelden van optimalisatie huurvariabelen zijn:

optimalisatie van wegennetwerken [3]

optimalisatie afstelling verkeerslichtenregeling milieu-vriendelijke wegtracé's

optimalisatie van openbaar vervoerstelsels

6 VOORBEELD OPTIMALISATIE

6.1. Snelheid, halteafstanden, maaswijdte, opeenvolgingstijd en het

aantal bussen

Men zal bij het maken van plannen vaak voor de keuze staan hoe het lijnennet moet worden gemaakt. Men heeft de keuze tussen weinig lijnen met hoge frequenties of veel lijnen met lage frequenties en korte voor- en natransportafstanden.

In deze paragraaf zullen we de samenhang geven tussen deze grootheden. We gaan hierbij uit van een geschematiseerde

rechthoekige stad. De vraag wordt gespecificeerd met een logit model. We veronderstellen dat de gemiddelde lengte van de verplaatsing gelijk is aan 2/3 deel van de wortel uit het oppervlak. We optimaliseren de vervoervraag bij een gegeven aantal bussen.

De rechthoekige stad heeft de volgende afmetingen:

L is de lengte in km

B is de breedte in km.

De stad wordt doorsneden door een rechthoekig stratennet. Deze straten worden door bussen bereden. De onderlinge afstand tussen deze lijnen is dus de maaswijdte x.

nd B=breedle I

I

I I I

1--- ---1--

-J--_ ~ x::ITlCDSwijdR! I

1

-

-

-~---{-

-4----! I

I

I

r

4=holleo

F'tpl I I I

!

i

L=lenole

Op deze lijnen ZlJn haltes, Z is de halteafstand op·deze lij nen . De snelheid van de bussen wordt bepaald door een groot aantal

invloedsgrootheden,

v

=

de omloopsnelheid als er niet op haltes moet worden gestopt. De snelheid van v wordt mede bepaald door het tracé, onrege

l-matigheden , noodzakelijke reserve op begin en eindpunt , rus

t-periodes voor het personeel, etc.

c

=

het extra tijdverlies dat door overstappen op een halte ont-staat, dus inclusief de tijd voor optrekken en afremmen nodig

voor de stop.

De tijd per km bedraagt

(l

+

~).

v Z

Figuur 6.1 ~ Bij afleiding gebruikte geschematiseerde stad met rechthoekig wegennet en openbaar vervoer diensten In de lengterichting (L) van de stad bedraagt de omlooptijd inclusief stoppen

2L

{l

+

~}

v Z

Als n

l het aantal bussen is dat de lijn berijdt is de gemiddelde opeenvolgingstijd y

(6.1)

Het aantal bussen is

Op overeenkomstige wijze is af te leiden dat het aantal bussen in de breedterichting gelijk is aan

(6.5) (6.4)

(6.3)

Als x de maaswijdte is dan is het aantal lijnen in de

lengte-B

richting

x

N

=

~

=

2BL

{l

+ ~}

b x~ xy v z

Het totaal aantal bussen is derhalve

Het totaal aantal bussen op lijnen in de lengterichting is dus:

N

=

~ n

=

2BL

{l

+ ~}

I x I xy v z

N

=

N + N

=

4BL

{l

+

~}

I b xy v z

Het totaal aantal bussen per km2 _{is dus evenredig aan de}

nood-zakelijke omlooptijd, maaswijdte en opeenvolgingstijd. Als meer gestopt wordt neemt de omlooptijd toe en derhalve het aantal bussen.

6.2. De vraag

We veronderstellen dat de weerstand (U.), Weibull-verdeeld is.

1.

Dit houdt in dat de .ke uz e tussen bestemmingen en vervoerwijzen kan worden beschreven met een logit model. De kans dat i gekozen wordt is Prob [i

I

U .] = 1.

-eu.

e 1.

" -eu.

L e J j j J (6.6)

J is verzameling van alle verplaatsingen.

Omdat het aandeel van het openbaar vervoer slechts een gering deel is van het totaal aantal verplaatsingen maken we slechts een geringe fout als we U constant veronderstellen.

U

=

(L e-eUj)-l j

De totale vraag naar·openbaar vervoer D is de sommatie van alle openbaar vervoer verplaatsingen, d.w.z. over de deelverzameling

1.

D UL

i

-eu.

e 1., i I, (6.7)

I is een deelverzameling van J

U. is het offer, de weerstand of gegeneraliseerde tijd.

We stellen dat:

U.

=

tijd + kosten

=

a voortransporttijd + a natransporttijd +

1

~ (1 + d) wachttijd + hoofdtransporttijd + wachten + kosten

(6.8)

d

=

het aandeel overstappers.

De voor- en natransporttijd zijn ieder. 1 x + z 4 w met x de maaswijdte z de halteafstand w de loopsnelheid. De wachttijd is

_'2

1 _y. De hoofdtransporttijd is en r . de afstand 1

!

+

~

de omloopsnelheid met stoppen.

v z

Substitutie in

(82

.8)

geeft voor het offer of de weerstand

U

van i: 1 U =-i 2 a . x + z w +

êC1

+ d) 2 Y + r_i (__{v z}1 + -c) + kosten (6.9) 6.3 . Optimalisatie

We stellen in dit voorbeeld dat de maatschappelijke opbrengsten (baten) evenredig zijn met de vervoervraag D.

De totale opbrengsten stellen we per tijdseenheid ~D

De kosten per bus per tijdseenheid stellen we op g.

De te optimaliseren doelstellingsfunctie is

F

=

max (~D - gN)

=

max (D - AN) • ~

=

max (D - AN)

x,y,z x,y,z x,Y,z

(6.10)·

hetgeen bijna geheel overeenstemt met (6.10) . (6.11) À(N-No) • rJ (6.12) max (D x,y, z, À F

=

max rJD x,Y , z F

=

max (rJD - geN-No))

=

x,y, z, À Of

Een andere wl J z e van optimaliseren is maximalisatie van op-brengsten bij een gegeven aantal bussen d.w.z .

sub N

=

No

Het verschil is dat in (6.10) ook het aantal bussen wordt geoptimaliseerd terwijl bij (6. 11) het aantal bussen (N) ge-geven is. We kiezen de laatste methode en zullen optimale

op-los s i nge n voor verschillende waarden van N berekenen.

Het optimum bepalen we door de afgeleiden van F naar x, y, z en À te bepalen en deze afgeleiden gelijk nul te stellen. De afleiding

dat de oplossing ook werkelijk optimum is (negatief definiet zijn

va n matrix van tweede afgeleiden) laten we aan de lezer over.

aF

ox

=

aF aDaD ax

oN

ax =

eDa

2w rJ + À4BL {

-xzy

l

v + ~}z rJ

=

0 (6.13)

oF

eDêC1 + d ) rJ + À4BL { 1 " c _{} rJ} 0

=

_X?

- +

-

₌

oy

2 v z aF

₌

_ eDa

+ eD c

R

+ À4BL c ₀ rJ

=

oz

2w

?

n

---xy?

(6.14) (6.15 )

-eu

L

Ue i r. l met R

=

=---::-::::---i

hetgeen gelijk is aan de gemiddelde lengte van de verplaatsingen; 4BL"{ I C

=

N rJ - + - } rJ

=

0

o xy v z (6.16)

Uit (82.13) en (82.14) volgt dat:

x

=

y êC1 + d) w

De maaswijdte is dus recht evenredig met de opeenvolgingstijd, de verhouding in perceptie, het aantaloverstappers en de loop-snelheid.

6.4. Enkele conclusies

De optimalisatie geeft om enig inzicht in de samenhang tussen maaswijdte, halteafstand en volgtijden bij een gegeven aantal bussen. De resultaten van deze berekening zijn indicatief en kunnen wellicht gebruikt ·wor de n voor een eerste opzet van een netwerk. Voor een meer op een concrete situatie toegespitste berekening zal men meer geavanceerde modellen moeten toepassen waarbij wegennet en matrices met verplaatsingen worden gebruikt voor netwerk optimalisaties.

De resultaten van de hier gepresenteerde modellen z1Jn afhanke-lijk van de wijze waarop tijd en kosten gewaardeerd worden. We beperken ons hier tot de gebruikelijke waarde voor de perceptie van de voor- en natransporttijd van 2 en voor wachten 3. Het aan-deel aan overstappers is op 20% gesteld (zie tabel 6.1).

De maaswijdte is, afhankelijk van het aantal bussen bij een

gebruikelijke snelheid van gemiddeld 15 tot 20 km per uur, gelijk aan 2 tot 3 maal de halteafstand. Bij een lagere snelheid (12.tot 15 km per uur) is de maaswijdte 2 tot 4 maal de halteafstand.

Men dient hierbij niet uit het oog te verliezen dat de perceptie van lopen en wachten nogal zou kunnen verschillen tussen verschil-lende categoriën verkeersdeelnemers. Bejaarden zullen lopen wel-licht anders beoordelen dan de beroepsbevolking of scholieren. In de praktijk zal men een compromis tussen alle groepen na-streven. Het meest ideale zou zijn om ieder marktsegment een eigen openbaar vervoer te geven. D.w.z. laag frequent o.v. met grote maaswijdte en weinig stoppen tijdens spitsperiode voor de beroepsbevolking en fijnmazige netwerken, met lage frequentie

(wellicht op afroep), voor bejaarden.

In tabel 6.1 is tevens de index gegeven voor de opbrengsten. Een hoger aantal autobussen per km2 _{geeft eveneens een hoger}

aan-tal reizigers. Immers meer bussen geven kleinere halteafstanden, lagere snelheden en kleinere maaswijdte. Dit leidt dus tot iets langere rijtijden, kleinere wacht- en looptijden.

Een snelheidsvergroting geeft eveneens hogere opbrengsten. Er ontstaan kortere rijtijden, kortere wachttijden en kleinere loop-afstanden.

Uiteraard zijn aan een groter aantal bussen hogere kosten vex-bonden. Als we de kosten evenredig stellen aan het aantal bussen levert dit een lijn op door de oorsprong van figuur 6.2. In het algemeen zijn de kosten 2 à 3 maal de opbrengsten gemeten in geld. Daarna ast zijn er andere maatschappelijke opbrengsten.

Bij de in de figuur getekende kostenlijn ligt de maximale op-brengst bij 2 tot 3 bussen per uur bij een snelheid van 16 tot 17 km/uur. De opeenvolgingstijden zijn 6 tot 7 minuten, de halte-afstanden 350 tot 400 meter en de maaswijdte 800 tot 950 meter. Als de snelheid afneemt daalt de maatschappelijke opbrengst aan-zienlijk. Dit houdt in dat bij lage snelheden maatschappelijke verliezen ontstaan.

Uit de figuur valt af te leiden dat de omvang van de opbrengsten kan worden bevorderd door

een vergroting van het aantal bussen

een vergroting van de gemiddelde snelheid.

Een vergroting van de gemiddelde snelheid van 15 tot 17 km/uur heeft eenzelfde opbrengst als vergroting van het aantal bussen

van 2 tot 3 per km2 •

Vergroting van de snelheid van dienstuitvoering tot een optimaal op de reizigers afgestemde lijnvoering en een zo regelmatig moge-lijke dienstuitvoering zullen de resultaten meer beïnvloeden dan een groter aantal bussen. Uiteraard dienen deze uitkomsten te

worden gezien in het kade van het globale karakter van deze studie.

LITERATUURVERWIJZINGEN

1. KRIENS, J. en DE LEVE, G. (1971) Leergang besliskunde, deelS. Inleiding tot mathematische besliskunde. Mathematisch Centrum Amsterdam. MC Syllabus 1.5.

2. NIJKAMP, P. en RIETVELD, P. (1977). Multiple doelstellings-methoden in het ruimtelijk beleid.

Planning, methodiek en toepassing, nr. 3 pag. 26-38.

3. STEENBRINK P.A. Optimization of Transport Network, John Wiley. London, New York, Sydney, Toronto pag. 71-e.v.

4. EOCD (1972). Organisation for Economic Co-operation and Deve-lopment, Optimisation of bus operation in urban areas, Paris.

.

] ZOO

t---7"'-:...---;7..c....----..

r

... .&I e, <> 100+ + t +

-v=

II~)-Zlkm/uur

v.

14-18km/uur V..12-15km/uur o 1 _{" 5 6} &u...n/knf

Figuur 6.1 - Verband tussen het aantal bussen per km2 en

Tabel 6.1 - Samenhang tussen aantal bussen, snelheid, maaswijdte, halteafstand, opeenvolgingstijd en opbrengst-index. Perceptie lopen is 2 en wachten 3,6.

---I PERCEl' TIE LOPP4 2.1) ~N I/ACHTP-I ( 1lolCL OVEQSTAppERS) 3.6

I TIJOV~I?LIES OER STOP .'> "I1tJ

---1 BUSSE N S~IELHEI 0 "IAAS- HALTE- VOLG- 1 1",DE~ 1 1 PER l'}'10 EI? 1 l'IET I 1/IJOH AFSTA"lO TIJO IOPBRENGST1

I 1C"··2 SToopENISTOPPENI 1 1

1 I'" IC"I I UUR 1 111I "1 JN ~ IN "IIN 1 Tx .03 I

---I .5 1 30 21 1 2052 I 64 0 1 11 I lCD I I 1 .0 1 ~n 10 1 140~ 1 537 I Po I 141 I I 1 • 5 1 30 18 I 1240 I "l1 I 7 1 165 I 1 2.0 I 30 18 1 10 0 0 I LLL I 6 1 1110 1 1 2.5 1 30 17 I 005 1 417 I 6 1 192 1 I 3.0 I 3~ 17 1 ol!! I 3 06 I 5 I 200 I I 3.5 I 30 17

-,

8B I 380 I 5 1 207 I I 4.0 1 30 16 1 ~1Q 1 ~66 I 4 I 213 I I 4.5 I 30 16 I 769 I 354 I 4 _I 218 1 1 5.0 I 30 16 I n5 I ,,~ [ 4 I 222 I I 5.5 I 30 16 I 705 I 334 I 4 1 225 1 i 6.0 I 30 I 16 I 670 1 37.6 I 4 I 22~ # • 1---1---1---1---1---1---1---,.1

---. .- _.

---t' M:ICfPT1E LOPE" 2.0 EN IIACHTE~ (I~CL OVEIl5TA'"PERS) 3.6

TIJDVERLIES PEl? STOP .6 ~1~

1BUSSEN r ~It I IC .. ••2 I SNELHEID "AAS-ZONDER I "ET I \/1 JDH STOPPEN1STOPPEN1 IN K" I UUR I IN .. HALTE-AfSTANO VOLG-TIJD IN "'IN I INDEX I 10P8ltENGST I I I I T- .03 I I •5 I 25 1 8 I 21 09 627 I 12 I 88 I I 1.0 I 25 17 I lt.(In 520 1 0 1 128 I I 1 .5 I 25 16 I 13 3 1 466 I 7 I 1so I I 2.0 I 25 16 I 1160 430 I 6 I 166 1 I 2.5 I 25 15 I 1058 405 I 6 I 177 1 1 3.0 I

z

s 15 I 075 H5 I 5 I 185 1 I 3.5 1 25 15 I 910 369 I 5 I 192 1 1 4.0 I 25 1 5 I I!SI! 355 I 5 I 198 I . 1 4.5 I .25 14 1 1114 344 I 5 I 203 1 1 5.0 I 25 14 I 777 ~:u I 4 I 207 I 1 5.5 I 25 14 I 746 325 1 4 1 210 1 1 6.0 I 25 I 14 I 718 1 317 I 4 I 213 I 1---1---1---1---1---1---1---I ---~---- --- --~

PERCEPTIE LOPEN 2.0 EN IIACHTE~ (IHCL OVERSTAPPERS) 3.6

TIJDVERLIES PER STOP. .6 ~IH

---18USSE~ I PER I K"'.·2 I SNELHEI0 "AAS-ZOIllOEIl I ME T I lilJ OH STOPPEN1STOPPENI

IN IC"I I UUR I IN M IN "I

VOLG-TIJD IN ~tN I INDEX I 10P",RENGST1 I I I Tx .03 t

---I .5 20 15 I· 2400 600 I 13 74 I 1.0 2(1 14 I 17LO 4~0 I 10 110 1 1.5 20 lL I lL44 447 I 8 132 I 2.0 20 13 1 1 2 t , 6 413 1 7 147 I 2.5 20 13 I 1144 380 I 6 1 H I 3.0 ZO 13 I 1~53 370 I. 6 166 I 3.5 20 13 I 011 2 355 I 5 172 I 4.0 20 13 I o?~ ~4? I 5 178 1 4.5 21) 12 I ~77 331 1 5 183 I 5.0 20 12 I ~37 322 1 5 1!7 I 5.5 20 12 1 802 3B I 4 100 I 6. Q I 20 I 12 I 7n I 306 I L I 193 I 1---1---1---1---1---1---1---1 ---~--- -- - -- - - -