LICEUM I TECHNIKUM. zakres rozszerzony. Matematyka poznać, zrozumieć. Podręcznik, klasa3

(1)

zakres rozszerzony

Matematyka

poznać, zrozumieć

LICEUM I TECHNIKUM

Podręcznik, klasa 3

147807_okladka_ rozszerzona.indd 1 2014-07-16 09:31:25

(2)

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr Marii Borowskiej, dr. hab. Edwarda Tutaja, dr. Tomasza Karpowicza.

Zakres kształcenia: rozszerzony Etap edukacyjny: IV

Typ szkoły: szkoły ponadgimnazjalne Rok dopuszczenia: 2014

Numer ewidencyjny w wykazie:

582/3/2014(dla tradycyjnej i elektronicznej formy podręcznika)

Warszawa 2014 Wydanie I

ISBN 978-83-02-14527-8

Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Agnieszka Trzpil-Gajek (redaktor koordynator, redaktor merytoryczny), Aneta Juchimiuk, Ewa Kowalik, Edyta Warzecha (redaktor merytoryczny) Konsultacje naukowe: Leon Gulgowski

Redakcja językowa: Milena Schefs Redakcja techniczna: Janina Soboń

Projekt okładki: Paweł Rafa, Marta Jedlińska, Joanna Plakiewicz Projekt stron działowych: Joanna Plakiewicz

Projekt graficzny: Katarzyna Trzeszczkowska Opracowanie graficzne: Ewa Pawińska Fotoedycja: Ignacy Składowski

Skład i łamanie, rysunki: MathMaster Studio Zalecane wymagania systemowe i sprzętowe

Podręcznik elektroniczny w formacie PDF otwierany na komputerach PC i MAC wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (http://get. adobe. com/reader/); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Apple iOS wymaga zainstalowania bezpłatnego programu iBooks (do pobrania ze sklepu App Store); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Android wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (do pobrania z Google Play).

Pomoc techniczna:epomoc@wsip.com.pl

Materiały, do których masz dostęp, nie mogą być rozpowszechniane publicznie, nie mogą być przedmiotem dalszego obrotu. Rozporządzanie ich opracowaniem wymaga uzyskania zgody.

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne spółka z ograniczoną odpowiedzialnością 00-807 Warszawa, Al. Jerozolimskie 96

Tel.: 22 576 25 00 Infolinia: 801 220 555 www.wsip.pl

Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują.

Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło.

A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl Polska Izba Książki

(3)

S P I S T R E Ś C I

O podręczniku ... 6

1. Granica i p o cho dna funkcji

... 9

1.1 Granica funkcji w punkcie ... 10

1.2 Ciągłość funkcji w punkcie ... 17

1.3 Obliczanie granic funkcji w punkcie ... 23

1.4 Granica niewłaściwa funkcji w punkcie ... 28

1.5 Granica funkcji w nieskończoności ... 32

1.6 Granice jednostronne funkcji w punkcie ... 38

1.7 Asymptoty wykresu funkcji ... 46

1.8 Ciągłość funkcji w przedziale liczbowym ... 51

1.9 Pochodna funkcji w punkcie ... 56

1.10 Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej ... 61

1.11 Własności pochodnej funkcji w zbiorze ... 66

1.12 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji ... 71

1.13 Ekstrema lokalne funkcji ... 76

1.14 Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale liczbowym ... 81

1.15 Zastosowanie pochodnej funkcji do badania własności funkcji ... 84

1.16 Zastosowanie pochodnej funkcji w zagadnieniach optymalizacyjnych ... 88

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ... 91

2. Stereometria

... 93

2.1 Proste i płaszczyzny w przestrzeni ... 94

2.2 Graniastosłupy i ich rodzaje ... 101

2.3 Krawędzie i przekątne w graniastosłupie ... 106

2.4 Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa ... 113

2.5 Ostrosłupy i ich rodzaje ... 119

2.6 Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa ... 126

2.7 Kąt dwuścienny ...134

2.8 Pole powierzchni całkowitej i objętość walca ... 140

2.9 Pole powierzchni całkowitej i objętość stożka ... 145

2.10 Pole powierzchni i objętość kuli ... 150

2.11 Bryły podobne ... 154

2.12 Bryły wpisane i opisane ... 158

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ... 165

(4)

3. Statystyka i rachunek

prawdop o dobieństwa

... 169

3.1 Prezentacja danych statystycznych ... 170

3.2 Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym ... 178

3.3 Analiza rozproszenia wyników ... 190

3.4 Częstość występowania ... 195

3.5 Doświadczenie losowe... 198

3.6 Działania na zdarzeniach losowych ... 203

3.7 Reguła mnożenia i reguła dodawania ... 210

3.8 Permutacje i wariacje ... 217

3.9 Kombinacje ... 223

3.10 Prawdopodobieństwo zdarzenia ... 228

3.11 Różne metody obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń ... 235

3.12 Prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo całkowite ... 242

3.13 Własności prawdopodobieństwa ... 248

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ... 253

4. Powtórzenie

... 259

4.1 Liczby rzeczywiste ... 260

4.2 Wyrażenia algebraiczne ... 271

4.3 Równania i nierówności ... 279

4.4 Funkcje ... 289

4.5 Ciągi liczbowe ... 305

4.6 Trygonometria ... 317

4.7 Planimetria ... 330

4.8 Geometria analityczna ... 344

4.9 Stereometria ... 355

4.10 Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa ... 363

4.11 Granica i pochodna funkcji ... 373

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ... 380

Bank zadań

... 392

Wartości funkcji trygonometrycznych ... 416

Odpowiedzi ... 417

Indeks ... 447

(5)

Kraj bez matematyki nie wytrzyma współzawodnictwa z tymi, którzy matematykę uprawiają.

Hugo Steinhaus

Podręcznik zamyka cykl edukacyjny Matematyka. Poznać, zrozumieć dla uczniów, którzy w 2012 r. rozpoczęli naukę matematyki zgodnie z nową podstawą progra- mową dla zakresu rozszerzonego. Mamy nadzieję, że ta publikacja pomoże każ- demu z Was dostrzec piękno matematyki oraz ją zrozumieć. Staraliśmy się, aby nasza książka w sposób przystępny wprowadziła Was w nowe zagadnienia, zachę- ciła do samodzielnego uczenia się i utrwalania poznanych wiadomości.

W trzech pierwszych rozdziałach podręcznika do klasy trzeciej zamykamy całość omawianych treści zawartych w obowiązującej Podstawie programowej. Wzorem podręczników do klasy pierwszej i drugiej znajduje się tu wiele przykładów, ćwi- czeń i zadań do samodzielnego rozwiązania. Do sprawdzenia stopnia opanowania wiedzy i umiejętności proponujemy znane już zestawy zadań: po każdym temacie A gdyby sprawdzian był teraz? oraz po każdym rozdziale A gdyby matura była te- raz?. Dodatkowe zadania zamieszczamy w Banku zadań pod koniec podręcznika.

Do większości zadań podajemy odpowiedzi.

Egzamin maturalny z matematyki wymaga solidnego powtórzenia i utrwalenia wiadomości. W tym celu opracowaliśmy rozdział czwarty, w którym zamieszczamy: pogrupowane tematycznie zadania powtórzeniowe, poznane wcześniej definicje, twierdzenia oraz przykłady.

Uzupełnieniem tego podręcznika jest Zbiór zadań dla klasy 3. Układ zadań w zbio- rze jest skorelowany z układem treści w podręczniku.

Autorzy

(6)

Stereometria

2

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

rozpoznawanie w graniastosłupach i ostrosłupach kątów między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), obliczanie miar tych kątów rozpoznawanie w graniastosłupach i ostrosłupach kątów między odcinkami

i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), obliczanie miar tych kątów

rozpoznawanie w walcach i stożkach kątów między odcinkami oraz kątów między odcinkami i płaszczyznami (np. kąta rozwarcia stożka, kąta między tworzącą a podstawą), obliczanie miar tych kątów

rozpoznawanie w graniastosłupach i ostrosłupach kątów między ścianami określanie, jaką fi gurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną stosowanie trygonometrii do obliczeń długości odcinków, miar kątów,

pól powierzchni i objętości

określanie, jaką fi gurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną określanie, jaką fi gurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa

płaszczyzną

BUDYNEK VELES E VENTS W WALENCJI, HISZPANIA

W podręczniku znajdują się trzy rozdziały tematyczne i jeden rozdział powtórzeniowy. Na końcu podręcznika zamieszczono odpowiedzi do większości znajdujących się w nim zadań.

O podręczniku

tów między zanie miar t ątów między zekątnymi i odcinkami o cia stożka,

kątów międz łościanu pł cinków, mia zczyzną słupa lub os

y odcodcinnnkkkkkkakakakkakkkkkakakkkkkkkkakaaaaaaammmmmmmmmmmmmmmmmmiiii iiiiiiii tych kch kąątttówtówtówtówtówtówttówóówóówówówówówówówóówówwwwwwwwwww

y odcodciiinkakkakkakakkakakakakakakakakakkakakkakkakkakaammmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiii i ściaannnaaaaaaami)mi),mi)mmmi),mi)mmi)mi)mi)mi),mi)mmimmmmmi)mmi)mi)mmmi)mi)mi),mmmmmmmi))))),,,,, oraz kkkątątóątątąttówttówtótótówtówtówtówtówttótótótóttówtówtttóttóówówówówóówówówóówóóww kątaa mmmmimmmimiędiiiiiiiiiiiędzęędzęęędędędzędzędędzędzędędzędzędzęędęędzyędzyęędęędddddzdzdzzzzzyzyzyzyzyzzzyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

zy ścciiaannamnamnamnananamnamnamnamnanamnannamnanamnnnnamnamnnannaaamamamamaamamamaamamaammmmmmmmiiiiiiii łaszcczzzyzzzznąznąznąznznznznąznznąznąznznązznąznzznzzznązznznzznznąnąnąnąnąnąnąnąnnną ar kąttóóówwwwww,w,w, w,ww,www,wwwwwwww,www,

strossłłłupauppapapappppppppapapapapapapapapppapppapppppaaaaaa

Strona działowa z wymaganiami szczegółowymi z podstawy programowej dla zakresu rozszerzonego

A gdyby sprawdzian był teraz?

Zestawy zadań zamkniętych i otwartych, sprawdzających opanowanie wiadomości z danego tematu

Projekt, czyli praca długoterminowa

Odsyłacz do Banku zadań

(7)

ZESTAW II – poziom rozszerzony Zadanie 1. (4 p.)

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Długość krawędzi podstawy, wysokość i dłu- gość przekątnej prostopadłościanu tworzą ciąg arytmetyczny. Suma długości jednej krawę- dzi podstawy i wysokości jest równa długości przekątnej i wynosi 10 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

Zadanie 2. (4 p.)

Przekątna sześcianu jest o 4 dm dłuższa od krawędzi sześcianu. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

Zadanie 3. (3 p.)

Promień koła opisanego na podstawie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równy 4

3 cm. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod ką- tem o mierze 60^◦. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Zadanie 4. (6 p.)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a i ściany boczne są trójkątami prostokątnymi.

a) Narysuj siatkę ostrosłupa.

b) Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

c) Oblicz tę wysokość ostrosłupa, która jest poprowadzona na ścianę będącą trójkątem równobocznym.

Zadanie 5. (5 p.)

Cztery wierzchołki sześcianu o krawędzi długości 9 są jednocześnie wierzchołkami czwo- rościanu foremnego.

a) Oblicz pole powierzchni całkowitej tego czworościanu.

b) O ile objętość czworościanu jest mniejsza od objętości sześcianu?

Zadanie 6. (3 p.)

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe

3 15+

3

cm², a stosunek długości krawędzi bocznej do długości krawędzi podstawy wynosi 2:1. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 7. (6 p.)

Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6, a promień koła opisanego na tym trójkącie jest równy 5. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta dookoła przeciw- prostokątnej. O ile procent ta objętość jest mniejsza od objętości bryły powstałej z obrotu koła o promieniu 5 wokół jego średnicy?

Zadanie 8. (3 p.)

Oblicz pole przekroju kuli o promieniu R = 8 cm, jeśli miara kąta wyznaczonego przez średnicę kuli i średnicę przekroju jest równa 60^◦.

167

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?

Rozwiązane przykłady Definicje, które trzeba znać

Czter ierzchołki sześcia

zchn orośc

ałko sto z po

ąta p Obl cent kół

kuli ę prz Cztery wierzchołki sze rościanu forremneemnego. go a) Ob

a) Ob) liczlicz polpolp e poe pwiererz b) O i

b) b)) b) O i b) O)O b) O i b) O i b b b) O)OOOO b) O i b) O b) O

b) Olle ole ole ole oe oeeoooobjętbjbbjbjętbjębjętbbjętbbbbbbbjbjbjębjębjbjbbjbbjbjjjjjjjęjęjęjęjęjjjjętjęjęjjęjjjęjjęjęjjęjjjjjjjjjjjęęęęętęęętętętęęęętęttttttttttttttttośćość ość ooooooośoooooooośoooośośooośśćś czczwo Z

Zadanie 6.... (. (...... (((((((((((((((((((333333 p3 p3 p33 p3 p333 p33 p3333333 p3333pppp.p.pppppppp) P

Pole powwwwwiiiieiieiiieieieriieeeeeererererereereerzeeerrzrzrzrzrzzzzzzzzcccccchcccccccccccchnii c

333 15555 1 15555+++++++++++++++

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

c cmmm², a wy wynosi22222222222:222222::1:1::1:::1:1:::::11.. ObObbllicz Zadanie 7..... (((((((((((((((66 66666 p6 p6 p6 p6666 p66 p66666 p6666666pp.pppppppppppppp)) Przyprostokkkkkkkkąkąkąkkkąkąkąkąkąkąkąąąąąąąąąąąąąąąąttttttntntntnttnatttntntntntnananananananannananaaa a aaaattróóójkką trójkącie jeeessststststttt t rrrrrrrrrrrrrrrrróóówówóówóóóóóóówówówóówóóóóóówóówóówówwwnywwwwyy 55.

prostokątneeejejejejeej.jj.. O OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOiille pprroc koła o prommmmmmmmimimimmmiemmiiiieieieeeeeeeeeeenininnininniuniuninnninnnnnnniunnnnniuiiuiuiuu u uuuuuu5 wwok Zada

Z d Z d Z dnie iii 8.88... (((((((((((((33333333 p333333ppppp.pppppppppppppppppppppp.ppp).)) Oblicz polee eeeepppprppprpprppprprzeprrrzrzrzrzrzrzerzrrrzrrzzezzeeeeeekkrooojju średnicę kuululuuuuuliiiii ii iiiiiiii śii śiiiiiiiśśśśśśśśśśśśśśśśrrrrerrrrrrrrrrrrrrednnniicę

A gdyby matura była teraz?

Zestawy zadań skonstruowanych na wzór zadań maturalnych, oparte na materiale danego działu

Temat lekcji

(8)

zamieszczamy wykaz umiejętności zgod- ny z nową podstawą programową.

– definicje.

– twierdzenia.

– ważne informacje do zapamiętania.

– treści rozszerzające podstawę programową. O ich realizacji decyduje nauczyciel.

– wskazane użycie kalkulatora.

– zadanie zamknięte, które ma więcej niż jedną poprawną odpowiedź.

– interesujące wiadomości.

– zestaw zadań do każdego tematu.

– zestaw krótkich zadań sprawdzających opanowanie wiadomości z danego tematu.

– praca długoterminowa.

– odsyłacz do Banku zadań.

– zadania skonstruowane na wzór zadań maturalnych, oparte na materiale danego działu.

– zbiór dodatkowych zadań, umożliwiających utrwalenie zdobytych wiadomości i umiejęt- ności.

– odesłanie do elektronicznego zeszytu ćwi- czeńna wsipnet.pl.

BANK ZADAŃ

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?

BANK ZADAŃ z. 273–278 » » »

P R O J E K T

A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?

Z A D A N I A C

I E K A W O S T K A

Twierdzenie

Definicja

(9)

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

obliczanie granic funkcji (i granic jednostronnych) z wykorzystaniem twierdzeń o działaniach

na granicach i własności funkcji ciągłych obliczanie pochodnych funkcji wymiernych

korzystanie z geometrycznej i fi zycznej interpretacji pochodnej

korzystanie z własności pochodnej do wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji

znajdowanie ekstremów funkcji wielomianowych i wymiernych stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień

optymalizacyjnych

1 Granica

i pochodna

funkcji

(10)

1.1 Granica funkcji w punkcie

Ciąg liczbowy an= ²ⁿ_n⁻¹ma granicę równą 2. Oznacza to, że wraz ze wzrostem n wyrazy tego ciągu przybliżają się do liczby 2. Możemy zatem przypuszczać, że a1000≈ 2 z bar- dzo małym błędem bezwzględnym.

Rozważmy funkcję f(x) = ^x_x²₋⁻₁¹. Jej dziedziną jest zbiór R^\{1}. Zatem nie można okre- ślić wartości tej funkcji dla argumentu x = 1, ale można to zrobić dla argumentów bliskich 1, np.: x =

0,98, x = 1,005, x =³

0,99. Obliczenie dokładnych wartości funkcji f dla podanych argumentów może być uciążliwe albo niewykonalne. Możemy jednak po- znać ich przybliżoną wartość, gdy obliczymy granicę funkcji f w punkcie x = 1.

PRZYKŁAD 1.

Dana jest funkcja f(x) = ^x_x²₋⁻₁¹, gdzie x^∈R^\{1}. Dla podanego ciągu (xn) argumentów funkcji wyznaczmy ciąg

f(xn)

wartości funkcji i obliczmy jego granicę.

a) Ciąg (xn) o wzorze ogólnym xn = ⁿ⁺_n¹ zbieżny do liczby 1 oraz xn= 1, n^∈N₊. b) Ciąg (xn) o wzorze ogólnym xn = ⁿ⁻_n¹ zbieżny do liczby 1 oraz xn= 1, n^∈N₊. c) Dowolny ciąg (xn) zbieżny do 1 oraz xn= 1, n^∈N₊.

a) f(xn) = f_n₊₁

n

= f 1+ ¹_n

=

1+¹_n₂

−1 1+¹_n−1 =

2 n+ ¹

n² 1 n

=

1 n

2+¹_n

1 n

= 2+ ¹_n

n→lim+∞f(xn) = lim

n→+∞

2+ ¹_n

= 2

b) f(xn) = f_n₋₁

n

= f 1− ¹_n

=

1−¹_n₂

−1 1−¹_n−1 = ⁻

2 n+ ¹

n²

−¹_n = ⁻

1 n

2−¹_n

−¹_n = 2− ¹_n

n→+∞

2− ¹_n

= 2

c) f(xn) = ^(x_xⁿ⁾²⁻¹

n−1 = ^(xⁿ⁻_x^1)(xⁿ⁺¹⁾

n−1 = xn+1, gdyż xn= 1

n→+∞(xn+1) = 2, gdyż lim

n→+∞xn= 1

(11)

Zauważmy, że lim

n→+∞f(xn) = 2 niezależnie od wyboru ciągu (xn) zbieżnego do 1. Powiemy, że funkcja f(x) = ^x_x²₋⁻₁¹ ma w punkcie x = 1 granicę równą 2, co zapisujemy symbolicznie jako limx→1

x²−1

x−1 = 2. Możemy to interpretować następująco: dla argu- mentów bliskich liczbie 1 wartości funkcji f(x) = ^x_x²₋⁻₁¹ są bli- skie liczbie 2. W szczególności f(1,005) ≈ 2, f

0,98

≈ 2, ...

ĆWICZENIE 1.

Dana jest funkcja f(x) = ^x²⁻_x^2x₊₁⁻³ określona dla x=−1. Naszkicuj jej wykres i oblicz

n→lim+∞f(xn), gdy ciąg (xn) argumentów funkcji:

a) jest określony wzorem ogólnym xn= ¹⁻_nⁿ, n^∈N₊, b) to dowolny ciąg zbieżny do−1 i xn=−1, n^∈N₊. Czy wiadomo, jaka jest wartość wyrażenia lim

x→−1

x²−2x−3

x+1 ? Co zauważasz na wykresie?

Mówienie o granicy funkcji w danym punkcie x0 ma sens, gdy funkcja jest określona w sąsiedztwie tego punktu, czyli w zbiorze (x0− e; x0)^∪(x0; x0+ e), gdzie ^e^>0.

Punkt x0może, ale nie musi należeć do dziedziny funkcji.

Zatem liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów (xn) zbieżnego do x0, którego wyrazy spełniają warunek xn= x0, ciąg wartości

f(xn)

jest zbieżny dog.

Dana jest funkcja f określona w sąsiedztwie punktu x0. Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów (xn), którego wyrazy spełniają warunki xn= x0oraz lim

n→+∞xn= x0, prawdziwa jest równość lim

n→+∞f(xn) = g.

Symbolicznie zapisujemy to jakolim

x→x₀f(x) = g.

Definicja

1.1. Granica funkcji w punkcie

(12)

PRZYKŁAD 2.

Obliczmy granicę funkcji w punkcie x0. a) f(x) =−x+3, x0 =−2

b) g(x) = ⁻^x²_x⁺₋^5x₂⁻⁶, x0 = 2

c) h(x) =

₉₋_x2

x+3 dla x=−3

1 dla x =−3, x0=−3 a) Df = R

Bierzemy dowolny ciąg argumentów (xn) taki, że xn=−2 oraz lim

n→+∞xn=−2. Wtedy

n→+∞(−xn+3) =−lim

n→+∞(xn)+lim

n→+∞3 =

=−(−2)+3 = 5, zatem lim

x→−2(−x+3) = 5.

b) Dg = R^\{2}

Bierzemy dowolny ciąg argumentów (xn) taki, że xn= 2 oraz lim

n→+∞xn = 2. Ponieważ xn= 2, to

n→lim+∞g(xn) = lim

n→+∞

−(x_n)²+5x_n−6 xn−2 = lim

n→+∞

−(x_n−3)(x_n−2) xn−2 =

= lim

n→+∞(−xn+3) =−2+3 = 1, zatem lim

x→2

−x²+5x−6 x−2 = 1.

c) Dh= R

Bierzemy dowolny ciąg argumentów (xn) taki, że xn=−3 oraz lim

n→+∞xn=−3.

Ponieważ xn=−3, to

n→lim+∞h(xn) = lim

n→+∞ 9−(xn)²

x_n+3 = lim

n→+∞

(3−xn)(3+xn) x_n+3 =

= lim

n→+∞(3−xn) = 3−(−3) = 6, zatem lim

x→−3h(x) = 6. Zauważmy, że lim

x→−3h(x)= h(−3).

Popatrzmy na wykresy funkcji z przykładu 2. Nietrudno zauważyć, że gdy argumenty funkcji dążą do punktu x0, wtedy wartości funkcji dążą odpowiednio do liczb: 5 (w punkcie a), 1 (w punkcie b), 6 (w punkcie c). Zatem już na podstawie obserwacji wykresu funkcji możemy przypuszczać, jaką liczbą jest granica funkcji w danym punkcie.

(13)

ĆWICZENIE 2.

Naszkicuj wykres funkcji f i oblicz lim

x→x₀f(x) w punkcie x0. Sprawdź, czy obliczenia są zgodne z tym, co widzisz na wykresie.

a) f(x) = x−4, x0=−1 b) f(x) = ^x²⁻_x^2x₋₄⁻⁸, x0= 4

c) f(x) =

_x2+7x+10

x+2 dla x=−2

5 dla x =−2 , x0=−2

PRZYKŁAD 3.

Wykażmy, że nie istnieje granica funkcji f(x) = _|x|^2x₊_3x w punkcie x0= 0.

Df= R^\{0}

Weźmy ciąg argumentów (an) o wzorze ogólnym an= ¹_n, n^∈N₊. Mamy an= 0 oraz lim

n→+∞an= 0.

n→lim+∞f(an) = lim

n→+∞ 2an

|a_n|+3a_n = lim

n→+∞ 2 ·¹_n 1

n+3 ·¹_n = lim

n→+∞ 2 n 4 n

= ¹₂

Weźmy teraz ciąg argumentów (bn) o wzorze ogólnym bn=−¹_n, n^∈N₊. Mamy bn= 0 oraz lim

n→∞bn= 0.

n→lim+∞f(bn) = lim

n→+∞ 2bn

|bn|+3bn = lim

n→+∞ 2 ·

−¹_n 1

n+3 ·

−¹_n = lim

n→+∞

−²_n

−²_n = 1

Zatem dla dwóch różnych ciągów (an) i (bn) argumentów funkcji f takich, że

n→lim+∞an= lim

n→+∞bn= 0, lim

n→+∞f(an) = lim

n→+∞f(bn). Oznacza to, że w punkcie x0= 0 nie istnieje granica funkcji f(x) = _|x|^2x₊_3x.

Zauważmy, że na podstawie wykresu funkcji f także można było ocenić, że nie istnieje jej granica w punkcie x0= 0.

ĆWICZENIE 3.

Sprawdź, czy funkcja f(x) = _x₋^x_2|x| ma granicę w punkcie x0= 0.

(14)

ĆWICZENIE 4.

Naszkicuj wykres podanej funkcji i oceń, czy istnieje granica tej funkcji w punkcie x0. a) f(x) = ^2x²_x⁺^x, x0= 0

b) g(x) =

−x + 3 dla x∈R^\{2}

2 dla x = 2 , x0= 2 c) h(x) = _|x^x⁺₊³_3|, x0=−3

d) p(x) =−

(x+1)²

|x+1| +1, x0 =−1

Podana definicja granicy funkcji została sformułowana przez niemieckiego matematyka Heinricha Eduarda Heinego (1821–1881). Gdy nie potrafimy obliczyć granic ciągów wartości funkcji, nie mo- żemy skorzystać z tej definicji. Wykorzystuje się wówczas inną definicję, podaną przez francuskie- go matematyka Augustina Louisa Cauchy’ego (1789–1857), która jest sformułowana w języku otoczeń:

Dana jest funkcja f określona w sąsiedztwie punktu x0. Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby e>0 istnieje taka liczba d_>0, że dla dowolnego argumentu x, jeżeli 0<|x−x0|<d, to |f(x)−g|<e.

Definicja Cauchy’ego pozwala na obliczenie np. granicy funkcji f(x) =

x w dowolnym punkcie x0>0 oraz granicy funkcji f(x) = ^{sin x}_x w punkcie x0= 0:

x→xlim₀

x =

x0dla x0>0,

limx→0 sin x

x = 1.

1.Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x).

Granica funkcji y = f(x) w punkcie x0 = 2 A. jest równa 2.

B. jest równa 0.

C. nie istnieje.

D. jest równa granicy w punkcie x1 = 0.

Z A D A N I A

C

I E K A W O S T K A

(15)

2.Funkcja f(x) = ^x²⁺_x^2x₊₄⁻⁸w punkcie x0= −4 A. nie ma granicy.

B. ma granicę równą 0.

C. ma granicę równą 2.

D. ma granicę równą ₋6.

3.Na podstawie wykresu funkcji f wskaż punkty, w których nie istnieje granica tej funkcji.

a) b)

c) d)

4.Na podstawie wykresu funkcji f oceń, czy istnieje granica funkcji w punkcie x0. Jeżeli istnieje, podaj jej wartość.

a) f(x) =−¹₃x+2, x0=−3 b) f(x) = x²−x−6, x0= 2 c) f(x) = ¹⁻_x^2x, x0=−1 d) f(x) =

−x²+2x−1 dla x= 1

1 dla x = 1, x0 = 1

5.Skorzystaj z definicji i oblicz granicę funkcji f w punkcie x0. a) f(x) = 3−2x, x0=−2

b) f(x) =−x²+2x−1, x0 = 3 c) f(x) = ₂^x^√²₂⁻₋⁸_x, x0 = 2

2

d) f(x) =4 dla x = 2

x²+3x−10

2−x dla x= 2, x0 = 2

(16)

6.Wykaż, że:

a) lim

x→4

₁

2x−5

=−3, b) lim

x→−1(x²−x+1) = 3, c) lim

x→−1 x²−1

x+1 =−2, d) lim

x→¹₂

2x²+3x−2 0,5−x =−5.

7.Wykaż, że funkcja f(x) = _x^x₂²⁺^x⁻⁶

+4x+3nie ma granicy w punkcie x0 =−1.

A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?

1.Dane są funkcje:

I. f(x) = x−3 II. g(x) = x²+2x+3 III. h(x) = ^x_x²₊⁻₃⁹ IV. k(x) =

x²−2 dla x=−3

−6 dla x =−3 Taką samą granicę w punkcie x0=−3 mają funkcje

A.I, II i III B. II i IV C.I i III D. I, III i IV 2.Skorzystaj z definicji i oblicz granicę funkcji f(x) = 2x−

2 w punkcie x0= 0.

3.Na podstawie definicji uzasadnij, że lim

x→−1(x³−2x+1) = 2.

BANK ZADAŃ z. 1–3» » »