Mathematische methoden in de hydromechanica

SCHEEPSHÎDRODYHAMIGA

är-. i r . A . J . Hermans

DIHOUDSOPGAVE

1 ASYMPTOTISCHE METHODEN 1

2 pMSTRO^ü:NG VAJS PROFIELEN MET DIKIEVEEDELIIIG 10

3 SLA2ÏKE LICHAMEM UI OHDIEP mTER 17

3 . a SjTumetrische homogene stroming 17 3..b Symmetrische gelaagde stroming 32 3 . C S c h i p v a r e n d i n eoa u i t g e g r a v ö i g e \ i l i 39

k OMSTRÓMIIIG VAN DUIIHE PROFIELEN MET WELVING 1^5

5 SLANKE LICHAMEN IH ONDIEP WATER 5^*

-5 . a Dwars aangestroomd ( b l o l ü c e r i j i g ) . ^If . ^ . b Varen i n een Vanaal 61

6 V A R M DOOR EËN WISSELEND SNELHEIDSVELD 72

7 PASSEREN VAN SCHEPEN 82

AANBEVÛIEN BOEKEN 91

-1 ASYMPTOTISCHE METHODEN

Het i s n o o d z a k e l i j k a l l e r e e r s t een a a i i t a l b e g r i p p e n en methoden u i t de

t h e o r i e der asymptotiek t e behandelen, De i d e e ë n d i e we h i e r ontwikkelen z i j n t e r u g t e v i n d e n i n het boek van M i l t o n Van Dyke " S i n g u l a r P e r t u r b a t i o n s i n F l i i i d Mechanics".

1.1 In de t h e o r i e d e r asymptotiek wordt g e b r u i k gaaaakt V€tii een a a n t a l orde symbolen, waarvan d i e van Landai voor ons d o e l voldoende z i j n .

Gegeven de f u n k t i e s f ( e ) en gCe)^ w a a r b i j e > 0. We s c h r i j v e n nu f = 0(g) a l s e O i n d i e n | f ( e ) / g { e ) | begrensd i s a l s e. t o t n u l n a d e r t . We s c h r i j v e n f = oCg) a l s e -»• O i n d i e n | f ( e O / g C e ) | t o t n u l nadert a l s e t o t n u l n a d e r t . Vb. s i n 2e = 0(e) a l s e O / l - « 0(1)

e x p ( - 1/e) = o(c°^) voor a l l e m,.

Het orde symbool g e e f t een bovengrens a a n , dus h o e f t n i e t het exakte gedrag weer t e geven. Zo g e l d t b i j v o o r b e e l d :

s i n 2 E = 0 ( 1 ) , o ( l ) , O ( e ^ ) , o(c2) e n z .

De f y s i s c h e r e l e v a n t i e v a n het orde symbool b e h o e f t n i é t groot t e z i j n ^ zo i s Ke = 0 ( E ) voor a l l e K-waarden, b i j v . 10 o f 10.00.

In f y s i s c h e p r o b l ^ e n kunnen ve s l e c h t s hopen d a t de twee b e g r i p p e n g e r e l a -t e e r d z i j n . IXis da-t een f ó u -t van 0 ( E ) voor e r e d e l i j k k l e i n be-teken-t da-t de numerieke f o u t n i e t g r o t e r i s dan een matig v e e l v o u d van e, m o g e l i j k 2e o f 2iTe , maar geen 10e.

We z u l l e n dus a l t i j d na moeten gaan o f een asymptotische benadering ook numeriek een goede benadering i s .

1.2 We zvillen nu een a a n t a l b e g r i p p e n behandelen.

D e f i n i t i e 1 : Een r i j f u n k t i e s {<^j^(e)} i s é é n asymptotische r i j voor e -»• O a l s voor i e d e r e n g e l d t :

_ 2

-D e f i n i t i e 2: -De reeks ^ ^n^n^^^ ® ^ asymptotische b e n a d e r i n g ( t o t op ÏÏ-termen) van de f u n k t i e f ( e ) voor s O met b e t r e k k i n g t o t de asymptotische

r i j {I(I^(E)} a l s N f ( e ) =

l

en noemen ve d i t de asymptotische o n t w i k k e l i n g van f (e) v o o r t 0^

D e f i n i t i e 3: De f u n k t i e s f C e ) en g(e) z i j n a s y m p t o t i s c h g e l i j k met b e t r e k k i n g t o t de asymptotische r i j {i|ij^(e)> a l s

f ( e ) = g ( E ) + o(*^Ce)) a l s e O

voor a l l e g e h e l e waarden van n a O

We s c h r i j v e n f.(e) O a l s

f ( e ) - o((|>^(e)) a l s e - » - 0 V n a O

V b . {<t.^(e)} = {e""}

e • ^ / ^ O want e'^^^ = o(e'^), V n ^ O

We merken op dat d ë c o ë f f i c i ë n t e n van de asymptotische o n t w i k k e l i n g van f ( e ) é é n d u i d i g b e p a a l d z i j n , immers: H-1 n=0 A = l i m . / '\ L i n e a i r e kpmbinaties en i n t e g r a l e n van « t s y m p t o t i s c h e o n t w i k k e l i n g e n l a t e n z i c h op analoge w i j z e d e f i n i ë r e n . D i f f e r e n t i a t i e van asymptotische o n t w i k k e l i n g e n i s n i e t a l t i j d m o g e l i j k . V b . De f u n k t i e f ( e ) = e~^'^^ s i n e^^^ v o l d o e t é a n f ( s ) '\' O v o o r {A (e)} s {e^} v o o r n i O a l s e p o s i t i e f i s eh t o t n u l n a d e r t , n

E c h t e r f ' ( e ) * 1/e^ Ce s i n e^^^ - cos e^''^] h é é f t g é é n asymptotische o n t w i k k e l i n g met b e t r e k k i n g t o t {E*^}.

Het i s i n v e l e g e v a l l e n ook n i e t m o g e l i j k asymptotische r i j e n t e vexmenig-v u l d i g e n , aangezien de d u b b e l r i - j

aJ.s een enkele a s y m p t o t i s c h e r i j .

v u l d i g e n , aangezien de d u b b e l r i - j { é è } n i e t a l t i j d h e r s c h r e v e n kan worden m

n-2 n-2 3 ^ 5

V b . {IÏI^(E)} : {e, e 3jae, é , e ä ê , e^, ...,} 0.1,^2 i s geen e l s a e n t v a n {<^^(e)}.

Het i s vaak n o o d z a k e l i j k een meer algemene d e f i n i t i e v a n een asymptotische o n t w i k k e l i n g t e g e b r u i k e n . D e f i n i t i e h: De f o r m e l e r e e k s ; I ^ k t ^ J k=0 ^ i s een a s y m p t o t i s c h e o n t w i k k e l i n g v a n de f u n k t i e f ( e ) met b e t r e k k i n g t ó t de asymptotische r i j {ifr.(c)} a l s e -»• O , a l s v o o r a l l e N g e l d t : N = l f ^ ( E ) + o ( 4 > „ ( e ) ) . a l s e O k=0 ^ ^ We s c h r i j v e n dan OB f ( e ) '^^ l f. ( e ) , { * . . ( £ ) } a l s e O k=0 ^ ^ Merk op d a t deze o n t w i k k e l i n g n i e t é é n d u i d i g i s .

Deze n i e t - ê ê n d u i d i g h e i d g e e f t ons vat s p e e l r u i m t e , waardoor van é e n ruimere k l a s s e v a n f u n k t i e s h e t a s y m p t o t i s c h e g é d r a g b e s t u d e e r d kan worden;.

D e f i n i t i e 5: De r e e k s J A^(x) •^(e)^ x e R i s een u n i f o r m e asymptotische b e n a d e r i n g ( t o t op N-te3;Taen) v a n de f u n k t i e f ( x , e) v o o r e O met b e t r e k k i n g t o t de a s y m p t o t i s c h e r i j {<|>^(e)} a l s N . f ( x , e) = I A . ( x j * . ( e ) + o ( 4 > „ ( e ) ) a l s e O V x e R i=0 ^ ^ ^ V b . Beschouw f ( x , e) = e"^^S ^*n^^^^ ^ ^^^^ a) S : ^ ^ , « ) f (x, e) % O V X e R b) R : [ 0 . » ) f ( x ,

£) f' O

u

-1.3 We z u l l e n nu een asymptotische o p l o s s i n g zoeken van het v ó l g e n d e beginvaarde probleem ey" + y ' + y = O , y ( 0 ) = 1, y ' ( 0 ) = O De é x a k t e o p l o s s i n g l u i d t : p-e - p-e

7 M

met P., = (- 1 + / I - hè) = - 1 + 0(e) voor e -*• O = "1^ (- 1 - / Ï ~ ^ n i 7 ) = - 1/e + 0(1) voor e ->- O

(p en pp z i j n o p l . van de k a r a k t e r i s t i e k e v g l . £ p 2 + p + i = 0 ) . P^t

Pp e

We z i e n dat y ( e , t ) = e é h uniforme asymptotische benadering i-s van P2 - P i

y ^ ( t ) m . b . t . {e } op het i n t e r v a l :

Q < f i ä t < « ( ö > 0 )

dus n i e t - u n i f o i r m op O S t < « .

De tveede term i s n l . van het g r e n s l a a g k a r a k t e r e "^/^•**^'^( ^ ^ maakt dat y ( e , t ) e®Q n i e t - \ i n i f o r m e benadering i s .

P^t P2 e

E c h t e r y ( e , t ) = kan nog v e r d e r naar e o n t v i k k e l d v o r d e n . P2 - Pi

^1* - t Beschouw e = e + t O ( E )

We z i e n d€tn dat het antwoord van y ( e » t ) dat a l d u s v e r k r e g e n wordt, s l e c h t s U n i f o r m gel<^g i s pp een e i n d i g t i j d s i n t e r v a l

O < 6 £ t s T

Oiagave 1. Voer de bovengeschetste p r o c é d u r e u i t en v e r i f i e e r de beweringen.

De asymptotische o p l o s s i n g van bovengenoami probleem i s ook v i a een d i r e k t e wég t e v e r k r i j g e n . De procedure i s dan a l s volgt::

V e r o n d e r s t e l dat de o p l o s s i n g van

ey" y ' + y = O, y ( 0 ) = 1, y ' ( û ) = O

y ^ ( t ) = y Q ( t ) + e y , ( t ) + e^y2(t) + . . .

I n v u l l e n en r a n g s c h i k t e n l e v e r t

7Q* + ^0 * ^ ^ ' ^ l ' ^1 * ^o"^ * ^^^^2 * ^2* + = O

We v e r o n d e r s t e l l e n nu dat voor w i l l e k é ü r i g e waarden vah e.(mits voldoende

k l e i n ) ew. goede benadering gevonden wordt door de termen voor g e l i j k e machten van e g e l i j k n u l t e s t e l l e n , d.w.. z..

^O' * 2^0 " °

e : ^2* ^2 ^ • ^ l "

Voor i e d e r e f u n k t i e y^ wordt nu een e e r s t e orde d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g gevonden. De vraag r i j s t nu"aan welke b e g i n k o n d i t i e d i e n t y^ nu t e v o l d o e n " . I n v u l l e n van de asymptotische reeks i n de beginvoqrwfi^rden en g e l i j k s t e l l e n van g e l i j k e ordes l e v e r t :

yQ(0) = 1 yQ*(0) = O y^io) = O y / C o ) = o y g f o ) = O y g ' C o ) = o

j ü a ï e v e p r o c e d u r e .

We z i e n nu dat een keuze gemaakt moet worden. We k i e z e n de e e r s t e kolom^ Deze keuze i m p l i c e e r t een niet—uniform gedrag i n de b u u r t van t = 0. Wat b e t r e f t y-,(0) = 1 b l i j k t deze keuze goed t e z i j n .

Z o a l s z a l b l i j k e n i s e c h t e r het g e l d i g h e i d s g e b i e d u i t t e b r e i d e n t o t t = O d . m . v . de "grenslaag methode".

I n d i e n we de tweede kolom gekozen hadden, zou d i t n i e t m o g e l i j k z i j n .

Opgave 2. V é r i f i e . e r deze bewering (na b e h a n d e l i n g van de g r e n s l a a g methode)

O p l o s s i n g : y^ = e'* y^ = - t e * *

6

-A l s we nu de o p l o s s i n g s c h r i j v e a l s een asymptotische o p l o s s i n g van de vorm:

X - t ^ 2 , t ^ - t

~t.'

dan z i e n we d i r e k t dat een o p l o s s i n g t o t op 0 ( e ) , welke geschreven wordt a l s

y = e''^ - ete"*

n i e t u n i f o r m g e l d i g i s vopr g r o t e waarden van t;.

De volgende term wordt n l . van d e z e l f d e orde v o o r t = e~^ en l e v e r t dan dus f o u t e n van O ( e )

We kunnen ook k o n s t a t e r e n dat de e i s

2

e y g = 0(e y^j) v o o r e -*• O

n i e t v o l d a a n i s v o o r g r o t e waarden yah t , dww.z;. de r e e k s i s n i e t samenge-s t e l d u i t een asamenge-symptotisamenge-sche r i j .

2 - 2 - t - t v e ( t e - 2 t e )

e t e - *

« e(t - 2)

S t e l t = e"**. We z i e n dus dat

^ 1

gaat s l e c h t s naar n u l vbor E O y o o r a < 1, d . w . z . de o p l o s s i n g i s eeh u n i -forme asymptotische o p l o s s i n g op het i n t e r v a l :

0 < 6 s t i T < e~^"^** V p > O

^ h^M' ßf i' »* >f i' f' j' f' j^j' i^A

De o p l o s s i n g i s e c h t e r u n i f o r m g e l d i g t e maten op het i n t e r v a l O £ t < <». ï n het l i n k e r g e b i e d v o r d t h i e r t o e de g r e n s l a a g methode "matched asymptotic esEpansions" g e b r u i k t .

In h é t r e c h t e r g e b i e d wordt de methode d e r " s t r a i n e d c o o r d i n a t e s " g e b r u i k t , 2

d . v . z ; . met behulp van de t r a n s f o m i a t i e s ~ t ( 1 + e a . + e a « + . - - ) worden -s 2 - s

de s e c u l i e r e termen van d ë v o m se , s e i n de v e r g e l i j k i n g voor de f u n k t i e s y^(s) veggeverkt door gesclaikte keuze van a^.

Deze l a a t s t e methode i s e c h t e r v o o r de i n d i t k o l l e g e t e behandelen problemen van o n d e r g e s c h i k t b e l a n g , daarom z u l l e n ve e r h i e r geen u i t w e r k i n g v a n geven.

Opgave. 3. Werk de l a a t s t genoemde methode u i t .

Wij z u l l e n ons beperken t o t een e i n d i g t i j d s i n t e r v a l O < t < T en een u n i f o r m g e l d i g e asymptotische o p l o s s i n g k o n s t r u e r e n m . b . t . de g r e n s l a a g methode. H i e r t o e wordt de t i j d s c h a a l opgerekt d*m.v., T = ^ ot nader t e b e p a l e n e d^ _ - a - 2 a d f _ dt • ^ d T ' ^2 ^ ^ : "2 dt dT I n v u l l e n l e v e r t : dT

G e z i e n het type randwaardeprobleem m o é t e r naar g e s t r e e f d worden dat aan b e i d e k p n d i t i e s v o l d a a n w o r d t , d . w . z . dat voor y^ i n

y d ) = y ß C i ) + cy^(T) + e^y2(T) -K

a l l e y^ o p l o s s i n g e n z i j n van een tweede o r d e v e r g e l i j k i n g . D i t l u k t door a = 1 t e k i e z e n , a > 1 l e i d t t o t t r i v i a l e o p l o s s i n g e n

-Opgave .k, V e r i f i e e r deze l a a t s t e opmerking.

We v i n d e n nu:

1 "'1 t : y^" y g ' = - y^

De randvoorwaarden worden nu y ( 0 ) = 1, 1/e y ' ( 0 ) = O, d . w . z .

y o ( û ) = 1 y Q ' ( O ) = O y / O ) « O

- 8 ^

O p l o s s i n g :

^ 0 = 1

y = 1 - T - e - X

d.w. z .

y^"^(T) % 1 + e(1 - T - e"^) + . . . y ^ ' ^ ( t ) 'x, 1 + e(1 - t / e - e"*/^) +

1 - t + e ( l - e"*/"^) +

Nu b l i j k t dat de n a ï e v e ' o p l o s s i n g v o o r het uitwendige g e b i e d op p a g . n i e t j u i s t i s voor wat b e t r e f t y.^, y^ enz,.

We d e f i n i ë r e n nu de uitwendige o p l o s s i n g , d i e d i e n t t e v o l d o e n aan een a a n -s l u i t v o o r w a a r d e

v a a r b i j de beginvoorvaarde gevonden wordt d j n . v . de a a n s l u i t r e g e l v a n M i l t o n Van Dyke:

de m term inw. o n t w i k k e l i n g van de (n t e i m u i t v . o p l o s s i n g ) = de n term u i t v . o n t v i k k e l i n g v a n de (m term inw. o p l o s s i n g ) .

K i e s e e r s t m = n = 1.

m s 1 term van de inwendige o p l o s s i n g h e r s c h r e v e n i n uitwendige k b o r d i n a t e n n = 1 term o n t w i k k e l i n g

n = 1 term van de uitwendige o p l o s s i n g yQ^(t) h e r s c h r e v e n i n inwendige k o o r d i n a t a i

o n t w i k k e l ^ naar e m ~ 1 term

vet)

m = n = 2. m = 2 termen v a n de i n v e n d i g e o p l o s s i n g h e r s c h r e v e n i n uitwendige k o o r d i n a t e n ontwikkelen naar n = 2 termen 1 + e(1 - T - e""^) 1 + e - t - ee"*/^ 1 - t + e + o(e^) 1 - t + e

n = 2 termen vian de uitwendige o p l o s s i n g h e r s c h r e v e n i n i n v e n d i g e k o o r d i n a t e n o n t w i k k e l e n naar m = 2 termen h e r s c h r e v e n i a u i t v e n d i g e k o o r d i n a t e n e"* + ey^^{t) e ' " + ey^^(eT) 1 - r r + ey^^(O) + O(e^) 1 - eT + E y , ^ ( 0 ) 1 - t + ey,^(0) H i e r u i t v o l g t y.|^(0) = 1 i . p . v . O b i j n a ï e v e o n t w i k k e l i n g , d . w . z . u - t ^ - t y , = e - t e .

Deze procedure kan zo v o o r t g e z e t worden.

We hebben nu gevonden:

y^"^(t) 'V 1 - t + e ( l - e-*/^)

, m t w , , v ^ - t ^ , - t ^ - t \ y ( t J ' V ' e + e(e - t e )

Nu kan een u n i f o n n e g e l d i g e o p l o s s i n g v e r k r e g e n worden volgens de volgende r é g e l :

^uhif, u i t w . _inw. u i t w

D i t l e i d t t o t :

y ^ i ^ ( t ) = 1 - t + e ( l - e"*/^) + e"* + e ( e - * - te"*) - ( l - t + e) d . w . z .

y ^ ^ ^ ( t ) = e-* + c ( e - * - é'^'^ - t e ' * )

D i t r e s u l t a a t wordt ook v é r k r e g e n door de exakte o p l o s s i n g t e ontwikkelen op een i n t e r v a l O £ t £ T .

10

-OMSTROMING VAN PROFIELEN MET DIKTE VERDELING

Aan de hand van het k l a s s i e k e probleem van de omstroming van een dun p r o f i e l met d i k t e v e r d e l i n g i n een o n e i n d i g u i t g ^ t r ^ c t medium z u l l e n we de t h e o r i e

ontwikkelen d i e g e s c h i k t i s voor syrametrische ondiep-water problemen. De r e s u l t a t e n d i é we h i e r v e r k r i j g e n z i j n reeds l a n g bekend en op een eenvou-d i g e r manier t e k o n s t r T ï ê r e n .

Het l i c h a a m wordt gegeven door de v e r g e l i j k i n g

_ r ± h ( x , z , e) voor ( x , o , z) i n H ^ ~ l O voor ( x , O , z^ n i e t i n H

w a a r b i j H de p r o j e k t i e van het l i c h a a m i s op het v l a k y = 0. De "dunheid^ yan het lichajam wordt weergegeven d o ö r t e s c h r i j v e n

h ( x , z , e) = eH(x, z)

w a a r b i j e een k l e i n e parameter i s .

A l s e n a a r n u l g a a t , k r i m p t het l i c h a a m i n t o t een p l a t v l a k p a r a l l e l met de i n k t e n d e s t r o m i n g . H i e r u i t v o l g t dat de s n e l h e i d p o t e n t i a a l i n het b u i t e n g e b i e d p r e c i e s de p o t e n t i a a l van de inkomende stroming i s . Algemeen nemen we de v e r r e v e l d o n t w i k k e l i n g van de vorm

N (t»(x, y , z , e) l ?^(X5 y , z , e,) n=0 w a a r b i j = ° ^ * n ^ ^ e O v o o r v a s t e x , y , z . In het d r i e - d i m e n s i o n a l e g e v a l kunnen we s t e l l e n y , z , e) = e • ^ ( x , y , z) w a a r b i j g e l d t * Q U I y . z) = Ux

Aangezien de stroming w r i j v i n g s l o o s en r o t a t i e v r i j i s , v o l d o e t ^{x, y , z) aan de L a p l a c e v e r g e l i j k i n g i n het h e l e veld_. H i e r u i t v o l g t dat i e d e r e term van de v e r r e v e l d o n t v i k k e l i n g v o l d o e t aan

é + A + é = 0 voor y > O ^nxx ^nyy ^nzz

I n het o n e i n d i g e g e l d t tevens

V ( * - Ux) O

Daarom moet, v o o r n > O, i e d e r e 0^ s i n g u l i e r z i j n i n het v l a k y = O o f konstant i n het h e l e g e b i e d . Deze l a a t s t e m o g e l i j k h e i d i s t r i v i a a l en kan b u i t e n beschouwing b l i j v e n . Daarcam wordt v e r o n d e r s t e l d dat i e d e r e

s i n g u l i e r i s i n het y = O v l a k .

Aangezien het een s y B ä n e t r i s c h e stroming i a , i s een b r o n b e l ^ g i n g v o l d o e n d e . De s t e l l i n g van Green kan g e b r u i k t v o r d e n om d i t aan t e t p n è h ; d ü s <()^ kan geschreven worden a l s ; . , I a „ ( 5 . C) d £ d ç , „ ( x . y . z) = . 1^ ' ' -09 - « /

{x-ir

l ^

Dit. i s de meest algemene o n t w i k k e l i n g v o o r de o p l o s s i n g i n het v e r r e v e l d . Zoals b i j het v o o r b e e l d i n de v o r i g e p a r a g r a a f , moeten de onbekende f u n k t i e s O j ^ ( ç , C) b e p a a l d worden u i t a a n s l u i t i n g met de d i c h t b i j o p l o s s i n g . Daartoe moet deze ^ l o s s i n g o n t w i k k e l d worden i n het d i c h t b i j v e l d . Aangezien het l i c h a a m de vorm h e e f t

y - eH(x, z)

i s de r e l e v a n t e l o k a l e k o o r d i n a a t g e l i j k aan

ï = y / e

12 6 ( x , e Y , z)= -'n 1 a ^ ( Ç , ç ) dÇdc 1 « 1 « / (x-€)^ + e ^ ï ^ + ( z - ç ) * Ontwikkelen voor k l e i n e e en v a s t e ï l e v e r t : 34* « ^ ( x , e ï , z) = *^(x, o , z) + E Y ( x , o , z) + E ^ 2 ^^*n + ( x . o , z) + . . . 2 3*^ .2v2 a * 3^* = *^(x, 0 , z) + eY ^ ( x , o , z ) - { - ^ ( x , 0 , z) -H— ^ ( x , o , z ) ) 3y ^ - 3x^ 3z' (—X + — ) — ( x , o , z) + 2- 3x^ 3z^ We noemen nu *^(x, o , z) = o^(x, z ) 3i^ en v e r k e n (x, o , z) v e r d e r u i t 30 _{Oj,.Ce. ç ) y} y-O J,^ [ ( x - Ç ) 2 + y 2 + ( z - ç ) 2 ] 3 / 2 dÇdç = l i m ^ + y^o i i ^1 ^2 De l i m i e t overgang v o o r de i n t e g r a a l over G.| i s r e g u l i e r en l e v e r t n u l op dus 9^ — ( x , o , z ) = l i m ^ y a ^ ( Ç , 4) dÇdç ; : S ^ J C ( x . ç ) 2 . y 2 M z - ç ) V / 3

We nemen nu voor Gg een c i r k e l t j e m ë t middelpunt ( x , z ) en s t r a a l 6, dan v o l g t na ontwikkelen van o^ii, ç ) om het punt ( x , z ) :

H ^ ^1 f y ° n ^ * * ^ ^ ^ ^ y*0 ^ i , ( r ' . y ) -+ r e g i i l i e r e i n t e g r a l e n De l i m i e t over het l a a t s t e d e e l l e v e r t n u l o p . Q-pgave 6. V e r i f i e e r d i t . De e e r s t e i n t e g r a a l kan v o r d é u u i t g e r e k e n d ; e r v o l g t : ^ ( x , O . z) = l i m î y 0 ( x . z) {|y|""' - (6^ + y^)""^} ^ y ^ = i Oj^Cx, z ) sgn y

H i e r u i t v o l g t dus dat de i n v e n d i g e o n t w i k k e l i n g wordt:

(^^(x, e Y , z) a^(x, z ) + l c ^ ( x , z) + - i r ^ ' ^ f W " V z ^ " 2 = 3 r « ' W ' ^ W * - n z z ^ * + r r e M ( a + 2 a + a ) kl nxxxx nxxzz n z z z z We kunnen n u ook de v o l l e d i g e r e e k s o n t w i k k e l e n ; e r v o l g t : * ( x , e Y , z , e) Ux + ea^ ( x , z) + ^ ^ { C L ^ U , Z ) + a^{x, z ) ) +

+ t^ia^ix,

H i e r t o e wordt y = eY g e s u b s t i t u e e r d i n de o o r s p r o n k e l i j k e f o m ü l é r i n g . De L a p l a c e v e r g e l i j k i n g wordt n u : •,r.r = - e ( é + 4 ) ^YY ^^xx * z z ' t e r w i j l de k i n e m a t i s c h e k o n d i t i e op h e t l i c h a a m wordt (beschouw y > 0 ) : *x^x " *y ^ *z^z * O op y = l i t x , 2, E ) = eH(x, z) D i t l e i d t t o t :

-

lit

-ffe v e r o n d e r s t e l l e n nu d a t ook de d i c h t b i j o p l o s s i n g t e s c h r i j v e n i s a l s

• U , y , z , e) i *j^(x, Y , Z i c) I w a a r b i j = o($^) = n=0

= e^"*"^ ^ a + l ^ * » a l s e -»• O voor v a s t e (x* Y , z)

Het d r i e - d i m e n s i o n a l e probleem i s t e s c h r i j v e n i n machten van e î

We gaan e r w e ë r van u i t dat * Q ( X , ï , Z ) = Ux ( d i t v o l g t u i t de a a n a l u i t i n g s -p r o c e d u r e ) .

De v e r g e l i j k i n g voor * £ ( x , Y , z) v o l g t nu u i t het s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n dat o n t s t a a t door machten van e g e l i j k t e s t e l l e n van de v e r g e l i j k i n g :

t e r w i j l de randvoorwaarde w o r d t :

v o o r Y = H ( x , z)

Deze r e l a t i e s moeten g e l d e n voor w i l l e k e u r i g e e voldoende k l e i n , We z i e n dat

*1YY "

= O voor Y - H ( x , z)

w a a r u i t v o l g t *^(x, Y , z) =* A.j(x, z) w a a r b i j A.| een onbekende f u n k t i e i s v a n ( x , z ) . Voor 4g v o l g t : * 2 Y Ï = 0 *2Y ^ x ^ ^ » ^ * H i e r u i t v o l g t :

*2(x, T, z) = A2(x, z) + |Y1UH^(X, z)

3 (x. Y, z) v o l d o e t aan: *3yy = - ( ^ x x ^ ^ i z z ' *3y = ^ix^x * ^ z ^ z ï = H ( x . z ) met a l s o p l o s s i n g * 3 Ï Ï = S^^' * ' ' ^ ^ ^ ' z l 1^1 - = ^ ( ^ x x * ^ z z ) De b e n a d e r i n g voor de o p l o s s i n g i n het b i n n ^ g e b i e d h e e f t nu u i t ë i n d e l i j k de vorm: 2 4t(x, e Y, z , e) Ux + A-(x5 z) + E { A - ( X , Z ) + UH ( x , z) |Y|) + I c X '

e3 {A3,(x, z) + C(A^^H)^ + {A,^H)^] | ï | - l ^{A^^ + A^^^)} + 0{J*)

We z u l l e n p r o b e r e n o f i n é é n k e e r de 3 op 3 a a n s l u i t i n g u i t g e v o e r d kan worden. De o p l o s s i n g v o o r het b u i t e n v e l d s t a a t op p a g , 13 reeds i n de goede vorm (de o p l o s s i n g v o o r het b i n n e n g e b i e d wordt e e r s t h é r s c h r e v e n op uitwendige k o 5 r -d i n a t e n i n p r i n c i p e é n -daarna 3 termen gencmen wsiarna weer geschreven i n inwendige k o o r d i n a t e n ) .

Het b l i j k t dat de inwendige o p l o s s i n g ook reeds de goede vorm h e e f t . A a n -s l u i t e n l e v e r t n u : I j a ^ ( ç , ç ) dÇdc 1 r ' i ) a^(x, z) = A ^ ( x , z) * 1 7 H / ( x - Ç ) ^ + ( z - ç ) ^ i ) a 2 ( x , z ) = A 2 ( x , z ) = - ]J7

_ t l \ °z^^* ^^^^

De k l a s s i e k e t h e o r i e voor dunne schepen ( l i c h a m e n ) , g e e f t deze inwendige b e -n a d e r i -n g a ü t o m a t i s c h . De o p L s s s i -n g ka-n gee-n i m i f o r m i t e i t e -n v e r t o -n e -n aa-n de r a n d van H . D i t probleem i s v o o r ons n i e t erg i n t e r e s s a n t op d i t moment.

. 16

-Het b l i j k t h i e r dat de uitwendige o p l o s s i n g u n i f o r m g e l d i g i s i n het h e l e g e b i e d (behalve de r a n d e n ) . Deze ingewikkelde procedure was h i e r dus n i e t n o d i g .

Het b l i j k t dat i n d i e n r e k e n i n g gehouden d i s i t t e vorden met een v r i j v l o e i s t o f -o p p e r v l a k , d i t e ï s s e n t i e e l v e r a n d e r t . We zu Tl é n i n het v-olgende h -o ö f d s t ü k d e z e l f d e procedure a l s h i e r v o o r v o l g e n voor het g e v a l v a n de omstroming v a n een s l a n k s c h i p op ondiep w a t e r .

3 SLANKE LICHAMEN IN ÖNDI-EP WATER

3-,a Symmetrisch homogene, atroming

De a n a l y s e d i e we h i e r g e v é n i s t e r u g t e v i n d e n i n een p u b l i k a t i e van E . 0 , Tuck "Shallow-water f l o w s p a s t s l e n d e r b o d i e s " J . F l u i d Mech, (1966) v o l . 2 6 j p p .

61-95.

We i n t r o d u c e r e n een scheepsvast k o S r d i n a t e n s t e l s e l z o a l s i n de f i g u u r gegeven.

U

De stroming i s n i é t - v i s k e u s en r o t a t i e v r i j , daarom v o e r e n we weer é e n poten-t i a a l f u n k poten-t i e f i n maar nu op de volgende manier*

u,= UV(x H - is,)

Op de scheepsromp g e l d t de k i n e m a t i s c h e k o n d i t i e d . w . z . de normaal s n e l h e i d i s g e l i j k n u l , d . w . z . 3n (x + *) = O w a a r b i j de scheepsroio:^ gegeven i s a l s y = F ( x , z) De k o n d i t i e op de romp i s nu t e s c h r i j v e n a l s l i . (1 + 11) I L - . M l î L - O 3y ^ 3x' ax 3z 3z " t e r w i j l op de v l a k k e bodem z = - h g e l d t : l i 3z

. 18 -k i n e m a t i s c h e -k o n d i t i e : 'z " ^z *x^x. * *y^y "^^^^ * " dynamische k o n d i t i e : - - i f ^ = 2 6 + (|>/ + * ^ + v o o r z = ; ( x , y ) A Ä y a

Deze k o n d i t i e s worden i n de v o l l e d i g e n i e t - l i n e a i r e vorm meegenomen, a a n g e z i e n van t e v o r e n n i e t aan t e geven i s welke termen i n de v e r s c h i l i e n d e gebieden de g r o o t s t e b i j d r a g e l e v e r e n ,

U i t o r a a r d d i e n t de p o t e n t i a a l v é r g e l i j k i n g aan de v e r g e l i j k i n g vah Lap3.ace t e v o l d o e n . We z u l l e n nu c m s c h r i j v e n wiat v e r s t a a n wordt onder slft"> en o n d i e p .

. "k it I n d i e p B de b r e e d t é i s , T de d i e p g a n g , L de l e n g t e v a n het s c h i p , t e r w i j l h* de d i e p t e i s , v e r o n d e r s t e l l e n we d a t g e l d t : h * / L , B * / L , T * / L = 0 ( e ) v o e r i n 'h s eh B* = eB T * « E T t e r w i j l F ^ * ^ = U^/gh* = 0(1) v o o r e -*• O w a a r b i j e e é n k l e i n e parameter i s . De l a a t s t e k o n d i t i e houdt o v e r i g e n s i n dat h e t k o n v e n t i o n e l e F r o u d e ^ e t € Ü . Fj^ = U / / g L k l e i n i s en w e l O(e^)

H i e r d o o r bevinden we ons i n een b r e e d t o e p a s s i n g s g e b i e d waar gol-fopwekking van b e l a n g i s .

3>1 De uitwendige o p l o s s i n g

In het b u i t e n g e b i e d g e l d t de volgende orde van g r o o t t e vbor de k o o r d i h a t é h :

X , y = 0 ( 1 ) , z = 0(e) = eZ

I n skhalpgie met het voorgaande v e r o n d e r s t e l l e n we nu dat ^{x, y^ z , e) t e s c h r i j v e n i s a l s

2

Het i n t r o d u c e r e n van gehele machten van e kan t o t i n k o n s i t e n t i e s l e i d e n . E r zouden b i j v o p r b é e l d teimen van de vorm e™' l o g e kunnen c ^ r e d e n . A l s d i t het g e v a l i s , z u l l e n We onze s t o r i n g s r e e k s moeten h e r z i e n . Het optreden van anders o o r t i g e orde f u n k t i e anders v o r d t m e e anders t a l d u i d e l i j k i n het toepaandersandersen van de a a n -sluitvooj-waarde w I n v u l l e n i n de v e r g e l i j k i n g van L a p l a c e l e v é r t : 2 2 2 A „ = - e ( ó + 4 ) = - e V / \ A "ZZ ^ ^ x x * y y ' ( x , y ) * v a a r ü i t v o l g t voor de f u n k t i e s <Ji^: *1ZZ = ° ' *2ZZ = ° » *3ZZ " • "^(x.y) *1» ^ Z Z = " ^ ( x , y ) *2

De f u n k t i e s en z i j n l i n e a i r e f u n k t i e s v a n Z . Toepassen van de/bodem-k o n d i t i e v o o r z = e Z = - h = - e h l e v e r t :

<()^ = ij;^(x, y ) , *2 * * 2 ^ ^ » *3 '''3^'^» - i ( Z + h ) ^ ' ( x ^ y ) ^ Z ^ »

v a a r ^^{x, y ) f u n k t i e s van 0 ( l ) z i j h , w é l k e nader b e p a a l d dienen t e worden. De o p l o s s i n g d i e n t n u nog t e v o l d o e n aan b e i d e v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k t e k o n d i t i e s •

De dynamische k o n d i t i e wordt:'

- (2g/U^) ç = 2e,(,^ ( x , y ) +

2t%^ {x,

^^i^^^^^^^)

X X

2 2 * _2 V e r o n d e r s t e l d was n ü dat F^^* = U / g h = 0 ( l ) d . w . z . U^/gh = 0{e) ofwel. U^/g = E F (dimensie T - l e n g t e ) T = 0(1); h i e i m t v o l g t dat ç geschreven kan worden a l s 2_ . 3. ç = e 5 2 e

5-3

20 -- = M x , y ) *1 -- ^ ^ < Î 2 1 x . y ) *1 * ' ( x , y ) * = = =2x * ^ ^ t « 3 x * ^2x*lx * V l y ^ * H i e r u i t v o l g t : ' ( x . y ) *1 = - « 2 x / ^

i x . y ) *2 = - ^/'^ « 2 ^ x , y ) *1 " '^""^h^ * W l x * V

u

'

We kunnen nu 1^2* ^3 e l i m i n e r e n met behulp v a n de r e l a t i e s v e l k e u i t de d y n a -mische k o n d i t i e s v o l g e n ; ve v i n d e n n u : (1 - •^) "l», + = 0 Eh Ixx '^lyy o f w e l : ~ \ " ' ''Ixx ' "^lyy (1 - F^*^) + = O ( i ) Evenzo : - *2xx * *2yy = V ' ^ ^ ^ * \ * l x * l x x * ^ *1y*1xy^ = ° 2 ^ * ' V e r g e l i j k i n g ( i ) i s de g e b r ü i k e l i j k é v e r g e l i j k i n g i n ondiep water t h e o r i e ; z i j i s ook v a n d e z e l f d e vorm a l s de v e r g e l i j k i n g d i e i n de t w e e - d i m e h s i ö n a l e

g e l i n e a r i z e e r d e a ë r o d y n a m i c a o p t r e e d t , w a a r b i j F ^ * het Mach-getal. van de onge-s t o o r d e onge-stroming i onge-s .

V e r g e l i j k i n g ( i i ) i s een niet-homogene v e r s i e van d e z e l f d e v e r g e l i j k i n g , We kunnen i n p r i n c i p e v e r g e l i j k i n g e n v o o r il*^» e n z . a f l e i d e n ,

We beperken ons t o t i/i.^. Het z a l d u i d e l i j k z i j n dat i n het l - i m e t - g e v a l E -*- O het s c h i p samenval.t met het v l a k y = O, t ^ w i j i Z e i n d i g b l i j f t . De f u n k t i e 'l'.](xi y ) z a l dus r e g u l i e r z i j n i n het h e l e ( x , y ) v l a k b e h a l v e , m o g e l i j k , i n het v l a k y = 0.

I n het s u p e r k r i t i s c h e g e v a l F ^ * > 1 kan de o p l o s s i n g nu geschreven v o r d e n a l s i

il;.,(x, y) = i|;(x / F ^ * ^ 1 | y | )

-v o o r i e d e r e w i l l e k e u r i g e ^(x) = T1'^(X, O ) ,

We g é v e n er h i e r e c h t e r de v o o r k e u r aan t e werken met s n e l h e d e n , dus met a l s onbekende:

- /7T7Tfi= (x. o^)

w a a r u i t v o l g t : y „ x - . / F ^ * -1 | y | ^i-^x, y ) « - (5, O ) dÇ I T ^ — - J I J / F ^ * - 1 - « b t e i r w i j l a l s F ^ * < 1 v e r g e l i j k i n g ( i ) e l l i p t i s c h i s en de a l g e m é n e o p l o s s i n g geschreven kan worden a l s :

oo r i | » , ( x , y ) ? 2

* . „ ( 5 , 0 ^ ) G(x - Ç, y ) d ç

D i t l a a t s t e g e v a l F^* < 1 i s voor ona van het meeste b e l a n g , daarom beperken we ons daar nu t o e .

Nu t a n deze uitwendige o p l o s s i n g weer o n t w i k k e l d vorden voor k l e i n e waarden van y v o o r y = E Y ( Y . e i n d i g ) g e l d t

*^(x, ey) = K.^(x. o) + | y | ^^^(x, o^ ) - J y ^ ( l - F^*^) * ^ ^ ( x , o) + ...

De index u i s toegevoegd omdat het h i e r de uitwendige o p l o s s i n g b e t r e f t . H i e r b i j i s : CB ij;^(x, o) => ' ( ' T « ( X , 0 . ) l o g |x - ç | dÇ I 7 s- J ly f TT / 1 - F ^ * h

De o p l o s s i n g v o o r ^^^x, y ) kan met behulp van de s t e l l i n g v a n Green eveneens b e p a a l d worden; er v o l g t ;

CO 0 0 OO

«/»gCx, y ) = 2 j * ^ ( ç , o^.) G ( x - ç , y ) d ç + J d ç J a^U» n) G ( X - Ç , y - n ) dn

—CD —(»

De onbekende f u n k t i e s '/'^y(5» o^) en i j ' ^ t ç , o^) d i e n e n d . m . v . a a n s l u i t i n g met de d i c h t b i j o p l o s s i n g b e p a a l d t e worden.

E v e n t u e l e n u m e . r i é k e u i t w e r k i n g van de l a a t s t e i n t e g r a a l b l i j k t g r o t e problemen op t e l e v e r e n door het s i n g u l i e r e gedrag v a n de i n t e g r a l e n i n de b u u r t van de randen van het s c h i p . Voor k l e i n e waarden van F ^ * i s deze i n t e g r a a l t e r m e c h t e r t e v e r w a a r l o z e n .

22

-3 , 2 De i n v e n d i g e oplossii^g.

We z u l l e n nu een o p l o s s i n g moeten zoeken i n de buurt van y = O, d . v . z , y = 0(e) Nu g e l d t dus:

X =

0(1),

De v e r g e l i j k i n g van L a p l a c e v o r d t nu:

2

e é

+6

= ï 0

^xx

\x

We v e r o n d e r s t e l l e n n ü dat <j> veer t e ontwikkelen i s i n een machtreeks i n e

* ( x , ï , Z , c) = e(fr^(x, Y t Z ) + e^*2 ( x , Y » Z ) +

v a a r b i j de f u n k t i e s v o l d o e n a a n ;

' ( ï . Z ) *1 = ° ' ' ( , Ï . Z ) *2 = ' ! ï , z ) *3 = - * 1 x x « ' ( ï ^ ) ^ = - *2xx

Z i j v o l d o e n d ü s o f aan de twee-dimensionale L a p l a c e v e r g » L i j k i n g of aan de P o i s s o n v e r g e l i j k i n g i n het ( Y , Z) v l a k .

De randvoorwaarde opi het o p p e r v l a k van het s c h i p ï

y = F * ( x , z) = e F ( x , eZ)

l ü i d t i n de o ö r s p r o n k e H j k e k o o r d i n a t i e : (1 + •^j F * 4.

4,^,

We beschouwen nu een doorsnede x = konstant ea. d e f i n i ë r e n de nprmaal N* i n deze doorsnede haar b u i t e n g e r i c h t .

Nu g e l d t :

H _ '*'y - '''z ^z*

w a a r u i t v o l g t ; z Nu g e l d t y = E Y , F * = E F • = e<|>^ + E ^ * 2 * en 3N E' 3N D i t l e i d t t o t : 3 N " ^ ° '

"ÏN"

777

'N'

N

N

Het z i e t er naar U i t dat het meenemen van ^.^ t r i v i a a l i s , maar e v e n a l s i n het g e v a l van het d ü n n é p r o f i e l l e v é r t deze term een s i g n i f i c a n t e b i j d r a g e i n het n a b i j e v e l d , We dienen ons wel t e r e a l i s e r e n dat de v e r g e l i j k i n g e n i n o p -g e r e k t e Y en Z k o o r d i n a t e n -ge-geven z i j n , dus dat het o p p e r v l a k van de dwars-doorsnede 0(1) i s , Y = F ( x , Z) 2 2 2 dY + dZ = d l (1 + F.^) dZ^ = d l ^ H i e r u i t v o l g t : ^ d l = l -3x F dz De r a n d k o n d i t i e op de b o d ^ l e v e r t : 3 * i 3Z" = O , v o ö r Z = - h

We kunnen dus konkluderen dat s l e c h t s een f u n k t i e van x k ä n z i j n . De dynamische o p p e r v l a k t e k o n d i t i e wordt n ü :

- 2Ç = sr { 2 e*^^ + O ( E ^ ) }

2U -We z u l l e n dus s c h r i j v e n ; 2 3 ç = e Ç2 + + De k i n e m a t i s c h e voorvaarde l u i d t nu • ^ ' ' ^ ^ * 1 Z ^ ^ ^ * 2 2 ^ ^ \ z ^ = '^^2x * ^^*Tx=2x * ^ • ^ ^ ^ * 2 Y % * voor Z = e Ç 2 ( x , Y) H i e r u i t v o l g t : Ç 2 = - r<t>^^ <|).j2 " ^ Z = O *2Z ^ ^ ^oor Z = O *3Z - ^ * 1 x x ^ = °

H i e r b i j i s reeds g e b r u i k gemaakt van het f e i t dat s l e c h t s een f u n k t i e van x i s .

Opgave^ 7. L e i d t de k o n d i t i e voor en 0^ a f ü i t de voorvaarden op het v r i j e v l o e i s t o f o p p e r v l a k Z = 0.

Voor i e d e r e hebben ve nu. een Neumann probleem g e d e f i n i e e r d . De o p l o s s i n g e n z i j n a l l e b e p a a l d t o t op een konstante met b e t r e k k i n g t o t Y , Z . Deze konstanten kunnen dus wel een f u n k t i é van x z i j n .

Zo wordt:

w a a r b i j f . ( x ) d . m . v . a a n s l u i t i n g b e p a a l d d i e n t t ë worden.

i 1

De o p l o s s i n g voor i^^ kan geschreven worden a l s ;

*2 = fg^^^ * 2 *

w a a r b i j f2(x') een v i l l e k e u r i g e f u n k t i e i s en e e n d u i d i g b e p a a l d i s , m i t s eea. r a n d k p n d i t i e voor Y » i s gegeven.

Wé kimnen b i j v o o r b e e l d e i s e n :

$ 2 * 0(1) a l s y -*• co

— ^ ^ ^

- L T '

Massa f-lux u i t het s c h i p i s /v^j d l = S » ( x ) , t e r w i j l v o o r g r o t e waarden van Y de f l u x g e l i j k i s aan h u .

H i e r u i t v o l g t :

u = ^ S » ( x )

De f u n k t i e ^ig ^^n nu dus b e p a a l d worden d o o r het twee-dimensionale Neumann probleem op t e l o s s e n . D i t kan a n a l y t i s c h o f

hLimeriek,

De derde term i j ^

kan

een P o i s s o n p r ö b l e a m en een handige o p s p l i t s i n g l e v e r t :

.2 „ 2 i

w a a r b i j f | ( x ) de "konstante" v a n i s en f^Cx) een nieuve v i l l e k e u r i g e "konstante".

3.3 A a n s l u i t i n g

De onbepaaldheden i n de i n v e n d i g e en uitwendige o p l o s s i n g z u l l e n nu met behulp van de a a n s l u i t r e g e l behandeld worden.

De a a n s l u i t r e g e l l u i d t :

De m-term inwendige o n t w i k k e l i n g v a n de n-term uitwendige o p l o s s i n g = De n - t e r m u i t v e n d i g e o n t w i k k e l i n g v a n de m - t » n n inwendige o p l o s s i n g .

ü , We nemen nu n = 1, m = 2.

Ê e n term van de u i t w é n d i g e o p l o s s i n g = e"i|).j"'(x, y ) h e e f t i n inwendige k o o r d i n a t e n de o n t v i k k e l i n g :

26

-Herschreven i n uitwendige k o o r d i n a t e n z i j n de e e r s t e t v e e termen dus;

(fr^'X'Eiii^^(x, o) + e | y | T('^y(x, o_^)

Aan de euidere kant s c h r i j v e n we twee termen van de i n w e n d i g é o p l o s s i n g ,

0^ e*^ + e.%2 = e f ^ U ) + e ^ ( f 2 ( x ) + ^^*)

O n t v i k k e l d naar u i t v e n d i g e k o o r d i n a t e n l e v e r t d i t :

e ( f . , ( x ) + u ( x ) | y | ) + e^f-2(x)

want (^2* '\/ Ü|Y| voor |Y| « .

^ea term van deze o n t w i l ; k ë l i n g i s d u s :

* ^ '^. e ( f ^ ( x ) + u ( x ) l y | ) Toepassen van de a a n s l u i t r e g e l l e v e r t n u : ( X . O ^ ) = U ( X ) = ^ S » ( X ) en f . , ( x ) = (x, o) ^ ^ ( x , o^) l o g | x - Ç| dÇ TT / 1

-V -°

De aerodynamische i n t e r p r e t a t i e van d i t r e s u l t a a t i s d a t , wat b e t r e f t de u i t -wendige o p l o s s i n g , het s c h i p l i j k t op een symmetrische twee-dimensionale, v l e u g e l met d i k t e S ( x ) / h , P h y s i s c h betekent d i t dat de d i k t e van het s c h i p g e -m i d d e l d wordt over de d i e p t e - Voor een v e r t i k a l e c y l i n d e r -met d i k t e B(x) wordt de f o r m u l e van M i c h e l l exact teruggevonden met S(x) = h B ( x ) ,

A a n s l u i t i n g met n = 2 , m - 3 l e v e i r t :

( x , 0 ^ . ) = u f ^ » = f.,' S » ( x ) / 2 h en f 2 ( x ) = r},^ ( x , o)

Opgave 8, V e r i f i e e r d i t . .

Berekening v a n f ^ C x ^ e c h t e r n i e t eenvoudig vanwege de v i e r v o u d i g e i n t e g r a a l i n het r e c h t e r l i d , welke wegvalt v ö o r F^^* = O,

3..^ B e p a l i n g van d r ü k en k r a c h t e n

We v i l l e n de k r a c h t e n op het s c h i p berekenen; daarvoor i s h e t - n o o d z a k e l i j k de druk i n het b i n n e n g e b i e d t e kennen.

De v e r g e l i j k i n g van B e r n o u l l i l e v e r t ons; .

- p/^pu^ = 2 <j,^ + + <t.y2 + = ef^' + e^ C f / ^ * 2 <j,2^* -F

+ ( * 2 / ) ^ + ( * 2 Z * ^ ^ " ^ ^2^ ^^^^^

Met andere vo'orden;

p = ep^(x) + E^ Cp2(x) + P 2 ( Y , Z , x ) ] + O i ^ h

w a a r b i j

p^. = ^ p U ^ f / ( x )

P 2 = - pU^ C f 2 * ( x ) + i ( f / ( x ) } 2 ]

P 2 ( Y , Z , x) = - pU^ l^2x* * ^ ^ * 2 Y * ^ ^ * ^ ^ * 2 Z * ^ ^ ^

p.j en p2 z i j n dus i n t e r a k t i e t e m e n welke konstant z i j n per doorsnede en s l e c h t s f ü n k t i e s z i j n van x , P 2 i s een druk d i e v a r i e e r t om een doorsnede.

De hoogste orde druk i s een i n t e È r a k t i e druk van de vorm:

p = ep^(x) - - epU^f^*(x). I n v ü l l e h van f . j ' ( x ) l e v e r t :

2 Tt h

f S'(e)

J

ç

H i e r i n z i j n h en S nog de opgerekte g r o o t h e d e n , Terugberekenen t o t de o o r -s p r o n k e l i j k e h en S l e v e r t (h = h /e , S = S /e )i

00

2 h* / I T F 3 ?

We hebben dus gevonden dat het g r o o t s t e d e e l van de druk o n a f h a n k e l i j k i s van Y , Z i n het d i c h t b i j e v e l d . D i t i s e n i g s z i n s verbazingwekkend, aangezien j e zou k ü h n e n verwachten dat g r o t e snelheden o p t r e d e n i n een nauwe s p l e e t a l s de onderkant yan het s c h i p d i c h t b i j de bodem komt.

2 8

-Het z i e t e r e c h t e r naar u i t dat het water i n z i j w a a r d s e r i c h t i n g wordt weg-gestuwd, waardoor de x - a f h a i x k e l i j k h e i d v e r k l a a r d zou kunnen worden, We z u l l e n nu de e e r s t e orde k r a c h t e n berekenen.

Voor het bepalen van de k r a c h t e n v e k t o r i s het n p o d z a k e l i j k

> f

p.j(x) n d s t e berekenen. S i

v a a r b i j de i n t e g r a a l z i c h u i t s t r e k t o v e r het n a t t e scheepsoppervlak i n n naar b u i t e n i s g e r i c h t .

E é n g e s l o t e n oppervlak wordt nu v e r k r e g e n door Sg (de d o o r s n i j d i n g met het wateroppervlak) i n t e v o e r e n . T o e p a s s i n g v a n de s t e l l i n g v a n Gauss l e v e r t nu:

r f

p n d

= k p(x) dx dy

= k p(x)

B

(x) dx

waaruit volgt dat de krachtyektor te schrijven is als:

' r c t

p^ n d s =

i

p.,(x) SMx) dx + k p.^(x)

B

(x) dx

De vertikaalkracht wordt nu;

F = -

pu2

f^'(x) B(x) dx

j

= pU^ f ^ ( x ) B»(x) dx

^ dxdÇ B»(x) s M x ) l o g |x - ç| voor F^^ < 1

ïï h

/ T T F ^

waarbij de s t e r r e t j e s weggelaten z i j n .

Het moment om de y-as vordt:

M = pU^

f»(x) B(x) dx

i

of v e l :

M = , dxdÇ (x B(x))' S»(Ç) l o g lx -

K\

voor Fj^ <

1

2

TT h / T T F T

h

(M p o s i t i e f met boeg omhoog).

De golfweerstand wordt;

R = - pU^ dx f* (x) S' (x) = O voor F^^ < 1

L

Opgave

9..

Geef de formules vöor P, M en R voor het superkritische geval

\ >

3,5• Sinkage en t r i m

We kunnen nu een aantal dimensieloze koëfficiënten invoeren

- F

= pgL( B(x) dx) °

C-M = pg(

h

F ^

x^ B(x) dx) - Cj^

/ 1 - P

^h

waarbij C„ en C., gegeven worden door:

s M

f f F

Cp = - ^ dxdÇ B'(x) S'(Ç) l o g |x - S| / J B(x) dx

30

-^ — —

Veronderstel dat t,g,v. de kracht F en moment M een "sinkage" S en "trim" t

ontstaat, dan l e e r t Archimedes ons dat t o t op éérste orde geldt:

pg (s + x t ) B(x) dx = - F

PS (s + x t )

B(x) dx =

Voeren we nu Cg en C^ i n a l s

= Cg F^^ / / 1 - F^^

en

t = Fj^2 / 7771^2

dan v o l g t :

= (^F "

-Cm = (C„ - ß e^) / 1 - aß

met

r f

a =

B(x) dx /

B(x) dx

f r p

e =

B(x) dx / x'' B(x)

dx-We kunnen opmerken dat Ù en h slechts optreden i n de kombinatie:

De overige termen z i j n van de vorm van het schip afhankelijk, daarom i s het

z i n v o l de waarden voor S/L en t tegen het Fröüde g e t a l u i t te zetten.

ifi

6f

w

cn

•O

Z

z

<

er

<

z

<S

z

y

Voor Fj^ <

0.7

komen de gemeten en berekende vaarden r e d e l i j k overeen met dé

metingen.die uitgevoerd z i j n b i j h/L =

0 . 0 5 .

Voor vaarden F. %

1

kunnen ve

ver-2 .

wachten dat gröte afwijkingen optreden vanwege de term

1

- F^^ i n de noemer.

Uitgezet tegen F^^ wórdt de ontirarkkeling niét uniform b i j F^^ =

1,

d i t kernt

over-een met hët transone gebied i n de aërodynamica, Lea heeft uniforme oplossingen

gekönstrüeerd d i e een d u i d e l i j k betere benadering géven, Aangézién ohs

toepas-singsgebied k l e i n e waarden van F^ bevat, z u l l a i we deze theorie n i e t behandelen.

Metingen b i j grotere waarden van h/L geven grotere afwijkingen t e z i e n ( z i e

32

-3 SLANKE LICHAMEN IN ONDIEP WATER

3.b Symmetrische fçélâagde stroming

We beschouwen hu een varend schip boven een s l i b l a a g . U i t metingen en

berekeningen b l i j k t dat v i s k o s i t e i t ook i n d i t geval een ondergeschikte r o l

speelt voor het stromingspatroon. We züllen daarom er van uitgaan dat de

stroming weer niet-viskeus en r o t a t i e v r i j i a .

Dichtheid van het water : p =

1

020 kg/m .

Dichtheid van de s l i b l a a g ; pg = 1120 kg/m .

Beschouwd i s een configuratie waarvoor geldt: h /L = 0.083 en d /h =0.1.

De reden hiervoor was dat metingen beschikbaar waren. A l s e i s voor de theorie

geldt echter:

d /h = o ( l ) a l s e O en e = o (d /h ) a l s e O

Asymptotisch geziesn l i g t d*/h* dus tussen 1 en e i n , formèel geschréven;

e -< d*/h* < 1

Bijvoorbeeld d*/h* = voldoet hieraan. De reden hiervoor i s dat we de

korrëktie ten gevolge yan s l i b groter w i l l e n l a t e n z i j n dan ten gevolge van

de tweede term i n de as-ontwikkeling van de vorige paragraaf. Het praktische

geval völdoet aan de asymptotische e i s , echteor n i e t aan de voorwaarde E^..

Deze l a a t s t e voorwaarde i s dan ook t e scherp. De s i t u a t i e zoals bier beschreven

i s ongeveer zoals h i j op de Nieuwe Waterweg voor kan komen.

We definiëren nu twee potentiaalfunkties

en

u^ - U grad(x +

4 ) ,

^(x, y, z) i n het gebied -h + d + v < z < ç

Ug = U grad(x + x)» x(x. y. z) i h het gebied -h* < z < -h* + d* + v*

Voör de fin^ktie ^ geldén de dynamische en kinaaatische oppervlakte kondities

voor z = ç ,

Op het scheidingsvlak geldt de dynazzdsche k o n d i t i e ? P . voor

* * -k -^boven -^onder

z = -h + d +

T e r w i j l de kinematische konditie (geen f l u x door het oppervlak) weer i s :

| i = 1 ^ = O voor X = - h* + d* + V*

3n 3n

3,6

Oplossing i n het buitengebied

In het 'buitengebied geldt r

z a eZ,

= eç, v* =

terwij tevens geldt U^/g = er, dus dezelfde aannamen wat b e t r e f t het

Froude-g e t a l z i j n Froude-gemaakt, tevens wordt Froude-gesteld h* = eh, d* = edw De VerFroude-gelijkinFroude-gen

worden nu:

*ZZ = - ' ^ x . y ) *

''zz = - ' ^ x , y ) ^

" ° ^*x •*• ^x^ * *y^ "*• *Z^/^^ "'^^^ ^ = Ç

*Z ^^^^x * *x^x * * y V ^ ^ ^

^ ( f .

2*^

. . . = f i .

2 x ,

. . X,^ . X,^/.^

voor Z = - h - i - d + v

ó„ = e (v + i|) V + ^ V ) voor Z = -b + d + v

^Z ^

^x

-y y •

^^^^x * ^ ^ y ^ *^°°^ Z = -h + d +

Dé b'odàiikpnditie l u i d t ° O voor Z = - h. We kunnen nu de funkties ^, x»

ç en v.weeçr a l s machtreeks i n e s c h r i j v e n . A l l e fühtties b ^ i n n e n met een

term van de orde e, b i j v .

2

• = E*^

+ c

D i t l e v e r t :

3U

-t e r w i j l X j en X]^ kwadra-tische funk-ties van Z z i j n :

X3 = t^U, y) - liz -t- hf v ^ ^ ^ y j ^ Xi(x^ y)

Xi^ = 5ïi,Cx. y) - i(z + V(x,y)^ 5c2(x, y)

De kinanatische konditie aan hét grensvlak l e v e r t voor X3Î

X32 * v.j^ voor Z = - h + d + ev^

hetgeen l e i d t t o t

^ x . = - ^ ' ( x , y ) ' 5^1

Voor de funkties so- Seldt nu ook dat z i j slechts fünkties van x en y kunnen z i j n

*1 = ?.,(x, y) , «g = ?2^.*»

t e r w i j l voör 0^ • ^ d f i t :

*3 = * 3 i U . y) + i j a U . y) z - i v ^ ^ ^ ^ j ^ j^^2

De dynamische konditie aan het grensvlak l e v e r t nu:

2(p2 - ) + 2p2 x^y. - 2p^ = 0 voor Z = - h + d + EV^

hetgeen l e i d t t o t een r e l a t i e tussen Ïc.| en

d(p2 - P J

(A)

Aan het v r i j e vloeistofoppervlak vordt nü gevonden

=1 =

-t e r w i j l de kinema-tische kondi-tie l e v e r -t :

•SZ = «lx "*32 - ' ( x , y ) ' * l 2 = " Z = « 1 o f v e l i.32 = - r ï , ^

De kineaaatische k o n d i t i e aan het grensvlak l e v e r t voor ifr^

^rsT ^ V* vöor Z = - h + d +

ev-jii IX

I

S u b s t i t u t i e van l e v e r t nu:

^ 3 2 -

V

, y ) ' * 1 ^ - = - ^ ' ( x , y ) ' h

waarbij de t e m rechts v o l g t u i t de kinematische k o n d i t i e voor de funktie x«

We elimineren nu de funktie ®^ vinden een tweede r e l a t i e (P.D.V.) tussen

en

n l - :

P — 2

-- r * -- (-- h + d) 7/

à = - d V,

^ixx ^ ' (x,y) *1 (x,y) ' ^ l

Wè künnen nu u i t A en B een v e r g e l i j k i n g voor $.|(x, y) en XT(X^ y) verkrijgen,

Dit wordt echter een vierde orde v e r g e l i j k i n g . We kunnen nu gebruik maken

van het geringe dichthéidsverschil (pg - p^)/p.^ = 0.1 of van het f e i t dat

e d/h -^1, We z u l l e n de k l e i n e d, h vérhouding gebruiken pm een bènadering

van de oplossing t e v e r k r i j g e n . We ontwikkelen en x^ a l s v o l g t :

Dit l e i d t t o t :

^Ixx lyy

^Ixx "

*1xx

De tweede term l e v e r t :

(1 - F 2) $ 0 ) + j d ) = 7, ,2 (0) _ - (0)j

^ j j * ^ *lxx ' l y y (x,y) ^ ' l ' ^ l ^

F 2 « 7, 2 (0) ^ p 2 J d )

^ Pg - P.J ^Ixx {x,y) h - p^ "ixx

énzovoorts,

We zien dat voor d/h = /e" we slechts ï^^^^ eh ï^^''^ hoeven t e bepalen. Hogere

orde korrekties z i j n van dezelfde orde €L1S ïg Iwrrektiés vän de t o t a l e 0.

Derhalve dient dan ook "bepaald t e worden.

36

-Voor (fr^^^^ i s nu hetzelfde probleem ontstaan a l s voor de ongelaagde toestand

en (f^^^^ i s h i e r een korrëktie op.

De oplossing wördt nü;

«

* i y ' («. 0^)

- Ç, y) dÇ

5 î / ° ^ = P , / P 2

i\y (Ç. 0^) G(x - Ç, y) dS

waarbij

G(x, y) =» In x^ + (

- F ^ ) y2 / ir / 1 F ^

b* h*

De \iitwendige oplossing i s dus t o t op de funktie ïj^^ (Ç, 0^) na bepaald.

De korrëktie wordt nu:

* / ^ ^ x , y) - J ï^^ï (S, 0) G(x - Ç, y) dÇ +

n(5, n) G(x - Ç, y - n) dÇdn

i

+

met

y) = 7, 2 ( (0) _ (0)j , _ , , p 2 -(0)

' Cx,y) ^1 ' ^ l ^ ^V^2' * ^ixx

h

teyens v o l g t :

(1) . " / " l - "2^ - (0) ^ „ , 7 (1)

"2

3.7

Oplossing i n het binnengebied

De oplossing i n het binnengebied wordt ook h i e r verkregen door middel van een

extra oprekking vem de y-coordinaat, We k r i j g e n nu dus:

y ä eY , z = eZ

Nu worden a l l e onbekende funkties ^, x> C eh v ontvikkeld naar gehele machten

i n e en iédere a f z o n d e r l i j k e term wordt daarna weer geschreven a l s

reeksont-wikkelingen haar d/h.

Voor de a a n s l u i t i n g z i j n weer de afgeleiden naar Y voor grote waarden van Y nodig, Vopr (fl i s de oplossing nu t e s c h r i j v e n a l s :

4> = e(f.,(x) + d/h f2(x)) + e^(f3(x) + d/h t^{x) + «g*)

X = e(g.,(x) + d/b g2(x)) + e^(g3(x) + d/h g^{x) + Xg*)

* * . *(0) *(0) ,/, , * ( l ) *(1) waarbij ^g', X2 - *2 ' ^^2 * *2 »5^2 *

Nu volgt u i t de wet van behoud van massa:

m. a.w.

t e r w i j l u i t de a a n s l u i t i n g tevens volgt:

X2 = '^r^2 *2

Er geldt dus:

(j,^*^^^ = - (1 - Pg/P.^) S'(x) |Y| / 2h voor Y »

Opm. S(x) =" S*/E^, v a a r b i j S* oppervlakte van de scheépsdoorshede ën S(x) = 0 ( l ) .

Opaave. 10« Geef de a f l e i d i n g voor d i t invendige v e l d waarvoor hierboven de oplossing gegeven i s .

3.8 A a n s l u i t i n g van binnen- en buitenveld

ToéïÂssihg van de a a n s l u i t r e g e l van Miltön Van Dyke l e v e r t nü de onbekende f u n k t i e . Er v o l g t :

38

-t e r w i j l

f^ix)

= ?^^°^(x, O) en f 2 ( x ) =« ï^^"*' (x, 0). Beide funkties z i j n nu

dus v o l l e d i g bepaald.

Met behulp van f.j(x) en f 2 ( x ) kan nu de drukverdeling om het schip bepaald

worden- Tevens kan h i a n i i t de kracht en moment op het schip bepaald worden.

Berekeningen z i j n uitgevoerd voor een varende ellipsoïde, v a a r b i j de afiaétingen

globaal d i e van een tanker waren.

De berekeningen tónen dat de sinkage voor lage Frpude g e t a l l e n O < P^* < 0.7

een afnamjs vertoont t o t lOvS. D i t komt globaal overeen met metingen. Deze

metingen z i j n echter met schepen met schroef gedaan, zodat een v e r g e l i j k n i e t

a l te z i n v o l i s .

3.9 Opmerkingen

De numerieke üitw^king l e v e r t een aantal problemen. Het i s bekend dat t h i n

a i r f o i l theory en slender body theory n i e t uniforme ontwikkelingen geven aan

vöor en achterkant. Met behulp van matched asymptotic expansions kan i n de

büurt van de stuwpunten een geldige oplossing verkregen worden. Zo vordt

voor stompe lichamen l o k a a l de qmströmi.ng van een paraboloïde beschouwd. D e t a i l s

hierover z i j n t e vinden i n hët boek vah M i l t o n Van Dyke en een a r t i k e l van

K e i l e r en Geer, In het geval van éen v r i j - v l o e i s t o f - o p p e r v l a k i s het echter

n i e t zo eenvoudig de l o k a l e oplossing t e bepalen, aangezien de linéarizering

van de vrije-vloeistöf-oppervlakte k o n d i t i e voor een extra komplikatie zorgt.

Zo zien vé dat i n de buurt van een stuwpimt de stoorpotentiaal (snelheid)

van dezelfde orde i s a l s de potentiaal (snelheid) vain de ongestoorde stroming.

De hypothese dat de s t o o r p o t a i t i a a l - 0 ( E ) i s dus o n j u i s t . Resultaten kunnen

verkregen worden door de oplossing van het dubbel-bpdy probleem a l s grootste

term t e neuen. D i t l e i d t t o t een gekomp.liceerde, welliswaar l i n e a i r e , v r i j e

-v l o e i at of-opper-vlakte k o n d i t i e . Z e l f s -voor scherpe -voorkanten onder-vindt men

deze problemen. Slechts voor zeer scherpe voorkanten z i j n benaderende

op-lossingen t e v e r k r i j g e n . O g i l y i e heeft zo het geval behandeld, waarbij de

openingshoek a g e l i j k i s àan O(e^) (The waves generated by a f i n e schip bow,

Paris 1972),

3 SLANKE LICHAMHÎ IN ONDIEP WATER

3.C Schip varend i n eéh uitgegraven geul

Voor de, v o l l e d i g h e i d behandelen wé h i e r kort het geVal van een sChip i n het

midden van een vaargeul ( z i e f i g u u r ) .

t y

I I f I I I I l.

/

/

/

/

/

/

/

u

w

c

I I I I I I I I I I I I I I I

tz

Tm—TT

l

l

l

l

V

De behandeling van het invendige probleem l e i d t veer t o t een randvoorwaarde

voor y =* ± O voor de snelheid i n het buitengebied. Er geldt weer voor de

eerste term:

f f = * 2h" ^'^^^ ^^"^^ y = ± O

waarbij S(x) het oppervlak van een doorsnede i s , We beperken pns nu t o t de

eerste term i n het buitenveld. We zien dat:

b(y)

h^, y < w/2

b„,|y| < w/2

en kunnen d'us twee Froude g e t a l l e n met betreVki ng t o t de diepte definieren.

F^ = U / / T T " en F„ = U / / T b ^

Voor ons- i s het meest van be3.ang het geval

F < 1 s u b k r i t i s c h

O