• Nie Znaleziono Wyników

Pokazać, że operator liniowy T : L1[0, 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pokazać, że operator liniowy T : L1[0, 1"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 5 - Własności topologiczne w przestrzeniach unormowanych

1. Korzystając z twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, pokazać, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha z każdą z norm k . k1 oraz k . k2 i istnieje liczba M > 0, taka że

k x k1≤ M k x k2 to obie normy są równoważne.

2. Pokazać, że operator liniowy T : L1[0, 1] → C zadany wzorem T (f ) = f (0) na dziedzinie DT = C[0, 1] nie jest domknięty, rozważając odpowiedni ciąg funkcji ciągłych.

3. Mówimy, że ciąg operatorów ograniczonych (Tn) w przestrzeni Hilberta H jest słabo zbieżny (lub zbieżny w słabej operatorowej topologii) do operatora ograniczo- nego T , co zapisujemy w − limn→∞Tn= T , wtedy i tylko wtedy gdy

n→∞limhTn(x), yi = hT (x), yi

dla dowolnych x, y ∈ H. Pokazać, że zachodzą następujące zależności między zbieżnościami ciągu operatorów (Tn):

(a) jeżeli limn→∞Tn = T , to s − limn→∞Tn = T , (b) jeżeli s − limn→∞Tn= T , to w − limn→∞Tn = T ,

gdzie limn→∞Tn = T oznacza zbieżność w normie operatorowej (lub zbieżność jednostajną), natomiast s − limn→∞Tn= T oznacza zbieżność silną (lub zbieżność punktową, mówimy także o zbieżności w silnej operatorowej topologii).

4. Niech (en) będzie bazą ortonormalną w ośrodkowej przestrzeni Hilberta H i niech Pnbędzie rzutem ortogonalnym na Lin(e1, . . . , en). Pokazać, że s−limn→∞Pn = I, natomiast limn→∞Pn 6= I, gdzie I jest operatorem identycznościowym.

5. W przestrzeni Hilberta `2 definiujemy operator przesunięcia T (x1, x2, x3, . . .) = (x2, x3, . . .)

i oznaczamy S = T (operator sprzężony). Rozważamy ciągi Tn := Tn oraz Sn:= Sn dla n ∈ N. Wyznaczyć (jeżeli istnieją) lub wykazać nieistnienie granic

(a) limn→∞Tn, s − limn→∞Tn oraz w − limn→∞Tn, (b) limn→∞Sn, s − limn→∞Sn oraz w − limn→∞Sn.

6. Korzystając z zadania poprzedniego, pokazać, że istnieje ciąg operatorów ogranic- zonych na `2, który jest słabo zbieżny, ale nie jest silnie zbieżny.

7. Pokazać, że istnieje ciąg operatorów ograniczonych na `2, który jest silnie zbieżny, ale nie jest zbieżny w normie operatorowej.

1

(2)

8. Pokazać, że jeżeli w −limn→∞Un= U dla ciągu (Un) operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta H, to w − limn→∞Un = U (mówimy, że operacja sprzężenia jest ciągła w słabej operatorowej topologii).

9. Korzystając z zadania 5, pokazać, że ciąg operatorów ograniczonych (Un) na przestrzeni Hilberta może być silnie zbieżny do pewnego U , natomiast ciąg op- eratorów sprzężonych (Un) nie będzie silnie zbieżny do U (mówimy, że operacja sprzężenia nie jest ciągła w silnej operatorowej topologii).

10. Czy operacja sprzężenia w B(H), gdzie H-przestrzeń Hilberta, jest ciągła w topologii normowej, tzn. czy limn→∞Un= U implikuje limn→∞Un = U?

11. Pokazać, że norma operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta

(a) jest ciągła względem topologii normowej, tzn. limn→∞Tn = T implikuje limn→∞ k Tnk=k T k

(b) nie musi być ciągła względem silnej operatorowej topologii, tzn. istnieje ciąg (Tn) taki, że s − limn→∞Tn = T , ale limn→∞ k Tnk6=k T k (wybrać ciąg projektorów na odpowiedni malejący ciąg podprzestrzeni w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta),

(c) nie musi być ciągła względem słabej operatorowej topologii, tzn. istnieje ciąg (Tn) taki, że w − limn→∞Tn= T , ale limn→∞ k Tnk6=k T k.

12. Pokazać, że jeżeli ciąg (xn) w unormowanej przestrzeni liniowej X jest zbieżny w sensie słabym do x oraz do y, to x = y.

13. Sprawdzić czy dany ciąg (xn) jest słabo zbieżny w przestrzeni X i, jeżeli tak jest, wyznaczyć jego słabą granicę, gdzie

(a) X = `p, gdzie p ∈ [1, ∞), xn = (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), przy czym 1 występuje na n- tym miejscu,

(b) X = c0, gdzie xn = (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), przy czym 1 występuje na n-tym miejscu,

(c) X = c, gdzie xn= (1, . . . , 1, 0, 0, . . .), przy czym 1 wystepuje na n pierwszych miejscach.

(d) X = `2, gdzie xn = (0, . . . , 0,√

n, 0, 0, . . .), przy czym √

n występuje na n-tym miejscu.

14. Załóżmy, że ciąg funkcjonałów (ϕn) na UPL X jest gęsty w X oraz ciąg (xk) jest ograniczony w X. Pokazać, że jeżeli istnieje granica limk→∞ϕn(xk), to istnieje granica limk→∞ϕ(xk) dla każdego ϕ ∈ X.

R. Lenczewski

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pokazać, że jeśli A nie jest samosprzężony na H, to równość kAk =

Pokazać, że każdy operator śladowy jest iloczynem dwu operatorów

Pokazać, że iloczyn skalarny na przestrzeni z iloczynem skalarnym jest ograniczoną formą pół- toraliniową.. 2.. ), dla ustalonego ograniczonego ciągu

Kierowca otrzymał mandat od poli- cjanta, który stwierdził, że w pewnym momencie nastąpiło przekroczenie prędkości o dokładnie 10km/h.. Pokazać, że wielomian stopnia

598. Wśród poniższych sześciu szeregów wskaż szereg zbieżny, a następnie udowodnij jego zbieżność.. musi być zbieżny, a przy tym szereg spełniający podany warunek istnieje).

Zbieżność i granica nie zależą od pominięcia lub zmiany skończe- nie wielu początkowych wyrazów

Granicę tę oznacza się

Desarguesa) Pokazać, że dwa trójk aty maj , a środek perspektywiczny, tzn. Newtona) Dany jest czworok at