Kinematyka Kinematyka

Wykład 2

Kinematyka Kinematyka

Wrocław University of Technology 8-X-2011

Ruch

Kinematyka podaje opis ruchu bez uwzględniania przyczyn i warunków, w jakich dany ruch powstaje.

Ruch ciała – zmiana połoŜenia w stosunku do innych ciał, które uwaŜamy za nieruchome. Ciała takie nazywa się układem odniesienia.

Poruszające się ciało jest cząstką (np. elektron) albo porusza się jak cząstka (punkt materialny).

Punkt materialny to ciało modelowe, obdarzone pewną masą o

rozmiarach takich, Ŝe podczas rozwaŜania danego ruchu moŜna zaniedbać (rozmiar zero wymiarowy).

Ruch

Podczas ruchu punkt materialny zmienia swoje połoŜenie w

przestrzeni. Zbiór punktów po których porusza się stanowi tor ruchu.

RUCH

PROSTOLINIOWY KRZYWOLINIOWY

- Płaski

- Przestrzenny

Długość przebytego odcinka toru stanowi drogę ciała.

PołoŜenie i przemieszczenie

PołoŜenie ciała, czyli współrzędną punktu, wyznacza się względem pewnego punktu odniesienia, najczęściej początku osi.

POCZĄTEK

KIERUNEK DODATNI

KIERUNEK UJEMNY

Zmianę połoŜenia od punktu x₁ do innego punktu x₂ nazywa się przemieszczeniem ∆x:

∆x = x

– x

Przemieszczenie jest wektorem (posiada kierunek i wartość!)

Pochodne funkcji elementarnych

0 )

x ( '

f =

Funkcja stała: f ( x ) = const

Funkcja potęgowa: f ( x ) = x

f ' ( x ) = n ⋅ x

x )

x (

f =

x 2

) 1 x ( '

f =

x )

x (

f = f ' ( x ) = 1

x ) 1

x (

f =

x

) 1 x ( '

f = −

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja wykładnicza:

e

) x (

f = f ' ( x ) = e

x ) 1

x ( '

f =

Funkcja logarytmiczna:

x ln )

x (

f =

Funkcje trygonometryczne:

x sin )

x (

f = f ' ( x ) = cos x

x cos )

x (

f = f ' ( x ) = − sin x tgx

) x (

f = 1 tg x

x cos ) 1

x ( '

f =

= +

ctgx )

x (

f = ( 1 ctg x )

x sin ) 1

x ( '

f = −

= − +

Prędkość

1

2

x

x x = −

∆ ∆ t = t

− t

Prędkość średnia

START STOP

t x t

t

x v

x

∆

= ∆

−

= −

1 2

1 2

Prędkość

Graficzna interpretacja pochodnej

nachylenie krzywej

Nachylenie = prędkośćśrednia

Prędkość

Szybkość średnia

Prędkość chwilowa

t

droga s

cała

= ∆

dt dx t

t x t

t x t

v x

t

x t

=

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( )

lim (

lim

Prędkość chwilowa

Przyspieszenie

t v t

t

t v t

a

v

∆

= ∆

−

= −

1 2

1

2

) ( )

(

• Przyspieszenie średnie w określonym przedziale czasu definiuje się jako zmianę prędkości podzieloną przez zmianę czasu.

• W układzie SI jednostką przyspieszenia jest m/s².

Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe występuje wtedy gdy ∆t => 0

2 2

0

) ) (

(

"

) ) (

( ) '

( )

lim (

dt t x t d

dt x t t dv

t v

t v t

t a v

x t

= = = =

∆

−

∆

= +

→

∆

Nachylenie prostej p₁p₂= przyspieszenie średnie

nachylenie w punkcie p₁= przyspieszenie chwilowe w p₁

Ruch jednostajnie przyspieszony

0

0

−

= −

∆

= ∆

t

x x

t v

x

2

0x x śr

v v = v +

t a v

v

=

+

⋅ ^v

= ( ^v

+ ^v

+ ^a

⋅ ^t ) = ^v

+ ^a

⋅ ^t 2

1 2

1

0 0

0

t x t x

a

v

2

1 ⋅ = −

+

2

1 a t t

v x

x = +

+

→

t v a

= v

−

→

Ruch jednostajnie przyspieszony

ZaleŜność pomiędzy przemieszczeniem ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem a prędkością:

2 0

0

2

1 a t t

v x

x = +

+

t a

v

v

=

+

⋅

x x x

a v t = v −

2 0

0 0

0

2

1 





 

 −

 +





 

 −

+

=

x x x

x x

x x

x

a

v a v

a v v v

x x

) (

2

2 0

2

v a x x

v

=

+

−

→

→

Ruch w przestrzeni - połoŜenie

PołoŜenie punktu w przestrzeni jest określone przez współrzędne.

W układzie kartezjańskim współrzędne punktu A to (x₁, y₁, z₁).

Z

Y

X

A

0

z

x

y

r r = [x

, y

, z

]

r

Ruch w przestrzeni - przemieszczenie

Przemieszczenie ∆r z punktu B = (x₂, y₂, z₂) do punktu A = (x₁, y₁, z₁):

∆r = (x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂)

Z

Y

X

A

0

z

x

y

z

B

x

y

∆r

Ruch w przestrzeni - prędkość

t r t

t

r v

r

∆

= ∆

−

= −

v v

v v

1 2

1 2

Prędkość średnia:

Prędkość chwilowa:

dt r d t

t r t

t r t

v r

t t

v v

v v v

∆ =

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( )

lim (

lim

dt v dz

dt v dy

dt

v

= dx ,

= ,

=

dt k j dz

dt i dy

dt dx dt

r

v = d = ˆ + ˆ + ˆ v v

] ,

,

[ v

v

v

v v =

2 2

2

z y

x

v v

v v

v v = = + +

Ruch w przestrzeni - przyspieszenie

t v t

t

v a

v

∆

= ∆

−

= −

v v

v v

1 2

1 2

Przyspieszenie średnie:

Przyspieszenie chwilowe:

dt v d t

t v t

t v t

a v

t t

v v

v v v

∆ =

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( )

lim (

lim

2 2 2

2 2

2

,

, dt

z d dt

a dv dt

y d dt

a dv dt

x d dt

a

= dv

=

=

=

=

=

dt k z j d

dt y i d

dt x k d

dt j dv

dt i dv

dt dv dt

v

a d

ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2

2 2

2

+ +

= +

+

=

= v v

] ,

,

[ a

a

a

a v =

Spadek swobodny

Spadek swobodny to ruch ciała wyłącznie pod wpływem siły cięŜkości.

W chwili początkowej ciało spoczywa i następnie puszczone porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym pod wpływem siły grawitacyjnego oddziaływania Ziemi i tego ciała.

Przyśpieszenie z jakim spada swobodnie ciało jest stałe i wynosi g = 9,81 m/ s². Kierunek ruchu jest pionowy, więc drogę w spadku swobodnym zaznaczamy symbolem h.

Wzór na drogę dla spadku swobodnego przyjmuje postać:

v₀ = 0 m/s s = h

a = g

2 t h g

⋅

=

Rzut poziomy

v

x

y

Rzut poziomy

x y

g a

a

y x

=

= 0

t v x

x

v v

x x x

0 0

0

+

=

=

w kierunku osi x:

w kierunku osi y:

2 0

0 0

2 1 gt t

v y

y

gt v

v

y y

y

+ +

=

+

=

Rzut poziomy – tor ruchu

x = v

t

y = h + ½ g t

Eliminując czas t t = x/v

y = h + ½ g (x/v

)

y

x h

Parabola

v

v

> v

2 2

2

1 x

v h g

y 





  + 

=

Równanie toru ruchu:

Rzut poziomy – czas ruchu

g t 2 h

=

y = h + ½ g t

Ruch będzie trwał do momentu gdy y = 0

y

x h t

=0

t

= t

Całkowity czas zaleŜy tylko od

wysokości początkowej h!

t

= t

- t

2

2

0 = h + 1 gt

Rzut ukośny

v

x y

α

v

v

Prędkość początkowa: v

= v

[α]

Składowe prędkości:

Kierunek x: v

= v

cos α Kierunek y: v

= v

sin α

PołoŜenie początkowe: x = 0, y = 0

Rzut poziomy – tor ruchu

x y

• Ruch jest przyspieszony (a = g = 9.81m/s²)

• Składowa pozioma prędkości jest stała

• Ruch w pionie i poziomie są niezaleŜne.

9.81m/s²

Rzut poziomy – równania ruchu

PRZYSPIESZENIE

PRĘDKOŚĆ

POŁOśENIE

= 0 a

81

.

9 s

g m a

= =

α

i

cos

x

v

v = v

= v

^sin α + gt

α

cos t

v

x =

2 sin 1 gt t

v

y =

α +

X

ruch jednostajny

Y

ruch przyspieszony

Rzut poziomy – tor ruchu

Eliminując czas t

y

x - równanie paraboli

2 2

2

2 2

2

cos tan 2

cos 2

cos sin

v x x g

y

v gx v

x y v

i i i

i

α α

α α

α +

=

+

=

y = bx + ax

2

2 sin 1

cos

gt t

v y

t v x

i i

+

=

=

α α

α

i

cos

v

t = x

Rzut poziomy – czas trwania ruchu

y

x Wysokość końcowa wynosi y= 0 po

upływie czasu ∆t

t = 0 ∆ t

g

t ₌ ² v

^sin α

∆

t g

v

+ ∆

= sin 1 2

0 α

2

1 2

sin gt

t v

y =

α +

)

2 ( sin 1

0 = v

∆ t α + g ∆ t

Rzut poziomy – zasięg rzutu

Gdy ciało spadnie oznacza to, Ŝe y = 0.

Stanie się to w czasie trwania rzutu ∆t.

Z

α y

cos t

v x =

α cos t

v Z =

∆

g

t ₌ ² v

^sin α

∆

( ) ^{2 α 2 sin α cos α}

sin =

g

Z ₌ ² v

^sin α ^cos α

g

Z ₌ v

sin( 2 α )

Rzut poziomy – zasięg ruchu

0.50 75

0.00 0

0 90

0.87 60

1.00 45

0.87 30

0.50 15

sin (2 α) α (deg)

• Największy zasięg jest dla kąta wyrzutu 45

• Zasięgi są takie same dla kątów α and (90

– α)

g

Z ₌ v

sin( 2 α )

Rzut poziomy – rozkład prędkości

prędkość końcowa = prędkości początkowej (zasada zachowania energii)

Z

Rzut poziomy – tor ruchu

g t

₌ v

^sin α

Na maksymalnej wysokości v

= 0

2

1 2

sin gt

t v

y =

α + gt

v

v

=

^sin α +

2 t

= ∆ t

g

i

gt

v +

= ^sin α

0

2

1 2

sin

g

i

t gt

v

H = α +

2 sin )

( sin

g gv

g

H v

α ₊

α

= −

2 2 2

2

sin g

H ₌ gv

α

Przyspieszenie styczne

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany liczbowej wartości prędkości ruchu.

dt a v

= dv

gdy to ruch nazywa się jednostajnym;

gdy to jest to ruch jednostajnie zmienny.

= 0 a v

≠ 0

= const

a v

Przyspieszenie normalne

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany kierunku prędkości ruchu.

R a

v

=

v

W ruchu prostoliniowym: a v

= 0

n

s

a

a

a v v v +

=

Przyspieszenie całkowite:

Ruch po okręgu

n

s

a

a v v

⊥

W ruchu po okręgu przyspieszenie normalne a

nazywa przyspieszenie dośrodkowym a

.

R

a

a

Zawsze spełniony jest warunek, Ŝe

Ruchem jednostajnym po okręgu nazywa się ruch w którym

R a v

a

2

0 =

= v

v

Ruch po okręgu

dt d α ω ≡

Prędkość kątowa (pseudowektor)

Parametry ruchu po okręgu:

• okres ruchu

• częstotliwość obiegu

Związki między wielkościami kątowymi i liniowymi w ruchu po okręgu

Przyspieszenie kątowe (pseudowektor)

dt d ω ε ≡

ω π

= 2 T

π ω

2 1 =

≡ T f

R v

v v

v = ω × ^a

^R

v v

v = ε ×