• Nie Znaleziono Wyników

Minimalizacja wartości funkcji metodą interpolacji kwadratowej Powella

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Minimalizacja wartości funkcji metodą interpolacji kwadratowej Powella"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Minimalizacja wartości funkcji metodą interpolacji kwadratowej Powella

Tomasz Chwiej 15 maja 2018

1 Wstęp

W metodzie interpolacji Powella korzystamy z lokalnego przybliżenia funkcji wielomianem drugiego stopnia (wykład). Jeśli znamy położenie trzech punktów:{x1, x2, x3} i wartości funkcji w tych punktach {f(x1), f (x2), f (x3)}, to przy założeniu że ciąg wartości funkcji jest malejący możemy wyznaczyć przybliżone położenie minimum:

xm= x1+ x2

2 F [x1, x2]

2F [x1, x2, x3] (1)

gdzie:

F [x1, x2] = f (x2)− f(x1) x2− x1

(2) jest ilorazem różnicowym pierwszego rzędu, a

F [x1, x2, x3] =

f (x3)−f(x2)

x3−x2 f (xx22)−f(x−x1 1) x3− x1

(3)

jest ilorazem różnicowym drugiego rzędu. Wykorzystamy tę zależność do znalezienia minimum/maksimum wartości funkcji.

2 Zadania do wykonania

1. Zaprogramować metodę interpolacji Powella do znalezienia minimum wartości funkcji.

2. Dla funkcji

f1(x) = ln (

x5+ 3x2+ x + 9 )

(4)

• Sporządzić wykres funkcji w zakresie x ∈ [−1.5, 1]

• Przyjąć jako punkty startowe: x1 = −0.5, x2 = x1+ h, x3 = x2 + h, h = 0.01 i znaleźć kolejne 10 przybliżeń położenia minimum. W każdej iteracji do pliku proszę zapisać: x1, x2, x3, xm, F [x1, x2], F [x1, x2, x3]

• Powtórzyć rachunki z poprzedniego podpunktu dla: x1 =−0.9, x2 = x1+ h, x3 = x2+ h, h = 0.01. Dane zapisać do pliku.

3. Dla funkcji

f2(x) = x6 (5)

Przyjąć jako punkty startowe: x1= 1.5, x2 = x1+ h, x3 = x2+ h, h = 0.01 i znaleźć kolejne 100 przybliżeń położenia minimum. W każdej iteracji do pliku proszę zapisać jak poprzednio: x1, x2, x3, xm, F [x1, x2], F [x1, x2, x3]

1

(2)

4. W sprawozdaniu proszę

• Nie zamieszczać tabelek z danymi

• Sporządzić rysunki przedstawiające położenia kolejnych przybliżeń w funkcji iteracji dla trzech rozważanych przypadków

• Dla każdego rozważanego przypadku proszę sporządzić rysunek pokazujący zmiany ilorazu 1 i 2 rzędu w funkcji iteracji

• Uzasadnić: dlaczego dla funkcji f1(x) dla drugiego zestawu punktów startowych znajdujemy maksimum a nie minimum (analiza wartości ilorazów)?

• Wyjaśnić: dlaczego dla funkcji f2(x) metoda jest wolnozbieżna? oraz Jaki warunek stopu jest najodpowiedniejszy?

• O istnieniu minimum bądź maksimum w danym punkcie rozstrzyga wartość drugiej po- chodnej. Czy dla funkcji f2(x) też tak jest?

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30 ◦ ) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √.. 3 (bok naprzeciwko kąta 60 ◦ ) oraz

Musimy umieć zapisać funkcję kwadratową w postaci kanonicznej i na tej podstawie odczytać współrzędne wierzchołka i obliczyć miejsca zerowe.. Pierwszą część już robiliśmy

Jeśli jego najkrótszy bok (będący naprzeciwko kąta 30 ◦ ) oznaczymy literą a, to jego pozostałe boki będą miały długości a √.. 3 (bok naprzeciwko kąta 60 ◦ ) oraz

Zobaczcie na przykładzie zamianę postaci iloczynowej

*** gdyby z wykresu należało odczytać gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemnie, konieczne byłoby obliczenie miejsc zerowych.

[r]

Proszę zapoznać się z materiałem z poniższego linka i na podstawie zamieszczonych tam przykładów zróbcie zadania:. na podstawie przykładu 1 proszę zrobić zad 8.68/213

■ Na bramkach NOR (realizujące funkcje zanegowanej sumy) można zrealizować dowolną funkcję boolowską. ■ Na bramkach NAND (realizujące funkcje zanegowanego iloczynu)