WYKŁAD nr 11 1. Wariant III (uogólnione warunki brzegowe, czas ko

WYKŁAD nr 11

1. Wariant III (uogólnione warunki brzegowe, czas końcowy ustalony)

Jeżeli warunki początkowe na trajektoriach stanów związane są zależnością

[

^{( )}

]

)

(_{0 1 0}

1 t h t

h = x (1)

oraz warunki końcowe na trajektoriach stanów związane są zależnością

[

^{( )}

]

) ( ₁

2 tk h tk

h = x (2)

[

t t t t

]

f

[

t t t

]

t f

[

t t t

]

H x( ),u( ),η( ), =− ₀ x( ),u( ), +η( )^T ⋅ x( ),u( ), (3)

( )

[

^∇ η

]

⁼⁰

T x

uH u_ˆ,ˆ,ˆ ⇒ uˆ(t)=ϕ(ηˆ(t),xˆ(t),t) (4)

Rozwiązujemy kanoniczny układ równań

( )

[

∇_ηH _uˆ,_xˆ

]

^T =x&^ˆ(t⁾ (5)

( )

[

− ∇_xH _uˆ,_xˆ,_ηˆ

]

^T=η&^ˆ(t⁾ (6)

Przy warunku brzegowym w postaci (1) warunek transwersalności jest spełniony jeżeli

[

η⁽t0^)T ⋅δx⁽t0⁾

]

=⁰ (7) Przy czym dopuszczalne przesunięcia muszą spełniać warunek

[

^{∇x(t0)h1(t0)}

]

^{⋅δx(t0)=0 (8)}

Przy warunku brzegowym w postaci (2) warunek transwersalności jest spełniony jeżeli

[

^{( ) ⋅δ (} k⁾

]

⁼⁰

T

k t

t x

η (9)

Przy czym dopuszczalne przesunięcia muszą spełniać warunek

( )

[

^∇x(tk^)h2(tk)

]

^⋅δx^(tk)=0 (10)

2.

Wariant IV (uogólnione warunki brzegowe, czas swobodny)

Dodatkowo względem punktu 1 czas końcowy lub/i początkowy optymalizacji może być swobodny.

Warunki początkowe na trajektoriach stanów związane są zależnością

[

^{∗ ∗}

]

∗ = _{1 0 0}

0

1(t ) h (t ),t

h x (11)

oraz warunki końcowe na trajektoriach stanów związane są zależnością

[

^{∗ ∗}

]

∗ = _{k k}

k h t t

t

h₂( ) ₂ x( ), (12)

[

t t t t

]

f

[

t t t

]

t f

[

t t t

]

H x( ),u( ),η( ), =− ₀ x( ),u( ), +η( )^T ⋅ x( ),u( ), (13)

( )

[

^∇ η

]

⁼⁰

T x

uH u_ˆ,ˆ,ˆ ⇒ uˆ(t)=ϕ(ηˆ(t),xˆ(t),t) (14) Rozwiązujemy kanoniczny układ równań

( )

[

∇_ηH _uˆ,_xˆ

]

^T=x&^ˆ(t⁾ (15)

( )

[

− ∇_xH _uˆ,_xˆ,_ηˆ

]

^T=η&^ˆ(t⁾ (16)

Przy warunku brzegowym w postaci (1) warunek transwersalności jest spełniony jeżeli

[

η⁽t0^)T ⋅δx⁽t0⁾

]

=⁰ (17) Przy czym dopuszczalne przesunięcia muszą spełniać warunek

[

^{( )}

]

^{( ) (}* ⁾ 0 ⁰

0 0 1 0

0 ) 1

(_o ⎟⎟⋅δ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂ δ

⋅

∇ ∗ ^{∗ ∗ ∗} t^∗

t t t h

t

t h x

x (18)

Dodatkowy warunek konieczny do optymalizacji czasu początkowego uzyskujemy z równania

ˆt0

[

^{∗ ∗}

] [

^{= ∗ ∗ ∗ ∗}

∂

∂

0 0 0

* 0 0

0

0), ( ), ( ), ( ),

( H x t u t η t t t

t t x

K

]

⁽¹⁹⁾

Przy warunku brzegowym w postaci (2) warunek transwersalności jest spełniony jeżeli

[

^{( ∗) ⋅δ (} k^*)

]

⁼⁰

T

k t

t x

η (20)

Przy czym dopuszczalne przesunięcia muszą spełniać warunek

[

^{( )}

]

^{( ) (}* ^{) 0}

* 2 ) 2

(^* ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂ δ

⋅

∇ ^{∗ ∗}

k k k

t k

x t

t t h

t

k h x (21)

Dodatkowy warunek konieczny do optymalizacji czasu końcowego uzyskujemy z równania

tˆk

[

^{∗ ∗}

] [

^{= ∗ ∗ ∗ ∗}

∂

∂

k k k k k

k

k H x t u t η t t

t t t x

K ( ), ( ), ( ), ( ),

*

]

⁽²²⁾

3. Wariacja funkcjonału a warunki transwersalności

Niech równanie stanu ma postać

[

( ), ( ),

]

( ₀) ₀

)

( x u x x

x& t = f t t t t = (23)

Wobec ustalonego czasu końcowego t_k = , przyjmiemy że końcowy stan T swobodny spełnia ogólnie zależność

[

(T)

]

=0

g_K x (24)

Wskaźnik jakości (problem Bolza) ma postać

(25)

[

^{T T}

]

^f

[

^{t t t}

]

^dt

K F

∫

T

+

=

0

0 ( ), ( ),

),

( x u

x

Tworzymy funkcjonał Lagrange’a w którym wykorzystujemy (23) z mnożnikiem którym jest wektor sprzężony ze stanem η(t)

(26)

[

^{T T}

] {

^f

[

^{t t t}

]

^t

{

^{t f}

[

^{t t t}

] }

^dt

K F

T

T

L^{= +}

∫

^{+ ⋅ −}

0

0 ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ),

),

( x u η x x u

x &

}

ewentualnie w jeszcze bardziej ogólnej postaci

[

^{T T}

]

g t F

F_LK = _L+η()^T_K ⋅ _K x( ), (27) Ogólny Hamiltonian dla układu można zapisać

[

t t t t

]

f

[

t t t

]

t f

[

t t t

]

H η( ),x(),u(), =− ₀ x(),u(), +η( )^T ⋅ x( ),u(), (28) Podstawiając (28) do (26) otrzymujemy

(29)

[

^{T T}

] {

^{t t H}

[

^{t t t t}

]

^dt

K F

T T

L^{= +}

∫

^{⋅ −}

0

), ( ), ( ), ( ) ( ) ( ),

( η x η x u

x &

}

Wyrażenie (29) można scałkować przez części otrzymując zapis

[

^{T T}

]

^{t t}

{

^{t t H}

[

^{t t t t}

}

^dt

K F

T T T T

L^{= + ⋅ −}

∫

^{⋅ +}

0

0 () () (), (), (),

) ( ) ( ),

( η x η x η x u

x &

]

⁽³⁰⁾

Ponieważ funkcje są w rozpatrywanym przypadku różniczkowalne względem stanu oraz sterowania , wariację pochodnej stanu wywołaną wariacją stanu i sterowania

, 0

, , g f f

K _K

x u δx&(t)

) (t

x δ , można ogólnie zapisać u

[ ] [ ]

_{( ), ( ) 0}

) (

), ( ), ) (

), ( ( ), ) (

( ⋅δ δ ₀ =

∂ +∂ δ

∂ ⋅

=∂

δ t t

t t t t t f

t t t t

t f _{T T} u x

u u x x

x u x x

)

& ( (31)

Wykorzystując zapis (31) w odniesieniu do (30) wariacje funkcjonału można określić następująco

[ ] [ ]

[ ] [ ]

_{t dt}

t

t t t t dt H

t t t

t t t t H

T T T T T K

T T T T F K

T

T T

T T

T L T

) ) (

(

), ( ), ( ), ) (

( ) ) (

(

), ( ), ( ), (

), ) (

) ( (

), (

0 0

u u u x x η

x η u x η

x x x η

x

⎥δ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

⎥δ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

∂

− ∂

+ δ

⎥⎦⋅

⎢⎣ ⎤

⎡

∂ + ∂ δ

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

∂

= ∂ δ

∫

∫

^&

) (

(32)

Warunkiem koniecznym optymalności jest, by wariacja δ była równa zeru. F_L Wobec tego winny być spełnione warunki zwane warunkami transwersalności a mianowicie:

•

[ ]

₀

) (

),

( ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

∂

∂ _T

T T

T T T

K η( )

x

x (33)

•

[

( ),

]

=₀

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

∂ T

T T

K x (34)

oraz dla obliczonego wektora sprzężonego

•

[ ]

_{( ) 0}

) (

), ( ), ( ),

( ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

∂

∂ T

T t

t

t t t t

H η

x u x

η & (35)

•

[ ]

_{( ) 0}

) (

), ( ), ( ),

( ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

∂

∂ _T

T t

t

t t t t

H x

η u x

η & (36)

Na koniec warunki optymalności

•

[ ]

₀

) (

), ( ), ( ),

( ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

t T

t t t t H

u u x

η (37)

gdyż δu może przyjmować zarówno dodatnie jak i ujemne wartości.