Policzyć pochodną funkcji f (x

Podstawy Fizyki I – Mechanika Zadania domowe – Seria 1 (1 października 2019)

Zad. 1.

Znaleźć równanie prostej y = a · x + b przechodzącej przez punkty (1, 2) i (3, 4) na płaszczyźnie XY . Pod jakim kątem α prosta nachylona jest do osi OX?

Odpowiedź:

a = 1, b = 1, α = π/4

Zad. 2. Policzyć pochodną funkcji f (x) = x² w punkcie x = 1:

a) korzystając z definicji pochodnej

b) korzystając z kalkulatora dla ∆x = 0.1, 0.01, 0.001.

Odpowiedź:

a) analitycznie: f⁰(x = 1) = 2

b) numerycznie ∆x = 0.1: f⁰(x = 1) = 2.1, ∆x = 0.01: f⁰(x = 1) = 2.01,

∆x = 0.001: f⁰(x = 1) = 2.001

Zad. 3. Korzystając z własności pochodnych policzyć:

a)





3

r x²

q x⁴

√ x³





0

b) ^x²sin x^0 c) 2 − x²

2x³+ x + 3

!0

d) 1 +√ t 1 +√

2t

!0

. Odpowiedź:

a) ²³₂₄x^−1/24

b) 2x sin(x) + x²cos(x) c) _4x6+4x^2x44−12x+12x^23−6x−2+x²+6x+9

d) ¹⁻

√ 2 2√

t(1+√ 2t)²

Zad. 4. Policzyć następujące pochodne funkcji złożonej:

a)

 e^xln

 tgx

2

0

b) ^p3x²− 7x + 12^0. Odpowiedź:

a) e^x[ln(tg(x/2)) + 2 tg(x/2) cos^{1 2}(x/2)] b) ^6x−7

2√

3x²−7x+12

Zad. 5. Policzyć pochodną funkcji y(x) korzystając z własności pochodnej funkcji odwrotnej:

a) y(x) =√ x b) y(x) = arc sin x.

Odpowiedź:

a) y⁰(x) = ¹

2√ x

b) y⁰(x) = ^{√ 1}

1−x²

Zad. 6. Policzyć pochodne funkcji y = ar tanh x i y = ar ctanh x. Czym się różnią (narysuj je)?

Odpowiedź:

a) y⁰(x) = _1−x¹₂ b) y⁰(x) = _1−x¹₂

Zad. 7. Obliczyć pochodne do szóstego rzędu włącznie funkcji y(x) = x⁵+ 2x⁴− 4x²+ 16x − 15.

Odpowiedź:

a) y⁰(x) = 5x⁴+ 8x³− 8x + 16 b) y⁰⁰(x) = 20x³+ 24x²− 8

c) y⁰⁰⁰(x) = 60x²+ 48x d) y⁽⁴⁾(x) = 120x + 48

e) y⁽⁵⁾(x) = 120

Zad. 8. Puszka do konserw w postaci walca o pojemności V_◦ = 54π cm³ ma być tak wykonana, aby została zużyta minimalna ilość blachy. Wyznaczyć promień r podstawy i wysokość h takiej puszki.

Odpowiedź: r = 3 cm, h = 6 cm.

Zad. 9. Rozwinąć funkcję f (x) = ln x w szereg potęgowy f (x) =

∞

X

n=0

df⁽ⁿ⁾ dxⁿ

    _x

◦

(x − x_◦)ⁿ

n! wokół punktu x◦= 1, a następnie policzyć pochodną f⁰(x).

Odpowiedź: f (x) =^P∞_n=1(−1)^{n+1 1}_n(x − 1)ⁿ, f⁰(x) =^P∞_n=0(−1)ⁿ(x − 1)ⁿ= ¹_x

Zad. 10. Policzyć całki nieoznaczone:

a) Z

cos²x dx b)

Z ln x x dx c)

Z x dx

√1 − x⁴ d)

Z

arc tg x dx e)

Z

e^xx cos x dx.

Odpowiedź:

a) ¹₄sin(2x) −¹₂x + C b) ¹₂ln²(x) + C

c) ¹₂arc sin(x²) + C

d) x arc tg(x) − ¹₂ln |x²+ 1| + C e) ¹₂e^xx(sin(x) + cos(x)) −¹₂e^xsin(x)

Zad. 11. Obliczyć pole powierzchni ograniczonej łukiem paraboli y = x² oraz prostymi y = 0 i x = 2:

a) licząc całkę oznaczoną

b) metodą przybliżoną dzieląc pole na 4 prostokąty o równej szerokości.

Odpowiedź:

a) S = ⁸₃ = ³²₁₂ b) S = ¹¹₄ = ³³₁₂