3.2 Jak zmieni si e macierz odwrotna do danej nieosobliwej macierzy A ∈ K ,n,n je´ sli:

GAL (I INF) Zadania domowe 3

w tym obowi azkowe: 3.12, 3.14, 3.21, 3.27, 3.39 _, termin sprawdzianu: 26.11.2010

3.1 Uzasadnij, ˙ze (nie)osobliwo´ s´ c macierzy kwadratowej nie zale˙zy od kolejno´ sci wierszy i ko- lejno´ sci kolumn tej macierzy.

3.2 Jak zmieni si e macierz odwrotna do danej nieosobliwej macierzy A ∈ K _, ^n,n je´ sli:

(a) przestawimy wiersz i-ty z j-tym?

(b) do i-tego wiersza dodamy j-ty pomno˙zony przez α ∈ K, α 6= 0 ?

3.3 Niech A _n = (a _i,j ) ⁿ _i,j=1 ∈ R ^n,n b edzie macierz _, a tak _, a, ˙ze a _{, i,j} = 1 je´ sli |i − j| = 1, oraz a _i,j = 0 je´ sli |i − j| 6= 1. Dla jakich warto´ sci n ∈ {1, 2, 3, . . .} macierz A n jest nieosobliwa?

3.4 Poka˙z ˙ze dla dowolnej macierzy A = (a _i,j ) ∈ K ^n,n spe lniona jest r´ owno´ s´ c max i,j |a _i,j | = sup

~

x∈K

\{0}

kA~ xk ∞

k~ xk ₁ .

3.5 Dla jakich warto´ sci parametr´ ow s, t ∈ R wektory [5, 7, s, 2] ^T , [1, 3, 2, 1] ^T , [2, 2, 4, t] ^T tworz a _, uk lad liniowo niezale˙zny w R ⁴ _|R ?

3.6 Dla jakich warto´ sci λ ∈ R wektor [λ, 8, 6] ^T jest liniow a kombinacj _, a wektor´ _, ow [3, 4, 5] ^T , [1, 4, 4] ^T i [7, 4, 7] ^T ?

3.7 Za l´ o˙zmy, ˙ze wektory ~ x 1 , ~ x 2 , . . . , ~ x n s a liniowo niezale˙zne w pewnej przestrzeni liniowej X . _, Czy wektory ~ x ₁ + ~ x ₂ , ~ x ₂ + ~ x ₃ , . . ., ~ x _n−1 + ~ x _n , ~ x _n s a te˙z liniowo niezale˙zne? _,

3.8 Niech uk lad (a 1 , a 2 , . . . , a n ) b edzie baz _, a przestrzeni liniowej X nad cia lem K. Niech _, b _j =

j

X

i=1

a _i , 1 ≤ j ≤ n.

Wyka˙z, ˙ze uk lad (b 1 , b 2 , . . . , b n ) te˙z jest baz a X . _,

3.9 Niech p _k ∈ P _|R ⁿ b ed _, a dla 0 ≤ k ≤ n − 1 wielomianami stopnia dok ladnie k, tzn. deg p _{, k} = k.

Wyka˙z, ˙ze uk lad (p 0 , p 1 , . . . , p n−1 ) jest baz a P _{, |R} ⁿ .

3.10 Niech Y i Z b ed _, a podprzestrzeniami pewnej przestrzeni X . Wyka˙z, ˙ze _, Y ∪ Z := {x ∈ X : x ∈ Y lub x ∈ Z}

jest podprzestrzeni a X wtedy i tylko wtedy gdy Y ⊆ Z lub Z ⊆ Y. _,

3.11 Niech Y b edzie podprzestrzeni _, a przestrzeni P _{, |R} ⁿ wielomian´ ow p (o wsp´ o lczynnikach rzeczy- wistych) spe lniaj acych p(0) = p(ı) = 0 (ı = _, √

−1). Wska˙z baz e Y, a nast _, epnie uzupe lnij j _, a _, do bazy P _|R ⁿ .

3.12 Dla a ∈ R, niech

~ x 1 =







 1

−1 0 0









, ~ x 2 =







 1 0

−1 0









, ~ x 3 =







 0 1 a 0









, ~ x 4 =







 0 0 1 a







 .

Znajd´ z wymiar przestrzeni span(~ x 1 , ~ x 2 , ~ x 3 , ~ x 4 ), w zale˙zno´ sci od warto´ sci parametru a.

3.13 Niech dla x ∈ R dany b edzie nast _, epuj _, acy uk lad funkcji _, l i (x) =

n

Y

j=0 j6=i

x − j

i − j , i = 0, 1, . . . , n.

1

(a) Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego n ∈ N funkcje l i s a liniowo niezale˙zne w przestrzeni P _{, |R} ⁿ⁺¹ . (b) Przyjmuj ac n = 2 znajd´ _, z wsp´ o lczynniki rozwini ecia funkcji _,

f (x) = 22 + 11x + 2007x ² w bazie l 0 , l 1 , l 2 .

3.14 Dla ustalonych t ₁ < t ₂ < . . . < t _n zdefiniujmy wielomiany l _i (t) =

n

Y

i6=j=1

t − t _j

t i − t _j , 1 ≤ i ≤ n.

Wyka˙z, ˙ze (l ₁ , l ₂ , . . . , l _n ) jest baz a P _{, |R} ⁿ .

3.15 W przestrzeni liniowej X nad cia lem K dane s a liniowo niezale˙zne wektory ~ _, x ₁ , ~ x ₂ , . . . , ~ x _n oraz wektor

~

y = α ₁ ~ x ₁ + α ₂ ~ x ₂ + · · · + α _n ~ x _n , gdzie α _i ∈ K dla i = 1, . . . , n. Poka˙z ˙ze uk lad wektor´ ow

~

x 1 + ~ y, ~ x 2 + ~ y, . . . , ~ x n + ~ y jest liniowo niezale˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy

n

X

i=1

α _i 6= −1.

3.16 W przestrzeni liniowej X nad cia lem C dane s a wektory ~ _, v 1 , ~ v 2 , . . . , ~ v n . Dla jakich liczb λ ∈ C z liniowej niezale˙zno´ sci uk ladu ~ x ₁ , ~ x ₂ , . . . ~ x _n wynika liniowa niezale˙zno´ s´ c uk ladu

~

x 1 + ~ x 2 , ~ x 2 + ~ x 3 , . . . , ~ x n−1 + ~ x n , ~ x n + λ~ x 1 ?

3.17 W przestrzeni liniowej X _|K dane s a wektory ~ _, x, ~ y, ~ z. Niech α, β, γ ∈ K. Poka˙z ˙ze uk lad α~ x − β~ y, γ~ y − α~ z, β~ z − γ~ x jest liniowo zale˙zny.

3.18 Niech n > 4. W przestrzeni liniowej P _R ⁿ wielomian´ ow rzeczywistych stopnia mniejszego ni˙z n rozwa˙zamy zbi´ or X takich wielomian´ ow p, ˙ze

p(i) = p(1 − ı) = 0, gdzie ı = √

−1.

Czy X jest podprzestrzeni a liniow _, a w P _{, |R} ⁿ ? Co mo˙zna powiedzie´ c o stopniu niezerowego wielomianu p ∈ X?

3.19 Niech A = (a _i,j ) ⁿ _i,j=1 = [~a ₁ , ~a ₂ , . . . , ~a _n ] b edzie macierz _, a kwadratow _, a o wsp´ _, o lczynnikach zespolonych. Wyka˙z, ˙ze je´ sli dla wszystkich j mamy |a j,j | > P n

j6=i=1 |a _i,j | to wektory (~a ₁ , . . . , ~a _n ) tworz a baz _, e C _, ^n,n _|C .

3.20 Niech X b edzie pewn _, a przestrzeni _, a liniow _, a funkcji f : R → R, a _, X ₀ = {f ∈ X : f (0) = 0, f (1) = f (2)}

jej podprzestrzeni a. _,

(a) Niech X ₁ = span{f ₁ , f ₂ }, gdzie f ₁ , f ₂ ∈ X . Wyka˙z, ˙ze je´sli f 1 (0)(f 2 (2) − f 2 (1)) 6= f 2 (0)(f 1 (2) − f 1 (1)) to X = X ₀ ⊕ X ₁ i dim(X ) = dim(X ₀ ) + 2.

(b) Znajd´ z dowoln a baz _, e przestrzeni ilorazowej X /X _, 0 w przypadku gdy X jest przestrzeni a _, wielomian´ ow stopnia co najwy˙zej n.

3.21 Niech A ∈ K ^m,n i rz ad rz(A) = n. Wyka˙z, ˙ze zbi´ _, or

W _A = { B ∈ K ^n,m : B ∗ A = I _n }

jest warstw a w K _, ^n,m . Podaj wymiar dim(W A )?

3.22 Niech X = P _|R ^∞ bedzie przestrzeni a wielomian´ _, ow rzeczywistych dowolnego stopnia. Ustal, czy przestrze´ n ilorazowa X /W jest sko´ nczenie wymiarowa je´ sli W jest podprzestrzeni a _, wielomian´ ow:

(i) stopnia co najwy˙zej n − 1, (ii) podzielnych przez t ⁿ , (iii) zmiennej t ² .

3.23 Prost a w przestrzeni liniowej nazywamy dowoln _, a jej warstw _, e wymiaru 1. Wyka˙z, ˙ze suma _, (jako suma zbior´ ow) dowolnych dw´ och prostych zawiera si e w pewnej warstwie wymiaru co _, najwy˙zej 3. Czy potrafisz uog´ olni´ c to zadanie na dowoln a liczb _, e prostych? _,

3.24 W przestrzeni P _|R ⁴ dany jest zbi´ or Z =

n

p ∈ P _|R ⁴ : p(0) = 2, p(1) = 1 o

.

Wyka˙z, ˙ze Z jest warstw a pewnej podprzestrzeni Y ⊂ P _{, |R} ⁽⁴⁾ . Znajd´ z baz e Y oraz przedstaw _, Z w postaci Z = W (q, Y) dla pewnego q.

3.25 Czy dla sum prostych zachodzi prawo skracania, tzn. czy z warunku X ⊕ Z = Y ⊕ Z

wynika, ˙ze X = Y?

3.26 Niech

Y = span [1, −1, 2, 3] ^T , [0, 1, −2, 3] ^T , [1, 1, 2, 3] ^T
⊂ R ⁴ .

Wyznacz podprzestrze´ n Z ⊂ R ⁴ tak a, ˙ze Y ⊕ Z = R _, ⁴ oraz dla dowolnych ~ u ∈ Y i ~ v ∈ Z zachodzi ~ v ^T ∗ ~ u = 0.

3.27 W przestrzeni P _|R ⁴ rozwa˙zmy zbi´ or

Y = {p ∈ P ⁴ : p(−1) + p(0) + p(1) = 0 i p(−2) = p(2)}.

Wyka˙z, ˙ze Y _|R jest podprzestrzeni a w P _{, |R} ⁴ . Nast epnie znajd´ _, z wymiar i baz e Y oraz baz _, e _, podprzestrzeni Z takiej, ˙ze

P ⁴ = Y ⊕ Z.

3.28 Rozwa˙zmy nast epuj _, ace podzbiory przestrzeni R _, ^m,n :

X = n

A = [a _i,j ] ∈ R ^m,n :

n

X

j=1

a _i,j = 0 dla i = 1, 2, . . . , m o

Y = n

B = [b _i,j ] ∈ R ^m,n :

m

X

i=1

b _i,j = 0 dla j = 1, 2, . . . , n o (a) Wyka˙z, ˙ze X i Y s a podprzestrzeniami liniowymi i wska˙z przyk lady baz. _, (b) Czy R ^m,n = X ⊕ Y?

3.29 W przestrzeni P _|R ³ rozwa˙zamy podzbi´ or W = n

p ∈ P _|R ³ : p(1) + p ⁰ (0) = 1 o .

Wyka˙z, ˙ze W jest warstw a, tzn. W = W (p _{, 0} , Y), dla pewnych p ₀ ∈ P _|R ³ oraz podprzestrzeni Y ⊂ P _|R ³ . Znajd´ z p ₀ i baz e Y. _,

3.30 Znajd´ z wszystkie wielomiany p ∈ P _|R ⁴ takie, ˙ze

4

X

i=0

p(i) = 4 oraz

4

X

i=0

(−1) ⁱ p(i) = 0.

Czy wielomiany te tworz a warstw _, e w P _{, |R} ⁴ ?

3.31 Niech Y b edzie podprzestrzeni _, a P _{, |R} ⁵ zdefiniowan a jako _,

Y = p ∈ P ⁵ : p(0) + p(1) + p(2) = 0, p(0) + p ⁰ (0) + p ⁰⁰ (0) = 0 . Znajd´ z wymiar i baz e Y oraz przestrzeni warstw modulo Y. _,

3.32 Wyka˙z, ˙ze rz ad macierzy nie zmieni si _, e gdy: _,

(a) pomno˙zymy kolumn e (wiersz) przez niezerowy skalar, _,

(b) dodamy do kolumny (wiersza) inn a kolumn _, e (wiersz) pomno˙zon _, a (pomno˙zony) przez _, skalar.

3.33 W zale˙zno´ sci od warto´ sci parametru a, wyznacz rz ad macierzy _,









1 a 0 0

a 0 a −1

−1 a 0 a

0 0 a −3









∈ R ^4,4

3.34 Znajd´ z rz ad, bazy j _, adra i obrazu macierzy _,









1 −2 3 −5

−2 3 −4 6

3 −4 5 −7

−4 5 −6 8







 .

3.35 Niech A b edzie macierz _, a kwadratow _, a sko´ _, snie symetryczn a, czyli tak _, a, ˙ze A _, ^T = −A. Wyka˙z,

˙ze rz ad nacierzy A jest liczb _, a parzyst _, a. _,

3.36 Wyka˙z, ˙ze je´ sli macierze kwadratowe A, B ∈ R ^n,n spe lniaj a A ∗ B = 0 ∈ R _, ^n,n to rz(A) + rz(B) ≤ n.

3.37 Niech ~a 1 , . . . , ~a n ∈ C ^m i A = [~a 1 , . . . , ~a n ] ∈ C ^m,n . Poka˙z, ˙ze:

(a) dla ka˙zdego ~ x ∈ C ^m

n

X

k=1

|~ x ^H ~a k | ²

! 1/2

≤ k~ xk 2 · kAk _F .

(b) je´ sli dla pewnego niezerowego ~ x 0 ∈ C ^m mamy w (a) r´ owno´ s´ c to rz ad rz(A) ≤ 1. _, 3.38 Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A i B (o wymiarych takich, ˙ze odpowiednie dzia lania s a _,

wykonalne) prawdziwe s a nier´ _, owno´ sci:

(a) rz(A ∗ B) ≤ min (rz(A), rz(B)), (b) rz(A + B) ≤ rz(A) + rz(B).

3.39 Dana jest macierz

A =









1 3 −1 0

−2 −7 −2 3

2 6 −1 −1

1 4 2 −2









∈ R ^4,4 .

(a) Znajd´ z dowoln a baz _, e przestrzeni R(A) (obrazu A). _, (b) Wyznacz wymiar przestrzeni N (A) (j adra A). _, (c) Czy macierz A jest odwracalna?

3.40 Dana jest macierz

A =





1 −1 2 −3 0

−1 1 −2 3 0

0 −1 0 5 1



 . Znajd´ z bazy podprzestrzeni R(A) ⊆ R ³ i N (A) ⊆ R ⁵ .

3.41 Niech n ≥ 4 i niech wektory ~ x, ~ y ∈ R ⁿ b ed _, a liniowo niezale˙zne. Znajd´ _, z j adro macierzy _,

A = [~ x, ~ x + ~ y, ~ x − ~ y, ~ y].