dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I

⁰

.in». 16 grudnia 2015

Legalne ±ci¡ga na kolokwium nr. 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych in- formacji.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n

= 0, b) lim

n→∞

1

n^α

= 0, α > 0 c) lim

n→∞

n

^α

= +∞, α > 0 d) lim

n→∞

a

ⁿ

= 0, |a| < 1 e) lim

n→∞

a

ⁿ

= ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√

n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√

n

n = 1 h) lim

n→∞

n^α

aⁿ

= 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log_an

n

= 0, n > 1 j) lim

n→∞

nⁿ

n!

= ∞ k) lim

n→∞

a

ⁿ

= ∞, a > 1 l) lim

n→∞

a

ⁿ

= 0, |a| < 1 m) lim

n→∞

(1 +

_n¹

)

ⁿ

= e n) lim

n→∞

(1 −

_n¹

)

ⁿ

= e

⁻¹

o) lim

n→∞

(1 +

^a_n

)

ⁿ

= e

^a

p) lim

n→∞

(1 +

_a¹

n

)

^an

= e o ile (a

n

) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Symbole nieoznaczone:

^∞_∞

,

⁰₀

, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1

^∞

, 0

⁰

, ∞

⁰

. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞

= 0, −∞ < a < ∞

₀^a+

= ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺

= −∞, −∞ ≤ a < 0

₀^a−

= −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻

= ∞, −∞ ≤ a < 0

a

^∞

= 0, 0

⁺

≤ a < 1 a

^∞

= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞

^a

= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞

^a

= ∞, 0 < a ≤ ∞

Szeregi liczbowe

Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu: Je±li szereg P

^∞

n=1

a

_n

jest zbie»ny to lim

n→∞

a

_n

= 0 .

Krterium porównawcze: Niech 0 ≤ a

n

≤ b

_n

dla ka»dego n > n

0

, n

₀

∈ N. Je±li zbie»ny jest szereg P

^∞

n=1

b

_n

to zbie»ny jest szereg P

^∞

n=1

a

_n

. Je±li P

^∞

n=1

a

_n

= ∞ to P

^∞

n=1

b

_n

= ∞ Krterium d'Alamberta: Niech a

n

≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

an+1

an

∈ [0, 1)∪(1, ∞] . Wówczas je±li g ∈ [0, 1) to szereg P

^∞

n=1

a

_n

jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞] to szereg P

^∞

n=1

a

_n

jest rozbie»ny.

Krterium Cauchy'ego: Niech a

n

≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

√

n

a

_n

∈ [0, 1) ∪ (1, ∞] . Wówczas je±li g ∈ [0, 1) to szereg P

^∞

n=1

a

_n

jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞] to szereg P

^∞

n=1

a

_n

jest rozbie»ny.

Kryterium Leibniza: Je»eli w szeregu przemiennym P

^∞

n=1

a

_n

pocz¡wszy od pewnego miejsca (wy- razu) N bezwzgl¦dne warto±ci wyrazów szeregu d¡»¡ monotonicznie do zera to szereg P

^∞

n=1

a

_n

jest zbie»ny.

Szereg harmoniczny: Szeregiem harmonicznym o wykªadniku α ∈ R nazywamy szereg postaci

∞

P

n=1 1

n^α

. Szereg ten jest zbie»ny dla α > 1.

Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warunkowa szeregu: Szereg P

^∞

n=1

a

_n

nazywamy zbie»nym bezwzgl¦d- nie je±li zbie»ny jest szereg P

^∞

n=1

|a

n

|. Szereg zbie»ny, który nie jest zbie»ny bezwzgl¦dnie nazywamy zbie»nym warunkowo (szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny).

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I

⁰

.in». 16 grudnia 2015

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x

= 1, b) lim

x→0 tg x

x

= 1, α > 0 c) lim

x→0 a^x−1

x

= ln a, a > 0 d) lim

x→0

log_a(1+x)

x

= log

_a

e, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞

1 +

^a_x

x

= e

^a

, a ∈ R f ) lim

x→0

(1 + x)

^x1

= e g) lim

x→0

(1+x)^a−1

x

= a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x

= 1 i) lim

x→0 arctg x

x

= 1 Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos

²

α − sin

²

α, c) sin

²

α =

^1−cos₂^2α

, d) cos

²

α =

^1+cos₂^2α

,

e) sin α + sin β = 2 sin

^α+β₂

cos

^α−β₂

, f) sin α − sin β = 2 sin

^α−β₂

cos

^α+β₂

, g) cos α − cos β = −2 sin

^α+β₂

sin

^α−β₂

, h) cos α = sin

^π₂

− α

i) a

²

− b

²

= (a − b)(a + b), j) a

³

− b

³

= (a − b)(a

²

+ ab + b

²

).

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c)

⁰

= 0 c ∈ R

2. (x

^α

)

⁰

= αx

^α−1

(

^α

)

⁰

= α

^α−1

· 

⁰

α ∈ R \ {0}

3. ( √

ⁿ

x)

⁰

=

¹

nⁿ

√ xⁿ⁻¹

 √

n

 

0

=

^0

nⁿ

√

ⁿ⁻¹

n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)

⁰

= cos x (sin )

⁰

= (cos ) · 

⁰

5. (cos x)

⁰

= − sin x (cos )

⁰

= (− sin ) · 

⁰

6. (tg x)

⁰

=

_cos¹2x

(tg )

⁰

=

_cos^2⁰

x 6=

^π₂

+ kπ, k ∈ N 7. (ctg x)

⁰

= −

_sin¹2x

(ctg )

⁰

= −

_sin^2⁰



x 6= kπ, k ∈ N 8. (a

^x

)

⁰

= a

^x

· ln a (a

^

)

⁰

= a

^

· ln a · 

⁰

a > 0 9. (e

^x

)

⁰

= e

^x

(e

^

)

⁰

= e

^

· 

⁰

10. (ln x)

⁰

=

¹_x

(ln )

⁰

=

^0



x > 0

11. (log

_a

x)

⁰

=

_{x ln a}¹

(log

_a

)

⁰

=

_{ ln a}^0

a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)

⁰

=

^{√ 1}

1−x²

(arcsin )

⁰

=

^√0

1−²

|x| < 1 13. (arccos x)

⁰

=

^√_1−x⁻¹ ₂

(arccos )

⁰

=

^√−0

1−²

|x| < 1 14. (arctg x)

⁰

=

_1+x¹ 2

(arctg )

⁰

=

_1+^02

15. (arcctg x)

⁰

=

_1+x⁻¹2

(arcctg )

⁰

=

_1+^−02

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g =

^f1

g

lub f · g =

^g1 f

0

0

lub

^∞_∞

∞ − ∞ f − g =

1 g−¹

f 1 f g

0 0

1

^∞

, ∞

⁰

, 0

⁰

f

^g

= e

^{g ln f}

0 · ∞

Równanie stycznej do wykresu funkcji: y − y

0

= f

⁰

(x

₀

)(x − x

₀

).

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan    

f

⁰

(x

₀

) − g

⁰

(x

₀

) 1 + f

⁰

(x

₀

) · g

⁰

(x

₀

)

    . W przypadku gdy 1 + f

⁰

(x

₀

) · g

⁰

(x

₀

) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

2