Denicja 1. Równanie ró»niczkowe postaci dy

Liniowe równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du

Denicja 1. Równanie ró»niczkowe postaci dy

dx + p(x)y = f (x), (1)

gdzie funkcje p(x) i f(x) s¡ ci¡gªe w pewnym wspólnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym pierwszego rz¦du.

Równanie (1) nazywamy równaniem jednorodnym, je»eli funkcja f(x) ≡ 0, w przeciwnym przypadku tzn. gdy f(x) 6≡ 0 niejednorodnym.

Rozwi¡zanie równania ró»niczkowego (1) opiera si¦ na zasadzi superpozycji:

Twierdzenie 1. Caªka ogólna y(x) równania liniowego niejednorodnego (CORN) (1) jest suma caªki ogólnej równania jednorodnego (CORJ) y 0 (x) i caªki szczególnej równania niejednorodnego (CSRN) y(x) : e

y(x) = y ₀ (x) + e y(x).

Rozwi¡za« równania postaci (1) poszukujemy w dwóch etapach:

1. Znajdujemy caªk¦ ogóln¡ równania jednorodnego (CORJ) (oznaczam j¡ przez y 0 (x) ) stosuj¡c metod¦ rozdzielania zmiennych;

2. Znajdujemy caªk¦ szczególn¡ równania niejednorodnego (CSRN) (oznaczam j¡ przez e y(x) ).

Caªki (CSRN) b¦dziemy poszukiwa¢ albo tzw. metod¡ uzmienniania staªej, albo tzw. metod¡

przewidywa«.

a) Metoda uzmienniania staªej

Metod¦ t¡, jak to ju» wspomniano wcze±niej, stosujemy do wyznaczenia (CSRN), ale »eby móc to zrobi¢ najpierw nale»y wyznaczy¢ (CORJ). Zatem rozwa»amy równanie jednorodne i metod¡

rozdzielania zmiennych wyznaczamy (CORJ):

dy

dx + p(x)y = 0 =⇒ dy

dx = −p(x)y =⇒ 1

y dy = −p(x)dx, gdzie y 6= 0. Caªkujemy:

Z 1

y dy = − Z

p(x)dx + ln |c|, ∀ _c6=0 =⇒ ln |y| = − Z

p(x)dx + ln |c|.

Deolgarytmuj¡c mamy:

y(x) = ce ^{− R p(x)dx} , ∀ c6=0 . (2)

Na podstawie tego, »e y(x) ≡ 0 jest równie» rozwi¡zaniem liniowego równania jednorodnego, wi¦c (CORJ) zapisujemy w postaci:

y ₀ (x) = ce ^{− R p(x)dx} , ∀ _c∈R .

Teraz b¦dziemy stosowa¢ metod¦ uzmienniania staªej poprzez zast¡pienie w równaniu staªej c funkcj¡ c(x). Zatem (CSRN) b¦dziemy poszukiwa¢ w postaci:

e y(x) = c(x) · e ^{− R p(x)dx} . (3)

Wobec tego problem znalezienia (CSRN) sprowadzony zostaª do znalezienia postaci funkcji c(x).

Aby to zrobi¢ w pierwszym kroku nale»y obliczy¢ pochodn¡ y(x) : e

e y ⁰ (x) = c ⁰ (x) · e ^{− R p(x)dx} − c(x) · e ^{− R p(x)dx} · p(x). (4) W nast¦pnym kroku podstawi¢ do równania (1) odpowiednio w miejsce y i y ⁰ funkcje y, e y e ⁰ , a nast¦pnie wyznaczy¢ z tak otrzymanego równania funkcj¦ c(x) :

c ⁰ (x) · e ^{− R p(x)dx} − c(x)p(x) · e ^{− R p(x)dx} + c(x)p(x) · e ^{− R p(x)dx} = f (x) to

c ⁰ (x) = f (x) · e ^{R p(x)dx} , wi¦c

c(x) = Z

f (x) · e ^{R p(x)dx} dx.

Zatem rozwi¡zanie ogólne równania liniowego z zasady superpozycji ma posta¢:

y(x) = y ₀ (x) + y(x) = ce e ^{− R p(x)dx} + e ^{− R p(x)dx} · Z

f (x) · e ^{R p(x)dx} dx.

Przykªad 1. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

xy ⁰ − 2y = xe ⁻

, x 6= 0. (5)

Rozwi¡zanie: Zauwa»my najpierw, »e równanie ró»niczkowe (5) po podzieleniu przez x jest po- staci (1) (ale dzielenie to nie jest konieczne). W pierwszym kroku w celu otrzymanie (CORJ) rozwi¡zujemy metod¡ rozdzielania zmiennych równanie jednorodne

xy ⁰ − 2y = 0 =⇒ 1

y dy = 2 1

x dx, y 6= 0.

St¡d Z

1

y dy = 2 Z 1

x dx + ln |c|, ∀ _c6=0 =⇒ ln |y| = 2 ln |x| + ln |c|.

Delogarytmujemy oraz zauwa»amy, »e y = 0 jest rozwi¡zaniem równania xy ⁰ −2y = 0, wi¦c poprzez doª¡czenie c = 0 mamy nast¦puj¡c¡ caªk¦ ogóln¡ równania jednorodnego (CORJ)

y ₀ (x) = cx ² , ∀ _c∈R .

Teraz, w celu otrzymania (CORN) stosujemy metod¦ uzmienniania staªej, a wi¦c rozwi¡zania e y poszukujemy w postaci:

y = c(x)x e ² . (6)

Liczymy pochodn¡

y e ⁰ = c ⁰ (x)x ² + 2c(x)x.

Wstawiaj¡c y, e e y ⁰ do równania niejednorodnego (5), mamy

c ⁰ (x)x ³ + 2c(x)x ² − 2c(x)x ² = xe ⁻

=⇒ c ⁰ (x) = 1 x ² e ⁻

. Zatem

c(x) = Z 1

x ² e ⁻

dx = e ⁻

+ c 2 . Niech c 2 = 0, wtedy z (6) mamy

y(x) = x e ² e ⁻

. Wówczas rozwi¡zanie równania (5) ma posta¢:

y(x) = y ₀ (x) + y(x) = cx e ² + x ² e ⁻

.

b) Metoda przewidywa«

Denicja 2. (quasi-wielomian) Funkcje postaci:

f (x) =

N

X

k=1

e ^λ

^x P _k (x), (7)

gdzie λ k s¡ liczbami zespolonymi, a P k (x) jest wielomianem stopnia k, nazywamyquasi-wielomianem.

Fakt 2. Je»eli λ jest liczb¡ zespolon¡ postaci λ = α ± βi, wówczas e ^(α±βi)x = e ^αx (cos βx ± i sin βx).

Metod¦ przewidywa« stosujemy wówczas, gdy równanie liniowe ma staªe wspóªczynniki przy y i y ⁰ tzn. jest postaci:

dy

dx + py = f (x), gdzie p = const. (8)

Podobnie jak w metodzie uzmienniania staªej (CORJ) poszukujemy za pomoc¡ metody rozdzielania zmiennych. Natomiast aby znale¹¢ y(x) e czyli (CSRN) b¦dziemy stosowa¢ twierdzenie:

Twierdzenie 3. Je»eli f(x) = P m (x)e ^µx , to rozwi¡zanie szczególne równania niejednorodnego poszukujemy w postaci:

y(x) = e

( Q _m (x)e ^µx , je»eli µ 6= −p xQ _m (x)e ^µx , je»eli µ = −p.

Na podstawie twierdzenia 3, oraz faktu 2 rozwi¡zania e y(x), w zale»no±ci od przypadku, poszu- kujemy zgodnie z tabel¡:

Lp. posta¢ funkcji f(x) przewidywanie y(x) e

warunek posta¢ funkcjie y(x)

1. wielomian W n (x) wielomian Q n (x)

2. Ae ^kx p 6= −k Be ^kx

p = −k Bxe ^kx

3. A cos βx + B sin βx C cos βx + D sin βx

4. W _n e ^kx p 6= −k Q _n (x)e ^kx

p = −k x · Q _n (x)e ^kx

5. W _n (x) cos βx + P _m (x) sin βx Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx 6. e ^kx (A cos βx + B sin βx) e ^kx (C cos βx + D sin βx) 7. W _n (x)e ^kx cos βx + P _m (x)e ^kx sin βx Q _l (x)e ^kx cos βx + R _l (x)e ^kx sin βx

Tablica 1: Tablica przewidywa« (CSRN) pierwszego rz¦du Oznaczenia:

- l = max{n, m};

- W n (x) - wielomian stopnia n;

- wielomiany w prawej kolumnie to wielomiany o wspóªczynnikach nieoznaczonych (nieznanych);

- B, C, D w prawej kolumnie to staªe niewiadome.

Uwaga 4. Powy»sza tabela dotyczy przypadku p 6= 0. W sytuacji gdy p = 0 caªk¦ równania

wyznaczymy poprzez obustronne caªkowanie.

Gdy wybierzemy ju» odpowiedni¡ posta¢ y(x), e to nast¦pnie liczymy pochodn¡ y e ⁰ (x) i po wsta- wieniu y(x) e i e y ⁰ (x), do (8) wyliczamy niewiadome wspóªczynniki.

Przykªad 2. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

y ⁰ + y = 2x sin x + 4 cos x (9)

Rozwi¡zanie: Najpierw wyznaczamy (CORJ) metod¡ rozdzielania zmiennych y ⁰ + y = 0 =⇒ dy

dx = −y =⇒ 1

y dy = −dx (y 6= 0).

St¡d Z 1

y dy = − Z

dx + ln |c|, ∀ _c6=0 =⇒ ln |y| = −x + ln |c|.

Zatem delogarytmuj¡c i wª¡czaj¡c rozwi¡zanie y = 0 mamy y 0 (x) = ce ^−x , ∀ c∈R .

Teraz korzystaj¡c z tabeli wyznaczamy szukan¡ posta¢ (CSRN). Widzimy, »e w rozwa»anym przy- kªadzie mamy przypadek 5), wi¦c rozwi¡zania y(x) e poszukujemy w postaci:

e y(x) = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x. (10) Liczymy pochodn¡

e y ⁰ (x) = A sin x+(Ax+B) cos x+C cos x−(Cx+D) sin x = (A−Cx−D) sin x+(Ax+B +C) cos x.

Podstawiaj¡c y(x) e i e y ⁰ (x) do (9) mamy

(A − Cx − D) sin x + (Ax + B + C) cos x + (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x = 2x sin x + 4 cos x.

Aby wyznaczy¢ niewiadome A, B, C, D porównujemy odpowiednie wspóªczynniki po prawej i lewej stronie równania. Zatem, otrzymujemy

sin x : A + B − D = 0 x sin x : −C + A = 2 cos x : B + C + D = 4 x cos x : A + C = 0

Rozwi¡zuj¡c ten ukªad dostajemy A = 1, B = 2, C = −1, D = 3. Zatem oraz na podstawie (10) mamy

e y(x) = (x + 2) sin x − (x − 3) cos x.

Ostatecznie (CORN) (9) ma posta¢

y(x) = y ₀ (x) + e y(x) = ce ^−x + (x + 2) sin x − (x − 3) cos x.

Uwaga 5. Metod¦ uzmienniania staªej mo»na stosowa¢ do ka»dego równania liniowego, podczas

gdy metod¦ przewidywa« tyko do równa« o staªych wspóªczynnikach. Natomiast, zazwyczaj me-

toda przewidywa« jest mniej uci¡»liwa, gdy» sprowadza znalezienie caªki równania do liczenia

pochodnych i rozwi¡zywania ukªadów równa« (nie trzeba caªkowa¢!!!).

Równanie Bernulliego

Denicja 3. Równanie ró»niczkowe postaci dy

dx + p(x)y = f (x)y ^α , (11)

gdzie funkcje p i f s¡ ci¡gªe w pewnym wspólnym przedziale (a, b), a α jest dowoln¡ liczb¡ rzeczy- wist¡ nazywamy równaniem ró»niczkowym Bernoulliego.

Zauwa»my, »e dla α = 1 równanie (11) sprowadza si¦ do równania liniowego jednorodnego, a dla α = 0 do równania liniowego niejednorodnego. Ponadto dla α > 0 caªk¡ szczególn¡ równania (11) b¦dzie zawsze y ≡ 0.

Równanie Bernulliego poprzez podstawienie

y ^1−α (x) = z(x) (12)

zostaje sprowadzone do równania liniowego.

Algorytm rozwi¡zania równania Bernulliego:

1. W pierwszym kroku je»eli α > 0, to y(x) ≡ 0 jest caª¡ szczególn¡ równania (11). Je»eli α < 0 to od razu przechodzimy do podpunktu 2.

2. Dzielimy równanie (11) przez y ^α , mamy:

y ^−α y ⁰ + p(x)y ^1−α = f (x).

3. Stosujemy podstawieie (12) i ró»niczkujemy (12):

y ^1−α = z =⇒ (1 − α)y ^−α y ⁰ = z. (13)

4. Dokonujemy podstawienia (12) oraz (13) do równania Bernulliego, otrzymujemy niejedno- rodne równanie liniowe wzgl¦dem z :

1

(1 − α) z ⁰ + p(x)z = f (x).

5. Rozwi¡zujemy powy»sze równanie, a na koniec wracamy do zmiennej y.

Przykªad 3. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:

xy ⁰ − 2x ² √

y = 4y. (14)

Rozwi¡zanie: Jest to równanie Bernulliego, gdy» przeksztaªcaj¡c mamy:

xy ⁰ − 4y = 2x ² √

y, (15)

nie ma konieczno±ci dzielenia przez x. W tym przykªadzie α = ¹ ₂ , zatem y ≡ 0 jest caªk¡ szczególn¡

równania (14). Dziel¡c (15) przez √

y, czyli y

, otrzymujemy:

xy ⁻

y ⁰ − 4y

= 2x ² . (16)

Zgodnie z podstawieniem (12) i po ró»niczkowaniu dostajemy:

y

= z =⇒ 1

2 y ⁻

y ⁰ = z ⁰ . (17)

Wobec tego z równania (16) wynika:

2xz ⁰ − 4z = 2x ² / : 2 =⇒ xz ⁰ − 2z = x ² . (18) Jest to równanie liniowe pierwszego rz¦du ze wzgl¦du na zmienn¡ z. Rozwi¡zujemy je metod¡

uzmienniania staªej. Na pocz¡tku rozwi¡zujemy równanie jednorodne:

xz ⁰ − 2z = 0 =⇒ x dz

dx = 2z =⇒ 1

z dz = 2

x dx, (z 6= 0, x 6= 0).

Caªkujemy

Z 1

z dz = 2 Z 1

x dx + ln |c|, ∀ _c6=0 =⇒ ln |z| = 2 ln |x| + ln |c|.

St¡d i poniewa» z = 0 jest caª¡ szczególn¡ równania jednorodnego (18), mamy (CORJ) dla (18):

z ₀ (x) = c · x ² , ∀ _c∈R . (19)

Na podstawie metody uzmienniania staªej (CSRN) poszukujemy w postaci:

e z(x) = c(x) · x ² =⇒ e z ⁰ (x) = c ⁰ (x)x ² + 2c(x)x.

Podstawiaj¡c z(x) e i e z ⁰ (x) do (18) dostajemy:

c ⁰ (x)x ³ + 2c(x)x ² − 2c(x)x ² = x ² =⇒ c ⁰ (x) = 1

x =⇒ c(x) = ln |x|.

Zatem

e z(x) = x ² ln |x|, wi¦c rozwi¡zanie ogólne równania (18) ma posta¢:

z(x) = z ₀ (x) + e z(x) = x ² (c + ln |x|).

Ostatecznie wracaj¡c do funkcji y(x) na mocy podstawienia (17) mamy:

y

(x) = x ² (c + ln |x|) =⇒ y(x) = x ⁴ (c + ln |x|) ² , ∀ _c∈R .