Elementy teorii rozproszeń

Elementy teorii rozproszeń

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 1/27

Dyskretne poziomy energii cząstki, które otrzymywaliśmy dla stanów związanych były konsekwencją warunków brzegowych.

W teorii rozproszeń energia cząstki jest na ogół z góry określona, a interesuje nas zachowanie asymptotyczne na dużych odległościach funkcji falowej cząstki rozproszonej na określonym potencjale.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 2/27

Ciągłe wartości własne

Dyskretne poziomy energii cząstki, które otrzymywaliśmy dla stanów związanych były konsekwencją warunków brzegowych.

W teorii rozproszeń energia cząstki jest na ogół z góry określona, a interesuje nas zachowanie asymptotyczne na dużych odległościach funkcji falowej cząstki rozproszonej na określonym potencjale.

Teoria rozproszeń odgrywa szczególnie ważną rolę wfizyce

jądroweji w fizyce cząstek elementarnych,gdzie jest podstawowym źródłem informacji na temat badanych obiektów fizycznych.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 2/27

Dyskretne poziomy energii cząstki, które otrzymywaliśmy dla stanów związanych były konsekwencją warunków brzegowych.

W teorii rozproszeń energia cząstki jest na ogół z góry określona, a interesuje nas zachowanie asymptotyczne na dużych odległościach funkcji falowej cząstki rozproszonej na określonym potencjale.

Teoria rozproszeń odgrywa szczególnie ważną rolę wfizyce

jądroweji w fizyce cząstek elementarnych,gdzie jest podstawowym źródłem informacji na temat badanych obiektów fizycznych.

Stosuje się ją również w fizyce atomowej, czy w fizyce ciała stałego.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 2/27

Ciągłe wartości własne

Dyskretne poziomy energii cząstki, które otrzymywaliśmy dla stanów związanych były konsekwencją warunków brzegowych.

W teorii rozproszeń energia cząstki jest na ogół z góry określona, a interesuje nas zachowanie asymptotyczne na dużych odległościach funkcji falowej cząstki rozproszonej na określonym potencjale.

Teoria rozproszeń odgrywa szczególnie ważną rolę wfizyce

jądroweji w fizyce cząstek elementarnych,gdzie jest podstawowym źródłem informacji na temat badanych obiektów fizycznych.

Stosuje się ją również w fizyce atomowej, czy w fizyce ciała stałego.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 2/27

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

V(x) =







0, dla x < 0, V0, dla 0 < x < a,

0, dla x > a.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

V(x) =







0, dla x < 0, V0, dla 0 < x < a,

0, dla x > a.

Nie ma potrzeby symetryzowania potencjału względem 0, gdyż rozpatrywane zagadnienie nie ma takiej symetrii.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

V(x) =







0, dla x < 0, V0, dla 0 < x < a,

0, dla x > a.

Nie ma potrzeby symetryzowania potencjału względem 0, gdyż rozpatrywane zagadnienie nie ma takiej symetrii.

Cząstka o energiiE nadbiega z lewej strony i

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

V(x) =







0, dla x < 0, V0, dla 0 < x < a,

0, dla x > a.

Nie ma potrzeby symetryzowania potencjału względem 0, gdyż rozpatrywane zagadnienie nie ma takiej symetrii.

Cząstka o energiiE nadbiega z lewej strony ialbo zawraca po odbiciu się od bariery,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

V(x) =







0, dla x < 0, V0, dla 0 < x < a,

0, dla x > a.

Nie ma potrzeby symetryzowania potencjału względem 0, gdyż rozpatrywane zagadnienie nie ma takiej symetrii.

Cząstka o energiiE nadbiega z lewej strony i albo zawraca po odbiciu się od bariery,albo przechodzi przez barierę.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozważmy jednowymiarowe rozpraszanie cząstki na prostokątnej barierze potencjału.

x V(x)

V0

0 a

V(x) =







0, dla x < 0, V0, dla 0 < x < a,

0, dla x > a.

Nie ma potrzeby symetryzowania potencjału względem 0, gdyż rozpatrywane zagadnienie nie ma takiej symetrii.

Cząstka o energiiE nadbiega z lewej strony i albo zawraca po odbiciu się od bariery, albo przechodzi przez barierę.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 3/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x)

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x),

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) = (

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0, Ce^ikx,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0,

Ce^ikx, dla

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0, Ce^ikx, dla x > a,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0,

Ce^ikx, dla x > a, gdzie k =

√2mE

~ = p

~.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0,

Ce^ikx, dla x > a, gdzie k =

√2mE

~ = p

~. Wyrazy∼ e^ikx odpowiadają cząstce biegnącej z lewa na prawo,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0,

Ce^ikx, dla x > a, gdzie k =

√2mE

~ = p

~. Wyrazy∼ e^ikx odpowiadają cząstce biegnącej z lewa na prawo,a wyraz∼ e^−ikx odpowiada cząstce biegnącej z prawa na lewo.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Zauważmy, żemamy tu do czynienia z problemem stacjonarnym, gdyż potencjał V (x) nie zależy od czasu.

W obszarze, gdzieV(x) = 0cząstka jest opisywana jednowymiarowym równaniem falowym

−~² 2m

d²u(x)

dx² = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2mE

~² u(x), którego rozwiązanie ma postać

u(x) =

( Ae^ikx + Be^−ikx, dla x < 0,

Ce^ikx, dla x > a, gdzie k =

√2mE

~ = p

~. Wyrazy∼ e^ikx odpowiadają cząstce biegnącej z lewa na prawo, a wyraz∼ e^−ikx odpowiada cząstce biegnącej z prawa na lewo.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 4/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 .

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 . Jeśli x < 0,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 . Jeśli x < 0,to u(x) = Ae^ikx+ Be^−ikx,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 .

Jeśli x < 0, to u(x) = Ae^ikx+ Be^−ikx,więc S(x) =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 .

Jeśli x < 0, to u(x) = Ae^ikx+ Be^−ikx, więc S(x) = − i ~

2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 .

Jeśli x < 0, to u(x) = Ae^ikx+ Be^−ikx, więc S(x) = − i ~

2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx+ ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx+ Be^−ikxi.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Aby zrozumieć sens fizyczny współczynników A, B i C przypomnijmy definicjęwektora prądu prawdopodobieństwa

S~(~r, t) = −i ~ 2m

hψ^∗∇ψ −~ ^∇ψ~ ^∗ψⁱ,

który w stacjonarnym przypadku jednowymiarowym ma postać S(x) = − i ~

2m



u^∗(x)du(x)

dx −du^∗(x) dx u(x)

 .

Jeśli x < 0, to u(x) = Ae^ikx+ Be^−ikx, więc S(x) = − i ~

2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx+ ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx+ Be^−ikxi.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 5/27

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

=

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

+A^∗Be^−2ikx(−1 + 1) + B^∗Ae^2ikx(1 − 1)ⁱ

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

+A^∗Be^−2ikx(−1 + 1) + B^∗Ae^2ikx(1 − 1)ⁱ

=

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

+A^∗Be^−2ikx(−1 + 1) + B^∗Ae^2ikx(1 − 1)ⁱ

= ~k m

|A|²− |B|^2

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

+A^∗Be^−2ikx(−1 + 1) + B^∗Ae^2ikx(1 − 1)ⁱ

= ~k m

|A|²− |B|^2 =v^|A|²− |B|^2,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

+A^∗Be^−2ikx(−1 + 1) + B^∗Ae^2ikx(1 − 1)ⁱ

= ~k m

|A|²− |B|^2 =v^|A|²− |B|^2, gdziev = ^~_m^k = _m^p jest prędkością cząstki o pędzie p.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

S(x) = −i ~ 2m

hA^∗e^−ikx+ B^∗e^{ikx }ikAe^ikx − ikBe^−ikx

−^−ikA^∗e^−ikx + ikB^∗e^{ikx }Ae^ikx + Be^−ikxi

= − i ~

2m(ik)^h2|A|²− 2|B|²

+A^∗Be^−2ikx(−1 + 1) + B^∗Ae^2ikx(1 − 1)ⁱ

= ~k m

|A|²− |B|^2 =v^|A|²− |B|^2, gdziev = ^~_m^k = _m^p jest prędkością cząstki o pędzie p.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 6/27

Podobnie, jeśli x > a,to u(x) = Ce^ikx

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) = − i ~

2m

hC^∗e^−ikxikCe^ikx−^−ikC^∗e^−ikxCe^ikxi

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) = − i ~

2m

hC^∗e^−ikxikCe^ikx−^−ikC^∗e^−ikxCe^ikxi

=

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) = − i ~

2m

hC^∗e^−ikxikCe^ikx−^−ikC^∗e^−ikxCe^ikxi

= − i ~

2m(ik)2|C |² =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) = − i ~

2m

hC^∗e^−ikxikCe^ikx−^−ikC^∗e^−ikxCe^ikxi

= − i ~

2m(ik)2|C |² = ~k m|C |²=

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) = − i ~

2m

hC^∗e^−ikxikCe^ikx−^−ikC^∗e^−ikxCe^ikxi

= − i ~

2m(ik)2|C |² = ~k

m|C |²=v|C |².

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Podobnie, jeśli x > a, to u(x) = Ce^ikx i S(x) = − i ~

2m

hC^∗e^−ikxikCe^ikx−^−ikC^∗e^−ikxCe^ikxi

= − i ~

2m(ik)2|C |² = ~k

m|C |²=v|C |².

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 7/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo,co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n jedn. obj. =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n (jedn. dł.)³

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n

(jedn. dł.)³ ⇒

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n

(jedn. dł.)³ ⇒ [S(x)] =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n

(jedn. dł.)³ ⇒ [S(x)] = jedn. dł.

jedn. czasu · n (jedn. dł.)³

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n

(jedn. dł.)³ ⇒ [S(x)] = jedn. dł.

jedn. czasu · n

(jedn. dł.)³ =

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n

(jedn. dł.)³ ⇒ [S(x)] = jedn. dł.

jedn. czasu · n

(jedn. dł.)³ = n

(jedn. dł.)²· jedn. czasu.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Widzimy, że prąd prawdopodobieństwa

S(x) =

( v |A|²− |B|²
, x < 0, v|C |², x > a

możemy interpretować jako wypadkowy strumień cząstek– dodatni w kierunku na prawo, co zgadza się z wcześniejszym stwierdzeniem, żeA, B i C są amplitudami fali padającej, odbitej i przechodzącej.

Sprawdźmy wymiar [S(x)].

h|A|²ⁱ=^h|B|²ⁱ=^h|C |²ⁱ = n

jedn. obj. = n

(jedn. dł.)³ ⇒ [S(x)] = jedn. dł.

jedn. czasu · n

(jedn. dł.)³ = n

(jedn. dł.)²· jedn. czasu.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 8/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Stosunek

|B|²

|A|²

nazywamywspółczynnikiem odbicia,a stosunek

|C |²

|A|²

nazywamywspółczynnikiem przejścia przez barierę.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 9/27

Stosunek

|B|²

|A|²

nazywamywspółczynnikiem odbicia,a stosunek

|C |²

|A|²

nazywamywspółczynnikiem przejścia przez barierę.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 9/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x)

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2m(E − V⁰)

~² u(x),

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2m(E − V⁰)

~² u(x), zależy od tego, czy jej energia E jest większa, czy mniejsza od V0.

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2m(E − V⁰)

~² u(x), zależy od tego, czy jej energia E jest większa, czy mniejsza od V0. DlaE > V0 ⇒ E − V⁰ > 0rozwiązanie ma postać

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2m(E − V⁰)

~² u(x), zależy od tego, czy jej energia E jest większa, czy mniejsza od V0. DlaE > V0 ⇒ E − V⁰ > 0rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^{i αx}+ Ge^{−i αx},

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2m(E − V⁰)

~² u(x), zależy od tego, czy jej energia E jest większa, czy mniejsza od V0. DlaE > V0 ⇒ E − V⁰ > 0rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^{i αx}+ Ge^{−i αx}, α=

p2m(E − V⁰)

~ .

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozwiązanie równania Schr¨odingera dla cząstki wewnątrz bariery, 0 < x < a,

−~² 2m

d²u(x)

dx² + V⁰u(x) = Eu(x) ⇒ d²u(x)

dx² = −2m(E − V⁰)

~² u(x), zależy od tego, czy jej energia E jest większa, czy mniejsza od V0. DlaE > V0 ⇒ E − V⁰ > 0rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^{i αx}+ Ge^{−i αx}, α=

p2m(E − V⁰)

~ .

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 10/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0)

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G ,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G , w(a) = u(a)

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G , w(a) = u(a) ⇒

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G ,

w(a) = u(a) ⇒ Fe^{i αa}+ Ge^{−i αa} = Ce^ika,

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G ,

w(a) = u(a) ⇒ Fe^{i αa}+ Ge^{−i αa} = Ce^ika, u^′(0) = w^′(0)

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Rozpraszanie na prostokątnej barierze potencjału

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G ,

w(a) = u(a) ⇒ Fe^{i αa}+ Ge^{−i αa} = Ce^ika, u^′(0) = w^′(0) ⇒

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27

Natomiast, dla0 < E < V0 ⇒ E − V⁰ < 0 rozwiązanie ma postać

w(x) = Fe^βx+ Ge^−βx, β=

p2m(V⁰− E )

~ .

Warunki ciągłości funkcji falowej u(x) i jej pochodnej u^′(x) w przypadku E > V0 przybierają postać

u(0) = w (0) ⇒ A+ B = F + G ,

w(a) = u(a) ⇒ Fe^{i αa}+ Ge^{−i αa} = Ce^ika, u^′(0) = w^′(0) ⇒ ik(A − B) = iα(F − G ),

Karol Kołodziej Elementy teorii rozproszeń 11/27