Zadanie 1. Znajdź i zapisz część wspólną oraz sumę zbiorów A i B w następujących przypadkach:

(1)

Wrocław, 28 kwietnia 2014 r.

Zadania z matematyki dla I roku bioinformatyki Lista 6

Definicje obiektów, do których odwołują się zadania, można znaleźć w elektronicznej wersji notatek z wykładu.

Zadania oznaczone znakiem * są przeznaczone dla zainteresowanych.

Zadanie 1. Znajdź i zapisz część wspólną oraz sumę zbiorów A i B w następujących przypadkach:

a) A : zbiór liczb naturalnych parzystych, B : zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3.

b) A : zbiór punktów wykresu funkcji y = x

²

, B : zbiór rozwiązań nierówności y < |x|.

c) A : zbiór liczb wymiernych W; B : zbiór ułamków postaci

^pq

, gdzie 0 < p ¬ q, zaś q ∈ { 1, 2, 3, 4, 5 }.

Zadanie 2. Z ilu elementów składają się następujące zbiory:

a) zbiór liczb pierwszych mniejszych od 20, b) zbiór dzielników liczby 48,

c) zbiór { n + m : n ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }

∧

m ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } }, d) P(∅),

e) P({ 0 }),

f ) P({ a, b, c, d }), gdzie a, b, c, d są parami różne,

g) zbiór słów (ciągów znaków) będących częścią słowa „akuku”,

h) zbiór palindromów (ciągów znaków jednakowo odczytywanych od początku i od końca) mających nie* więcej niż 10 znaków, składających się z liter „a”, „b”, „c”.

Zadanie 3.

a) Na ile sposobów da się ustawić ciąg złożony z n różnych elementów?

b) Ile jest różnych jedno-, dwu- i trójelementowych podzbiorów zbioru czteroelementowego?

c) Ile jest różnych m-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego (0 ¬ m ¬ n)?*

Wskazówki do punktu c): Sposób I. Rozpatrz początkowe m-elementowe ciągi powstałe przy możliwych usta- wieniach n elementów. Sposób II. Wyraź liczbę ciągów m-elementowych otrzymanych z n elementów za pomo- cą ciągów o długościach m i m−1 otrzymanych z n−1 elementów. Wykorzystaj związek pomiędzy symbolami Newtona

_m−1ⁿ⁻¹

+

ⁿ⁻¹_m

=

_mⁿ

lub konstrukcję trójkąta Pascala.

Zadanie 4. Ustal związek pomiędzy zbiorami P(A) i P(B) a zbiorem P(A ∪ B). Kiedy zachodzi równość P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)?

Zadanie 5. Wykaż, że jeżeli X ⊆ A × B, zbiór X

A

jest rzutem zbioru X na pierwszą oś, zaś X

B

jest rzutem zbioru X na drugą oś, to X ⊆ X

A

× X

B

.

Zadanie 6. Rozpatrzmy kwadrat K = [0, 1]

²

i relację porządku leksykograficznego na K. Wyznacz dla p =

= h0.1, 0.7i ∈ K i q = h0.2, 0.5i ∈ K:

a) zbiór elementów większych od p, b) zbiór elementów mniejszych od p,

c) zbiór elementów większych od p i mniejszych od q.

Wykonaj polecenia a), b) dla relacji porządku produktowego na kwadracie K. Ponadto wyznacz d) zbiór elementów porównywalnych z p,

e) zbiór elementów nieporównywalnych z p, f ) przykładowy element większy od p i od q.

Uwaga: Definicje porządków: leksykograficznego i produktowego można znaleźć w prezentacji przedstawia- nej na wykładach 6-tym i 7-mym (slajdy 35-ty i 36-ty).

Zadanie 1. Znajdź i zapisz część wspólną oraz sumę zbiorów A i B w następujących przypadkach:

Wrocław, 28 kwietnia 2014 r.

Zadania z matematyki dla I roku bioinformatyki Lista 6

Definicje obiektów, do których odwołują się zadania, można znaleźć w elektronicznej wersji notatek z wykładu.

Zadania oznaczone znakiem * są przeznaczone dla zainteresowanych.

Zadanie 1. Znajdź i zapisz część wspólną oraz sumę zbiorów A i B w następujących przypadkach:

a) A : zbiór liczb naturalnych parzystych, B : zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3.

b) A : zbiór punktów wykresu funkcji y = x

, B : zbiór rozwiązań nierówności y < |x|.

c) A : zbiór liczb wymiernych W; B : zbiór ułamków postaci

, gdzie 0 < p ¬ q, zaś q ∈ { 1, 2, 3, 4, 5 }.

Zadanie 2. Z ilu elementów składają się następujące zbiory:

a) zbiór liczb pierwszych mniejszych od 20, b) zbiór dzielników liczby 48,

c) zbiór { n + m : n ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }

m ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } }, d) P(∅),

e) P({ 0 }),

f ) P({ a, b, c, d }), gdzie a, b, c, d są parami różne,

g) zbiór słów (ciągów znaków) będących częścią słowa „akuku”,

h) * zbiór palindromów (ciągów znaków jednakowo odczytywanych od początku i od końca) mających nie więcej niż 10 znaków, składających się z liter „a”, „b”, „c”.

Zadanie 3.

a) Na ile sposobów da się ustawić ciąg złożony z n różnych elementów?

b) Ile jest różnych jedno-, dwu- i trójelementowych podzbiorów zbioru czteroelementowego?

c) * Ile jest różnych m-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego (0 ¬ m ¬ n)?

+

=

lub konstrukcję trójkąta Pascala.

Zadanie 4. Ustal związek pomiędzy zbiorami P(A) i P(B) a zbiorem P(A ∪ B). Kiedy zachodzi równość P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)?

Zadanie 5. Wykaż, że jeżeli X ⊆ A × B, zbiór X

jest rzutem zbioru X na pierwszą oś, zaś X

jest rzutem zbioru X na drugą oś, to X ⊆ X

× X

.

Zadanie 6. Rozpatrzmy kwadrat K = [0, 1]

i relację porządku leksykograficznego na K. Wyznacz dla p =

= h0.1, 0.7i ∈ K i q = h0.2, 0.5i ∈ K:

a) zbiór elementów większych od p, b) zbiór elementów mniejszych od p,

c) zbiór elementów większych od p i mniejszych od q.

Wykonaj polecenia a), b) dla relacji porządku produktowego na kwadracie K. Ponadto wyznacz d) zbiór elementów porównywalnych z p,

e) zbiór elementów nieporównywalnych z p, f ) przykładowy element większy od p i od q.

Uwaga: Definicje porządków: leksykograficznego i produktowego można znaleźć w prezentacji przedstawia- nej na wykładach 6-tym i 7-mym (slajdy 35-ty i 36-ty).

Wyboru zadań listy z roku 2012, opracowanej przez dr. Jana Jełowickiego, dokonał Mariusz Grządziel

1

h) zbiór palindromów (ciągów znaków jednakowo odczytywanych od początku i od końca) mających nie* więcej niż 10 znaków, składających się z liter „a”, „b”, „c”.

c) Ile jest różnych m-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego (0 ¬ m ¬ n)?*