CIĄGI LICZBOWE 

CIĄGI LICZBOWE



^1,2,3,...





N – zbiór liczb naturalnych.

R – zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Nieskończony ciąg liczbowy to przyporządkowanie liczbom naturalnym liczb rzeczywistych.

1

1 a



2

2 a



3

3 a

 ...

an

n

 ...

Liczby a , n = 1, 2, 3, ... nazywamy wyrazami ciągu. Stosujemy zapis _n



^a₁^,a₂^,a₃^,...



^{, lub}

oznaczenie

 

^{a .} _n

Rozpatrzmy trzy charakterystyczne przykłady ciągów. Pewne własności ciągów można odczytać z ich wykresów.

Przykład 1

  n

a_n n , zatem początkowe wyrazy wynoszą _



 



 ,...

6 ,5 5 ,4 4 ,3 3 ,2 2 1

Przykład

 

ⁿ

an  1 , zatem początkowe wyrazy wynoszą



^{1,1,1,1,1,1,...}



w y k r e s c ią g u n /( n + 1 )

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 1 , 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

n an

w y k r e s c i ą g u ( - 1 )ⁿ

- 1 , 5 - 1 , 0 - 0 , 5 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

n

an

Przykład n2

a_n  , zatem początkowe wyrazy wynoszą



^{1,4, 9, 16,25,36,...}



Oprócz podania analitycznego wzoru na n – ty wyraz ciągu można je też definiować rekurencyjnie.

Rekurencyjna definicja ciągu - przykłady 1) a₁ - dane,

an+1 = an + r ( r - stała), w ten sposób definiujemy ciąg arytmetyczny

2) a1 - dane,

a_n+1 = a_nq ( q - stała), w ten sposób definiujemy ciąg geometryczny

3) a₁ = 1 , a₂ = 1 , a_n+1 = a_n + a_n-1 , ciąg Fibonacciego Ciągi monotoniczne Ciąg (a_n) jest:

- rosnący gdy n n

N

n

 a

_

 a

 1

- malejący gdy n n

N

n

 a

_

 a

 1

- niemalejący gdy n n

N

n

 a

_

 a

 1

- nierosnący gdy n n

N

n

 a

_

 a

 1

Ciąg jest monotoniczny jeśli zachodzi dowolny z powyższych warunków.

W przypadku dwóch pierwszych warunków ciąg jest ściśle monotoniczny.

W przypadku dwóch ostatnich warunków ciąg jest słabo monotoniczny.

Przykład

Ciąg a_n n², jest monotoniczny.

Ciąg ^a_n ^

 

^1n nie jest monotoniczny.

w y k r e s c i ą g u n ²

- 1 0 , 0 1 0 , 0 3 0 , 0 5 0 , 0 7 0 , 0 9 0 , 0 1 1 0 , 0 1 3 0 , 0 1 5 0 , 0 1 7 0 , 0 1 9 0 , 0 2 1 0 , 0 2 3 0 , 0 2 5 0 , 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

n

a n

Ciągi ograniczone Ciąg (a_n) jest ograniczony gdy

a

_n

M

N n

M

  



0

Oznacza to, że dla pewnego M wszystkie wyrazy ciągu spełniają warunek M a_n M , tzn. wykres ciągu można zawrzeć w ograniczonym pasku wyznaczonym przez dwie proste poziome.

Przykład

Ciąg a_n n², nie jest ograniczony.

Ciąg a_n 

 

1ⁿ jest ograniczony.

Granica ciągu.

g - liczba rzeczywista

g a

_n

n





lim

 oznacza, że









    





a

_n

g

n 0

tzn. dla dowolnego  > 0 wszystkie wyrazy ciągu o wyrazach większych niż ustalone  spełniają warunek



   

 a g

g

_n

stosujemy też zapis uproszczony:

g a

_n



lim

_lub

a

_n

 g

Przykład Ciąg

1

  n

a_n n , jest zbieżny, ma granicę 1, 1 lim 1

 n

n . Ciąg ^a_n ^

 

^1n nie ma granicy.

Przykład

Na podstawie definicji sprawdź, że 1 lim 1

 n

n .

Niech  > 0 to dowolna liczba dodatnia. Wyznaczymy  aby dla n >  spełniona była nierówność

a

_n

 g  

_czyli

  

 1

1

n

n .

Jest to równoważne nierówności



 

 

 

  1

1 1

1 1

1 n n

n n

czyli

1 1



 

n

_.

Więc wystarczy przyjąć 1 1



 

 (lub większą liczbę) aby definicja tej granicy była spełniona.

Granica niewłaściwa ciągu.







 n

n

a

lim

oznacza, że

A a

_n

n

A

  





 zapis uproszczony:



n

 a

lim

_lub

a

_n

 

Przykład

Ciąg a_n n², ma granicę niewłaściwą lim n² .







 n

n

a

lim

oznacza, że

a

_n

A

n

A

  



  zapis uproszczony:



n

 a

lim

_lub

a

_n

 

Własność.

       







 n

n n

n

a lim a

lim

Klasyfikacja ciągów:

Własności 1) jeśli ciąg jest zbieżny to ma dokładnie jedną granicę,

2) ciąg zbieżny jest ograniczony (odwrotna własność nie zachodzi np. a_n = (-1)ⁿ ), 3) ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny,

Ciągi liczbowe

Rozbieżne do nieskończoności (granica niewłaściwa) Nie mające granicy

ani właściwej ani niewłaściwej

rozbieżne

zbieżne

Rachunek granic skończonych.

Jeśli ciągi (a_n), (b_n) są zbieżne to:

a) _n

ca

ⁿ

c

_n

a

ⁿ









 lim

lim

b)

 

_n

n n n n

n

a

n

b a b













  lim  lim

lim

c)

 

_n

n n n n

n

a

n

b a b













  lim  lim

lim

d)

n n n n

n n

n

b

a b

a















lim lim

lim

_{( b}

n  0,

lim  0



 n

n

b

₎

Symbole nieoznaczone.

0 0

,

0 , 1 , ,

0 0 ,

, 0      





_

Przykłady



⁰



^{lim1 0}

lim 1

2   







 n n

n ⁿ

n



^



^{ }

 



 n n

n ⁿ

n 1 0 lim

lim ²



⁰



^{lim1 1}

lim 1 ²

2   







 n

n n

n

Widzimy zatem, że ten sam symbol nieoznaczony może oznaczać różne granice, co uzasadnia jego nazwę.

Podstawowe wzory

c

n

c 



lim









 k

n

n

lim

k - liczba dodatnia,

0 lim 



 k

n

n

c

k - liczba dodatnia,

1 lim 



 n

n

c

1 lim 



 n

n

n

Własności

0 lim

lim    







 n n n

n

a

a c

0 lim

) (

; 0

lim    







 n n

n n

n

a

n

b ograniczon y a b

















 n n

n n

n

a

n

; ( b ) lim a b

lim ograniczon y

 













 











0

1 0 lim 0

lim

n n n n

n n

a

a a a

gdy gdy

 

 









































lim 0

0 lim

lim lim

n n n n n

n n

n n

b

b b

a

a gdy

gdy

Liczba e (liczba Eulera)

72 , 2 718281

, 1 2

1

lim    



 



 





e

n

n

n

(jest to ciąg rosnący i ograniczony).

Uwaga:

e e n

n

n

1 1 1

lim  

¹





 



 

^





a e

an

n n

 





 

 





1 1

lim

` gdzie

 



 n

n

a

lim

Przykład

Rozpatrzmy ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:

 

 













1

1 1

1 1

n dla a

a a

n n

zatem

...

4142 , 1 1

2

 1  

a

...

5538 , 1 1 1

3

 1   

a

...

5931 , 1 1 1 1

4

 1    

a

...

6119 , 1 1 1 1 1

5

 1     

a

...

6161 , 1 1 1 1 1 1

6

 1      

a

itd.

Jeśli

1 , 618033989

2 5 1  

 

to tzw. "złota liczba" to

...

1 1 1 1 1 1

lim       



 n

n

a



Uzasadnienie.

Zakładamy, że ciąg

a

_n jest zbieżny i ma granicę g. Pokażemy, że g = φ.

...

1 1 1 1 1 1

lim       



 n

n

a

g

g g

²

 1 

zatem mamy równość

0

2

1





 g

g

z której wynika, że g = φ.

Przykład

Obliczymy 











 

 

 

  ( 1)

... 1 4 3

1 3 2

1 2 1 lim 1

n n Ponieważ

1 1 1

1 1 ... 1

4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ) 1 ( ... 1 4 3

1 3 2

1 2 1

1

 







 





 







 



 





 



 





 



 

 

 

 

 

 

n

n n n

n

Zatem

1 1 1 1 ) lim 1 ( ... 1 4 3

1 3 2

1 2 1

lim 1 



 





 













 

 

 

  n n n

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeśli n n n

N

n

 a  b  c



oraz

a c

_n

g

n n

n

 









lim

lim

_to

b

_n

g

n





lim



n n

n

b c

a  

Przykłady

a) 3

2 6 2 1

6 2 1 lim

2 2 6 1 lim

2 2 lim6

5 4

5 5 5

5 5 5

5 5













































n n

n n n

n n n n

n n n

n n

n

(licznik i mianownik podzieliliśmy przez najwyższą potęgę mianownika tzn. przez n⁵)

b)  









































 1 2

2 6 2 1 lim

2 2 6 1 lim

2 2 lim6

5 4

5 5 5

5 5 6

5 6

n n n

n n n

n n n

n

n n n

n n

n

g

c) 0 2 0 2 1

2 6 1 lim

2 2 6 1 lim

2 2 lim6

5 4

5 5 5

5 5 4

5 4













































n n n

n n n

n n n n

n n n

n n

n

d)

 

4 0

4 lim 4

4 lim 4

) 4 (

lim 









 







 









  



 n n n n

n n n

n n n

n

Skorzystaliśmy z przekształcenia

b a

b b a

a 

 



2 2

wynikającego z wzoru skróconego mnożenia ^{a2b2 }



^ab



^ab



^.

e)

 



 

 







 

























 







 































1 1 1 4

1 4 4 lim

4 lim

4 lim 4

4 2

4 lim 2

) 4 2

( lim

n n n

n n n n

n n n

n n

n n

n n n n

n

n n

n n

n

(w drugim wierszu licznik i mianownik podzieliliśmy przez najwyższą potęgę mianownika tzn. przez n )

f) ²

1 1 2

2 1

1 1 lim

1

lim e

n n

n n n

n n

n  



 



 

 



 



 











 , bo 2 1 2

lim  



 n

n n

g) 3

3 3 1 3 2

2 1

3 1 1 3 lim

1 1

lim e e

n n

n n n

n n

n   



 



 

 



 



  ^











 , bo

3 1

3 lim 2





 n n

n

h) ²

1

1 1 1 1 1 lim

1 1 1 1 lim

lim 1 ^













  



 



 



 



 



























 



 







 e

e e

n n n

n n

n

n n

n n

n n

n

i) ^{n n n}

n 2 3

lim 





Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach

3 2 3 3 2 3

3 3

2 3

3 

^{n n}



^{n n}



ⁿ



^{n n}



ⁿ



ⁿ



ⁿ

 

ⁿ



Zatem lim 2 3 3





n n n

n

(*) Stopa wzrostu ciągu.

(an) - ciąg o wyrazach dodatnich.

Stopa wzrostu wyrazu a_n (n > 1) to

1 1









n n n

n

a

a

k a

dla n = 1 przyjmujemy k1 = 0

Powyższy wzór można stosować np. do obliczania stóp zwrotu akcji, wtedy ciąg (an) to ciąg notowań rozpatrywanych akcji. Stopy zwrotu wyrażamy często w procentach.

Ciąg stały ma zerowe stopy wzrostu.

Ciąg arytmetyczny ma stopy wzrostu dążące do zera.

Ciąg geometryczny ma stałe stopy wzrostu.

Procent prosty.

K₀ - kapitał początkowy, p - roczna stopa procentowa, K_n - wartość kapitału po n latach,

Odsetki po każdym roku są stałe i wynoszą

0 100

K p zatem

 

 



 



₀

1 100

np K

K _n

Ciąg kapitałów K₀, K₁, K₂, ..., K_n, .... jest ciągiem arytmetycznym.

Procent składany.

Odsetki po kolejnych latach wynoszą

,...

, 100 , 100

100

^{1 2}

0

K p K p

K p _itd.

Zatem

 

 



 





 1 100

100

⁰

0 0

1

K p K p

K

K _,

2 0

1 1

1

2

1 100

1 100

100 



 



 

 



 



 







p

p K p K

K K

K _,

itd.

Ogólnie

n n

K p

K 



 



 



₀

1 100

Ciąg kapitałów K0, K1, K2, ..., Kn, .... jest ciągiem geometrycznym.

Jeśli

k = liczba kapitalizacji odsetek w ciągu roku to po n latach wartość kapitału wynosi

nk

n k

K p

K





 



 



₀

1 100

Oprocentowanie ciągłe: (k  )

100 0

0

1 100

lim lim

kn np

n k

k

K e

k K p

K  



 



 









Sumy częściowe ciągu (a_n):

S1 = a1, S2 = a1 + a2, ...

Sn = a1 + a2 + ... + an,

Stosujemy zapis:







n

i i

n

a

S

1

Ciąg (Sn) nazywamy ciągiem sum częściowych.

Suma ciągu arytmetycznego:

a n S

_n

a

ⁿ

2

1





Przykład

1 + 2 + 3 + ....+ 100 = 100 5050 2

100

1 

Przykład

2 + 4 + 6 + ....+ 100 = 50 2550 2

100

2 

Suma ciągu geometrycznego:

q a q

S

n

n



 

1 1

1 gdy q  1

n a

S _n  ₁

gdy q = 1

Przykład

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 2 1

2

1 ⁶

 



Przykład

1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 = 11111 10

1 10

1 ⁵

 



CIĄGI - zadania

1. Oblicz:

a) n

n

n 5 3

1 lim6







 [-2] b)

 

1 2 lim ₂2

2









 n

n

n [-0,5]

c)

   

1 1 lim 1 ₃

3 3











 n

n n

n [0] d) ₂

2

4 2

1 lim 16

n n

n

n 





 [2]

e)

 

⁶

6

3 lim 2





 n

n

n [1/64] f)

! 3 )!

1 (

! 2 )!

1 lim(

n n

n n

n  







 [1]

g) n n

n n

n 3 5

5 lim3







 [-1] h)

9 2

999 lim2

2 1











 n

n

n [1/2]

i)

 

n n n

n 10

5 lim5  



 [0] j)

2 1

3 4 1 lim 4















 n n

n n

n [2]

2. Oblicz:

a) lim( n 8 n)

n  



 [0] b) lim( n² n n)

n  



 [0,5]

c) lim(n n² 2n)

n  



 [-1] d) lim(³ n³ 4n n)

n  



 [0]

3. Oblicz:

a)

n

n n



 



 



 2

1 1

lim [ e ] b)

n

n n

6

3 2 1 1

lim 



 





 



 [e³]

c)

n

n n

8

1 2 1 1

lim 



 





 



 [e^4] d) ²

3

2

2

1 1 1

lim





 



 





 

n

n n [ e ]

e) ²

1

3 2 1 3 lim





 



 





 

n

n n [e^0,75] f)

n

n n 



 



 



 3

1 1

lim [1]

g)

n

n n

8

3 2 1 3

lim 



 





 



 [e⁴] h)

5 2

2

2

1 1 lim





 



 



 

n

n n [e^2]

i)

n

n n

n ⁴

1 lim 1



 











 [e^8] j)

2

3 lim ₂ 2

2 n

n n

n















 [e⁵]

k)

n

n n

n ⁴ 1 4 lim 4 



 









 [e^1] l)

2 2

2 2

lim 1

n

n n

n













 [e^2]

4. Oblicz: a)

2 ....

2 lim1











 n

n

n [] b)



²



⁴

....

2 lim1











 n

n

n [0]

c)

 

n n

n 2 4 6 .... 2

1 2 ....

5 3 lim1





















 [1] d)

 

n n

n    













 1 2 3 ....

3 4 ....

9 5

lim1 [4]

5. Oblicz:

a) ^{n n n}

n 1 9 7

lim  



 [9] b) ⁿ

n 3 5n⁶

lim 



 [1]

a) limⁿ²1

n n



 [1] b) ⁿ

n n



 3

lim [1]

a) ^{n n n n}

n 11 12 10

lim  



 [12] b)

1 10

5 limsin

2







 n

n n

n [0,5]

(*) SZEREGI LICZBOWE.

Szereg liczbowy to nieskończony ciąg sum częściowych:

















1 2

1

... ...

n n

n

a

a a

a

Przykład.

16 ...

1 8 1 4 1 2

1    

Przykład.

...

1 1 1

1    

Przykład.

...

1 1 1

1    

Szereg





1 n

a

n jest zbieżny jeśli ciąg sum częściowych (Sn) jest zbieżny. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Wtedy

S

_n

S

ⁿ



 lim

 nazywamy sumą szeregu.

Przykład.

Szereg

...

16 1 8 1 4 1 2

1    

jest zbieżny ma sumę równą 1.

Przykład.

Szereg

1  1  1  1  ...

jest rozbieżny.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

 





1 1 1

n nn

Wyraz n-ty ciągu sum częściowych tego szeregu można przekształcić następująco:





 

 n k

n k k

S

1 ( 1)

1 



 

 n

k ₁ k k ) 1 1

(1 _

 n k 1k

1

1 1 1 1 1

1   

  

 k n

n k

Stąd

1 limS_n 

a więc rozpatrywany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi 1

Warunek konieczny zbieżności szeregu:

Twierdzenie.

Jeśli szereg





1 n

a jest zbieżny to n

0 lim 



 n

n

a

Dowód

Zauważmy, że

a

_n

 S

_n1

 S

_n

gdzie

S

n1 _i

S

_n oznaczają odpowiednio (n-1)-szą i n-tą resztę szeregu





1 n a n

_.

Szereg





1

n

a

n jest zbieżny, więc:

0 lim _1

 n

n S i _{lim 0}

 n

n S ,

a zatem:

0 ) (

lim

lim 

_1

 







 n n

n n

n a S S

Uwaga.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Szereg





1

1

n

n

spełnia warunek konieczny lecz nie jest zbieżny.

Szereg geometryczny.

a + aq +aq² + aq³ + ....=







 1

1 n

aq

n q = const

Suma szeregu geometrycznego.

Gdy

q  1

_to

q S a

 

1

Przykład.

8 1 9 1 1

9 1 9

1 9

1 3

1

1 1

1

2 



 



 



 



 













 n

n

n n n

n

Przykład

(a) ₂

2 1 1 ... 1 2 ... 1 4 1 2 1 1 2

1

1 1

1 















 _







 n

n n

szereg zbieżny

(b)

3 2 2 1 1 ... 1 2 ) 1 1 ( 4 ...

1 2 1 1 2 ) 1 1

( ¹ ₁

1

1

1 



















 ^ _









 ^{n n}

n

n

n szereg zbieżny

Przykład.

Stosując wzór na sumę ciągu geometrycznego można zamieniać ułamki okresowe na zwykłe.

11 3 99 27 01 , 0 1

27 , .... 0 000027 ,

0 0027 , 0 27 , 0 ) 27 ( 0 ....

27272727 ,

0  

 











Szereg harmoniczny rzędu r.

















1

.... 1 4

1 3

1 2

1 1

n r r

r

r

n

Twierdzenie.

Szereg harmoniczny rzędu r > 1 jest zbieżny.

Szereg harmoniczny rzędu r  1 jest rozbieżny.

Przykład.





1 2

1

n n jest zbieżny ( r = 2 > 1) Przykład.





1

1

n n jest rozbieżny ( r = 0,5 < 1) Definicja





1 n

an - dany szereg.

Jeśli n n

N

n

 a  b

 to szereg





1 n

b

n nazywamy majorantą szeregu





1 n

a

n

Jeśli n n N

n

 c  a

 to szereg





1 n

c

n nazywamy minorantą szeregu





1 n

a

n

Kryteria zbieżności szeregów = warunki dostateczne zbieżności szeregu.

Zakładamy, że a

n

 0.

Kryterium porównawcze.

Majoranta danego szeregu zbieżna  dany szereg zbieżny.

Minoranta danego szeregu rozbieżna  dany szereg rozbieżny.

Przykład.





₁ ² 4 1

n n jest zbieżny, bo ma majorantę zbieżną













 

1 2 1

2

1 4

1

n

n

n n

( r = 2 > 1)

Kryterium ilorazowe (d'Alemberta).

Niech

g

a a

n n

n ^







lim

1

Jeśli g > 1 to





1 n

a

n jest rozbieżny,

Jeśli g < 1 to





1 n

a

n jest zbieżny,

Jeśli g = 1 to kryterium ilorazowe nie rozstrzyga o zbieżności szeregu





1 n

a

n _.

Przykład.

Zbadamy zbieżność szeregu





1 !

n n

n n

 

 1  ! 1

¹

1



 





n

a n

n

n ,

n ! a n

n n



_,

 

   

 

1 1 1 1 lim

lim

!

! 1 lim 1

!

! 1 1 lim

lim

1 1

1



 



 



 

 



 



 



 

 

































n e n

n

n n n

n n

n n n a

a

n

n n

n

n n

n n n

n n n n

Szereg





1 !

n n

n

n jest zatem rozbieżny na mocy kryterium ilorazowego.

Kryterium pierwiastkowe (Cauchy'ego).

Niech ⁿ

a

_n

g

n





lim



Jeśli g > 1 to





1 n

a

n jest rozbieżny,

Jeśli g < 1 to





1 n

a

n jest zbieżny,

Jeśli g = 1 to kryterium pierwiastkowe nie rozstrzyga o zbieżności szeregu





1 n

a

n _.

Przykład.

Zbadamy zbieżność szeregu









1 2 5

n n

n

n

n , _n

n

n n

a n²5

 ,

  _{0 1}

lim 5 lim 5

lim

2 2





 



 



 n

n n

a n

n n

n

n n n

n n

n

Szereg









1 2 5

n n

n

n

n jest zatem zbieżny na mocy kryterium pierwiastkowego.

Szeregi o wyrazach dowolnych Definicja

Szereg

 

 





 1

1 1

n n n

a a_n 0 nazywamy szeregiem naprzemiennym.

Wyrazy tego szeregu są na przemian dodatnie i ujemne.

Kryterium Leibniza.

Jeżeli

 ciąg

 

^a_n jest nierosnący, tzn.



  







a a a_n

a_{1 2 3}

 oraz lima_n 0 to szereg naprzemienny  

 





 1

1 1

n n an jest zbieżny.

Przykład Szereg

 

^

^      



 1

1

4 1 3 1 2 1 1 1 1

n

n

n

jest zbieżny, ponieważ spełnia założenia kryterium Leibniza:

 jest to szereg naprzemienny, 1 0



 n

a_n

 dla każdego n mamy a_n1



a_n^{, gdyż}

n n

1 1 1 



.

Można udowodnić, że suma S szeregu

 



      





 1

1

4 1 3 1 2 1 1 1 1

n n

n

równa jest ln2.

Przykład Szereg

 



^      





1 3 3 3 3

1

4 1 3

1 2 1 1 1 1

n n

n

jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza.

Definicja Szereg zbieżny





1 n

an nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg





1 n an ^. Przykład

Szereg

^   





1 2

1 1

1

n n

n

jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Ponieważ szereg

 

^   





1 2

1 1 1

n

n

n 



1 2

1

n n , także jest zbieżny, więc szereg

 

^  





1 2

1 1 1

n n

n

jest zbieżny bezwzględnie.

Twierdzenie

Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe:

Szereg

 

^  



 1

1 1 1

n

n

n

jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Natomiast szereg

 

   





 1

1 1 1

n

n

n ^



1

1

n n

, jest rozbieżny.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu





1 3

sin

n n

n

n .

Rozważmy szereg utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów szeregu





1 3

sin

n n

n

n _:





1 3

sin

n n

n n

do którego możemy zastosować kryterium porównawcze.

Ponieważ dla każdego naturalnego n

2 / 5 3

sin 1

n n

n

n  ^,

więc szereg

^

1 3

sin

n n

n

n jest zbieżny.

Na podstawie twierdzenia wynika stąd, że szereg





1 3

sin

n n

n n

jest zbieżny i to bezwzględnie.

Definicja szeregu zbieżnego warunkowo

Szereg zbieżny lecz nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.