• Nie Znaleziono Wyników

Wykład 2. Poj˛ecie całki niewła´sciwej — do rachunku prawdopodobie´nstwa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykład 2. Poj˛ecie całki niewła´sciwej — do rachunku prawdopodobie´nstwa"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykład 2. Poj˛ecie całki niewła´sciwej — do rachunku prawdopodobie´nstwa

dr Mariusz Grz ˛ adziel 4 marca 2014

Pole trapezu krzywoliniowego

Przypomnienie: figur˛e ograniczon ˛a przez:

• wykres funkcji y = f (x), gdzie f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a;

• proste x = a, x = b, a < b,

• o´s OX (tj. prost ˛a y = 0)

b˛edziemy nazywa´c trapezem krzywoliniowym (odpowiadaj ˛acym funkcji f oraz odcinkowi [a, b]).

Pole tej figury mo˙zna przedstawi´c w postaci całki:

Z b a

f (x)dx.

Pole „nieograniczonego” trapezu krzywoliniowego-całka niewła´sciwa

Problem: jeste´smy zainteresowani polem figury ograniczonej: wykresem funkcji f (x) = e−x oraz prostymi y = 0, x = 0.

Pole tego obszaru mo˙zna okre´sli´c jako całk˛e:

T →∞lim

Z T 0

f (x)dx.

Korzystaj ˛ac z faktu:

Z T 0

e−xdx = −e−T + e0 = 1 − e−T znajdujemy, ˙ze granica ta jest równa 1.

Całka niewła´sciwa I rodzaju

Je˙zeli funkcja f jest okre´slona na przedziale [a, ∞) , dla ka˙zdego T > a istnieje całka RaT f (t)dt i istnieje granica sko´nczona

T →∞lim

Z T a

f (t)dt,

to granic˛e t˛e nazywamy całk ˛a niewła´sciw ˛a I rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞) i oznaczamy

Z a

f (t)dt.

Analogicznie mo˙zna zdefiniowa´c całk˛e niewła´sciw ˛a z funkcji f na półprostej (−∞, b]:

Z b Z b

(2)

Całka niewła´sciwa I rodzaju — c.d.

Okre´slamy

Z

−∞f (t)dt =

Z a

−∞f (t)dt +

Z a

f (t)dt, gdzie a jest dowolnie wybranym punktem (liczb ˛a rzeczywist ˛a).

Je˙zeli granica (w przypadku całki niewła´sciwej na półprostej) lub przynajmniej jedna z granic (w przypadku całki niewła´sciwej na prostej) nie istnieje, to powiemy, ˙ze dana całka jest rozbie˙zna.

Je˙zeli granica wyst˛epuj ˛aca w definicji całki niewła´sciwej na półprostej jest równa ∞, to powiemy, ˙ze całka ta jest rozbie˙zna do ∞.

Całka niewła´sciwa I rodzaju — przykłady Nast˛epuj ˛ace całki niewła´sciwe I rodzaju s ˛a zbie˙zne:

Z

0

e−xdx = 1;

Z

−∞e−|x|dx = 2;

Przykład rozbie˙znej całki niewła´sciwej I rodzaju:

Z 0

sin xdx.

Przykład całki całki niewła´sciwej I rodzaju rozbie˙znej do niesko´nczono´sci:

Z 1

1

xdx = ∞.

Zmienne losowe typu ci ˛agłego

Definicja 1. Mówimy, ˙ze zmienna losowa X jest typu ci ˛agłego, je´sli istnieje nieujemna funkcjag taka,

˙ze dla ka˙zdych liczb a i b spełniaj ˛acych warunek−∞ ¬ a < b ¬ ∞ zachodzi równo´s´c P (a < X < b) =

Z b a

g(x)dx.

Rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]

Przykładem zmiennej losowej typu ci ˛agłego jest rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] (oznaczenie:

U (0, 1)). Jego funkcja g˛esto´sci u dana jest wzorem

u(x) =

1, je´sli 0 ¬ x ¬ 1, 0 je´sli x < 0 lub x > 1.

Rozkład ten mo˙ze opisywa´c np. czas oczekiwania na autobus A, odje˙zd˙zaj ˛acy do miejscowo´sci B co godzin˛e, przez pasa˙zera C; zakładamy, ˙ze C nie zna rozkładu jazdy dla tej linii i ˙ze przychodzi na przystanek w losowym momencie.

(3)

Rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] — przykład oblicze ´n

Czas oczekiwania na autobus — zmienna losowa Y ∼ U (0, 1). Prawdopodobie´nstwo P13 < Y < 12 jest równe:

P

1

3 < Y < 1 2



=

Z 1/2 1/3

1dx =



x

1/2 1/3

= 1 2 1

3 = 1 6.

Całka niewła´sciwa II rodzaju

Problem: chcemy obliczy´c pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji g(x) = 1

√x

i odcinkiem (0, 1] nale˙z ˛acym do osi OX. Odpowiednim narz˛edziem b˛edzie całka niewła´sciwa II ro- dzaju (czyli całka niewła´sciwa po przedziale ograniczonym).

G˛esto´s´c zmiennej losowej o rozkładzie typu ci ˛agłego Stwierdzenie 1. Dowolna funkcja g spełniaj ˛aca warunki:

• dziedzin ˛a funkcjig jest zbiór liczb rzeczywistych R;

• g(x) ­ 0 dla x ∈ R;

R−∞ g(x) = 1.

jest funkcj ˛a g˛esto´sci pewnej zmiennej losowej typu ci ˛agłego.

Zmiennej losowej typu ci ˛agłego — przykłady

1. Zmienna o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]

g(x) =

1

b−a je˙zeli x ∈ [a, b], 0 je˙zeli x /∈ [a, b].

2. Zmienna o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0 g(x) =

λe−λx je˙zeli x ­ 0, 0 je˙zeli x < 0.

3. Zmienna o rozkładzie normalnym z parametrami µ ∈ (−∞, ∞) i σ > 0 (czyli N (µ, σ).

g(x) = φµ,σ(x) = 1

√2πσe(x−µ)22σ2 .

4. Zmienna o rozkładzie Laplace’a z parametrami µ ∈ (−∞, ∞) i b > 0.

g(x) = 1 2bexp

|x − µ|

b



5. Funkcja histogramowa (g˛esto´s´c empiryczna): histogram „probabilistyczny” rozumiany jako funkcja.

(4)

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

Rysunek 1: Wykresy g˛esto´sci rozkładów normalnych: N (0, 1) (linia ci ˛agła), N (0, 2) (linia „kropko- wana”), N (2, 1) (linia „kreskowana”).

Dystrybuanta zmiennej losowej typu ci ˛agłego

Dla dowolnej zmiennej losowej X jej dystrybuant˛e FX definiujemy jako funkcj˛e spełniaj ˛ac ˛a warunek FX(t) = P (X ¬ t), t ∈ R.

Je˙zeli X jest zmienn ˛a losow ˛a typu ci ˛agłego z g˛esto´sci ˛a g, to dystrybuanta X spełnia równo´s´c FX(t) =

Z t

−∞g(x)dx.

Obliczanie prawdopodobie ´nstw zdarze ´n odpowiadaj ˛acych zmiennym losowym typu ci ˛agłego Niech X b˛edzie zmienn ˛a losow ˛a typu ci ˛agłego. Niech FX b˛edzie jej dystrybuant ˛a. Dla dowolnych a i b takich, ˙ze a < b prawdziwe s ˛a równo´sci:

P (a < X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a ¬ X < b) =

= P (a ¬ X ¬ b) = FX(b) − FX(a).

Dystrybuanta rozkładu jednostajnego

G˛esto´s´c zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]

g(x) =

1

b−a je˙zeli x ∈ [a, b], 0 je˙zeli x /∈ [a, b].

Dla t < a mamy FX(t) = 0.

Dla t ∈ [a, b] mamy:

FX(t) =

Z t a

g(x)dx =

Z t a

1

b − adx =

 x b − a

t a

= t − a b − a. Dla t > b mamy FX(t) = 1.

(5)

Dystrybuanta rozkładu normalnego

Nie da si˛e wyrazi´c za pomoc ˛a operacji algebraicznych.

Rozwi ˛azanie problemu:

1. stablicowanie warto´sci dystrybuanty rozkładu N (0, 1);

2. dla rozkładu N (µ, σ) wykorzystujemy fakt:

Φµ,σ(t) = Φ

t − µ σ



, (1)

gdzie Φ oznacza dystrybuant˛e rozkładu N (0, 1), a Φµ,σ oznacza dystrybuant˛e rozkładu normalnego z parametrami µ i σ.

Równo´s´c (1) wynika z równo´sci pochodnych funkcji po jej lewej i prawej stronie oraz z równo´sci Φµ,σ(µ) = Φ

µ − µ σ



= Φ(0) = 1 2. Własno´sci funkcji Φ

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.20.40.60.81.0

Rysunek 2: Wykresy g˛esto´sci φ rozkładu normalnego (z lewej strony) N (0, 1) i dystrybuanty rozkładu normalnego Φ (z prawej strony)

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze Φ(0) = 0,5 oraz Φ(t) = 1 − Φ(−t) dla dowolnego t; st ˛ad mo˙zna si˛e ograniczy´c do tablicowania funkcji Φ dla t ­ 0.

Obliczanie prawdopodobie ´nstw w przypadku rozkładu normalnego — przykład

Niech X oznacza wzrost dorosłych m˛e˙zczyzn w pa´nstwie A; zakładamy, ˙ze X ∼ N (177, 10). Chce- my obliczy´c: (a) P (174 < X < 182) , (b) P (X > 182). Obliczenia dla (a):

P (174 < X < 182) = Φ

182 − 177 10



− Φ

174 − 177 10



=

= Φ(0,5) − Φ(−0,3) = Φ(0,5) − (1 − Φ(0,3)) =

= Φ(0,5) + Φ(0,3) − 1 ≈ 0,6915 + 0,6179 − 1 = 0,3094.

Obliczenia dla (b) mo˙zna przeprowadzi´c w analogiczny sposób korzystaj ˛ac z równo´sci:

P (X > 182) = 1 − P (X < 182) = 1 − Φ

182 − 175 10



= 1 − Φ(0,5).

Lektura uzupełniaj ˛aca

T. Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004, str. 234–244.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wykonawca powinien umieścić ofertę w zamkniętej, nieprzeźroczystej kopercie, opatrzonej pieczęcią firmową wykonawcy oraz dopiskiem: Oferta przetargowa: „Prawo jazdy kat.

9 Ulica Osiedle Robotnicze, Rogoźnik Dobieszowice Skrzyżowanie 2 Ulica Mickiewicza, Poland Dobieszowice Kościuszki. 47 Tadeusza Kościuszki, Dobieszowice Dobieszowice

07:14 - 16:05 (3) Tychy Sikorskiego Wiadukt →Wilkowyje Obywatelska: 08:32 - 21:04 (4) Tychy Towarowa →Tychy Dworzec PKP: 05:55 (5) Tychy Towarowa →Wilkowyje Obywatelska: 03:52 -

(1) Plac Grunwaldzki: 04:00 (2) Police Jasienica Pętla: 01:45 (3) Police Zajezdnia: 00:45 - 23:45 (4) Pomorzany Dobrzyńska: 00:45 - 23:50.. Skorzystaj z aplikacji Moovit, aby

Stare Obłuże, Poland Kwiatkowskiego 01 Kwiatkowskiego, Poland Obłuże Centrum 05 Obłuże Centrum, Poland Hutnicza - Estakada 01 Hutnicza - Estakada, Poland Węzeł Żołnierzy

Chorzów Batory Osiedle 9 Elizy Orzeszkowej, Chorzów Chorzów Batory Klonowa 66 Ulica Stefana Batorego, Chorzów Kochłowice Rondo Gębały 4 Ulica Radoszowska, Poland Kochłowice

Osiedle Wieczorka Szkoła 33 Jana Pawła II, Piekary Śląskie Osiedle Wieczorka Dworzec 1 Ulica Diamentowa, Piekary Śląskie Kolonia Józefka.. 108 Jana Pawła II, Piekary Śląskie

152a Ulica Wolności, Poland Mierzęcice Ośrodek Zdrowia 100 Wolności, Mierzęcice Mierzęcice Urząd Gminy 95 Wolności, Mierzęcice Mierzęcice Widokowa 26 Wolności,